函导综合二：5.零点问题讲义——2026届高三数学一轮复习

函导综合二：导函数符号与原函数单调性 5.零点问题 崔北祥 函导综合二： 5.零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 一、理论依据 （一）判断函数零点个数的理论依据是单调性和零点存在定理 函数在区间内连续，且在区间内单调.若，则函数在区间内有且仅有一个零点. （二）解题关键及步骤 1.能转化为两个函数图像交点问题： 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有3种情况：一曲一平，一曲一斜，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 2.不能转化为两个函数图像交点问题：一般有三个步骤 ①讨论的单调性，寻找的单调区间； ②在每一个单调区间上，要么证明恒为正数或恒为负数，要么再该区间上找到一对函数值符号相反的点，从而说明函数在该区间上恰有一个零点，且零点位于区间内； ③综合每个单调区间上的零点情况，作出总结. 其中，在单调区间上寻找一对函数值符号相反的点是关键点，亦是难点.我们约定，把在特定区间上寻找函数值为正（或负）的点的问题称为“找点”问题.这是下一讲中点分析的问题. 二、典型例题分析 （一）不含参的零点个数问题 例1 （2019全国乙理20）已知函数，为的导数． 证明：（1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有个零点． 【解析】（1）设，则，. 当时，单调递减，而， 可得在有唯一零点，设为. 则当时，； 当时，.∴在单调递增，在单调递减， 故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点. （2）的定义域为. ①当时，由（Ⅰ）知，在单调递增，而， ∴当时，，故在单调递减， 又，从而是在的唯一零点. ②当时，由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减，而，，∴存在，使得，且当时，； 当时，.故在单调递增，在单调递减. 又，， ∴当时，. 从而， 在没有零点. ③当时，，∴在单调递减.而，， ∴在有唯一零点. ④当时，，∴，从而在没有零点. 综上，有且仅有2个零点. 变式：已知函数 （1）证明: ，； （2）判断的零点个数，并给出证明过程. 【解析】（1） （2）由（1）可知， 故 （二）含参的零点个数问题 例2 （2017全国乙理21）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】（1），． ①当时，，所以，所以在上递减． ②当时，由可得，由可得， ∴在上递减，在上递增． （2）法1：不隔离参数 ①当时， 由（1）可知，在上递减，不可能有两个零点． ②当时，， 令，则， ∴在上递增，而， ∴当时，，从而没有两个零点． 当时，，， 于是在上有个零点； ∵， 且， ∴在上有个零点． 综上所述，的取值范围为． 法2：隔离参数一曲一平 ．令， 则， 令，则 ，所以在上递增， 而，所以当时，，当时，， 于是当时，，当时，，所以 在上递增，在上递减．，当时， ，当时，． 若有两个零点，则与有两个交点， 所以的取值范围是． 法3：隔离参数换元构造一曲一平 设，则，于是 ，令，则， 令，则， ∴在上递增，而，所以当时， ，，当时，，， ∴在上递增，在上递减． ，当时，，当时，． 若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是． 法4：一曲一斜 设，则，于是 ．令，，则有两个零点等价于与 有两个交点．因为，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，，当时，．是斜率为，过定点的直线． 当与相切的时候，设切点，则有 ，消去和，可得， 即，即．令， 显然是增函数，且，于是，此时切点，斜率． ∴当与有两个交点时，，所以的取值范围是． 法5：两曲 ，令，，， 则有两个零点与的图象有两个不同交点．， ∴两个函数图象有一个交点．令， 则， 由可得，由可得， 于是在上递减，在上递增，而，所以，因此与 相切于点，除切点外，的图象总在图象的上方．由（Ⅰ）可知，． 当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象没有交点．当时，的图象就是的图象，此时与的图象只有1个交点．当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象有两个不同交点． 综上所述，的取值范围是． 法6：两曲 不建议用 ，令，， 则有两个零点与的图象有两个不同交点． ，由可得，由可得， ∴在上递增，在上递减，当时，． 由（Ⅰ）可知，，所以是下凸函数，而是 上凸函数．