函导综合二：4.求参数讲义——2026届高三数学一轮复习

函导综合二：导函数符号与原函数单调性 4.求参数 崔北祥 函导综合二： 4.求参数 含参数函数不等式、等式成立问题是数学中重点中的难点．这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力，检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调核心素养立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此能成立恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点． 一、理论基础 （一）类型： 1.恒成立（含量词全称量词、任意性命题） 2.能成立（含存在量词、存在性命题） 3.整数解个数 （二）基本方法：四个方向 1.全分离参数＋函数最值 2.直接化为最值＋分类讨论 3.必要条件探路缩小范围（端点效应、二级结论、特殊数值、放缩等）＋证明不等式 4.半分离（分离参数、分离超越式）函数＋数形结合，主要针对小题 处理含参数函数不等式恒成立能成立问题，以上四个方向详细解读如下： 1.如果能使用分离参数+最值法，则猜想是没有作用的，分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，可能会有零点不可求，隐零点的处理，也有可能不存在最值，需要求极限来找上下限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）．从改造的形式上，解答题优先选择一曲一平，可利用分离参数法转化为一曲一平两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与轴的交点情况. 2.如果1,3不能实现解题，则使用直接函数最值+分类讨论法，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准. 要注意函数解析式中的超越式与一般式的摆放位置，记住“指数找基友，对数单身狗”. 3.如果不能分离参数，则使用猜想缩小范围证明不等式法（必要条件探路法、端点效应法），则后续有3种可能：一是猜想没有任何作用；二是利用猜想减少分类讨论；三是猜想与答案一致，后面只需要在猜想的基础上强化，从而得到答案．缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且容易被误判. 注：端点效应：核心思想是利用端点所需要满足的必要条件缩小参数取值范围，在很多情况下，该范围即为所求. “时，，求的取值范围” 根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为以下三层次： 第一层---利用原函数：若端点处函数值包含参数，则根据恒成立条件在端点处也成立，有，解此不等式组即可缩小参数的范围； 第二层---利用一阶导：若端点处函数值恰为，即，则此时有，或； 第三层---利用二阶导：若端点处函数值与一阶导数值均为，即或，则此时有，或； 4.半分离参数（分离函数）+数形结合主要用来解决选择题和填空题.从改造的形式上，半分离是一曲一斜或两曲线（凹凸性一般要相反）数形结合解决问题．因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性.还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测.俗话说，形缺数时难入微. （三）备用知识：洛必达法则 法则1 若函数和满足下列条件：①且；②在点的去心