当与相切时，设切点为， 则有，消去，可得，即， 即．令， 显然是增函数，而，于是，此时切点，． ∴当与的图象有两个交点时，， ∴的取值范围是． 【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中（一平一曲、一斜一曲、两曲）最为常见的是一平一曲．法1是直接考虑函数的图象与轴的交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函数的解决难度．法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的值是一个重要的分界值．法5和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两曲凸性相反． 函数零点问题对函数图象说明的要求很高，如解法2当中的是先增后减且极大值，但和的状态会影响的取值范围，所以必须要说清楚两个趋势的情况，才能得到最终的答案． 变式：(2015年全国乙理21)已知函数. (1)当为何值时，轴为曲线的切线； (2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【解析】(1)设曲线与轴相切与点，则，， 即，解得 ，因此当时，轴为曲线的切线. (2)当时，，从而, 故在无零点； 当时， 若，则，，故是的零点； 若，则=，故不是的零点； 当时，,所以只需考虑在的零点个数. 若或，则在无零点， 故在单调，而，， 所以当时，在有一个零点；当时，在没有零点. 若，则在单调递减，在单调递增， 故在中，当时，取得最小值，最小值为. 若，即，在无零点； 若，即，在有唯一的零点； 若，即，由于，， 故当时，在有两个的零点； 当时，在有一个的零点. 综上，①当或时，有一个零点； ②当或时，有两个零点； ③当时，有三个零点. （三）与数列结合的零点问题 例3 设函数设，，． （1）求； （2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且． 【解析】（1）因为， 所以…①． 由…②， ①②，得， ∴． （2）∵，， 由零点存在性定理可知在内至少存在一个零点． 又因为， 所以在内递增，因此在内有且只有一个零点． 由于，所以，由此可得，即． 因为，所以， 所以， 所以． 【点评】当函数满足两个条件：连续不断，，则可由零点存在性定理得到函数在上至少有1个零点．零点存在性定理是高中阶段一个比较弱的定理，首先，该定理的两个条件缺一不可，其次，就算满足两个条件，也只能得到有零点的结论，究竟有多少个零点，也不确定．零点存在性定理常与单调性综合使用，这是处理函数零点问题的一种方法． 三、强化练习 1.已知函数 （1）求证：在区间上无零点； （2）求证：仅有2个零点. 【解析】（1）， 当时，，当时，， ∴在内单增，在内单减 而，， ∴在区间上无零点 （2）的定义域为. ①当时，，， ∴，从而在内无零点. ②当时，，从而是的一个零点， ③当时，由（Ⅰ）知，， ∴，又， ∴，从而在内无零点 ④当时，， ∴在内单调递减 而，从而根据零点存在定理知在内有唯一零点 ⑤当时，，故，从而在内有无零点 综上：仅有两个零点 2.已知函数 （1）求在区间内的极值； （2）证明：函数在区间有且只有个零点，且之和为. 【解析】（1）∵， ∴， 令，得，，从而， 时，，， 因此，，故单调递减 时，，， 因此，，故单调递增 ∴在区间内有唯一极小值，无极大值； （2）∵ ∴，从而是的一个零点 令，则在区间单调递减，在区间单调递增 结合（Ⅰ）知，在区间单调递减，在区间单调递增 又，， ∴在区间内有唯一零点，记为. 又∵ ∴对于任意实数，若，必有 ∴在区间内有唯一零点 故在区间有且只有个零点：， ∴在区间有且只有个零点，且之和为. 3.已知函数，． （1）若直线与曲线相切，求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数． 【解析】（1）依题意， 则曲线在点处的切线方程为 又，代入整理得 此直线与重合，得 消去得，（*） 记，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当且仅当时取等号． 由（*）式可知， 所以，即． （2）解法一： ①当时，， 所以，无零点 ②当时，，从而，故为的一个零点 ③当时，，则的零点即为的零点 令，得 （ⅰ）若，即时 ，从而在上单调递增，进而 又，所以，此时在上无零点 （ⅱ）若，即时 因为在上单调递减，在上单调递增 因为，，故在上无零点 另外，由（Ⅰ）可知恒成立，即对恒成立 则 所以 故存在，进而存在，使得，即 此时在上存在唯一零点； 综上可得，当时，有1个零点；当时，有2个零点． 解法二：①当时，，在上单调递增， 而在上也单调递增， 故当时，，，从而，无零点 当时，，从而，1为的零点 当时，，，从而，无零点此时，有1个零点 ②当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增 当时，，从而，无零点 当时，，从而，1为的零点 当时，，此时只需考虑在上的零点即可 若即时，在上单调递增，从而， 无零点进而无零点，此时在上共有1个零点 若即时，可知在上单调递减，在单调递增 因为，，故在上无零点； 另外，由（1）可知恒成立，即对恒成立， 则， 所以 故存在进而存在，使得，即 此时在上存在唯一零点，从而在上共有2个零点 综上可得，当时，有1个零点；当时，有2个零点． 4.已知函数． （1）若，，求证：有且仅有一个零点； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，当时，， 故． （i）当时，，记， 则，单调递增，， 所以，即当时，无零点． （ii）当时，，， 即当时，无零点． （iii）当时，． 因为，所以，即单调递增． 又因为，， 所以当时，存在唯一零点． 综上，当时，有且仅有一个零点． （2）易知，由题意，在0的左侧邻域内，有，则． 因为， 所以，得是对任意成立的必要条件． 下面证明充分性： 当时，，等价于． 令，，即证． （i） 当时，，， （ii） 即成立． （ii）当时，记，则． 由，得，所以，即单调递增， ，即， 又．综上，． 5.设函数,证明: (1)对每个，在区间内存在唯一零点； (2)对于任意，由(Ⅰ)中构成数列满足. 【解析】(1)对于每个，当时，， 故在内单调递增， 由于，当时，，故， 又， 故由零点存在定理可知存在唯一，使. (2)当时，， 故， 由在内单调递增知，， 故为单调递减数列，从而对任意，有，对任意，由于 ………………………………………………① ………………② ①－②，并移项， 得，由， 故 因此，对于任意,，都有. 博观约取 第 13 页 共 13 页 厚积薄发 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导综合二：导函数符号与原函数单调性 5.零点问题 崔北祥 函导综合二： 5.零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 一、理论依据 （一）判断函数零点个数的理论依据是单调性和零点存在定理 函数在区间内连续，且在区间内单调.若，则函数在区间内有且仅有一个零点. （二）解题关键及步骤 1.能转化为两个函数图像交点问题： 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有3种情况：一曲一平，一曲一斜，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 2.不能转化为两个函数图像交点问题：一般有三个步骤 ①讨论的单调性，寻找的单调区间； ②在每一个单调区间上，要么证明恒为正数或恒为负数，要么再该区间上找到一对函数值符号相反的点，从而说明函数在该区间上恰有一个零点，且零点位于区间内； ③综合每个单调区间上的零点情况，作出总结. 其中，在单调区间上寻找一对函数值符号相反的点是关键点，亦是难点.我们约定，把在特定区间上寻找函数值为正（或负）的点的问题称为“找点”问题.这是下一讲中点分析的问题. 二、典型例题分析 （一）不含参的零点个数问题 例1 （2019全国乙理20）已知函数，为的导数． 证明：（1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有个零点． 变式：已知函数 （1）证明: ，； （2）判断的零点个数，并给出证明过程. （二）含参的零点个数问题 例2 （2017全国乙理21）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 变式：(2015年全国乙理21)已知函数. (1)当为何值时，轴为曲线的切线； (2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. （三）与数列结合的零点问题 例3 设函数设，，． （1）求； （2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且． 三、强化练习 1.已知函数 （1）求证：在区间上无零点； （2）求证：仅有2个零点. 2.已知函数 （1）求在区间内的极值； （2）证明：函数在区间有且只有个零点，且之和为. 3.已知函数，． （1）若直线与曲线相切，求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数． 4.已知函数． （1）若，，求证：有且仅有一个零点； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 5.设函数,证明: (1)对每个，在区间内存在唯一零点； (2)对于任意，由(Ⅰ)中构成数列满足. 博观约取 第 13 页 共 13 页 厚积薄发 学科网（北京）股份有限公司 $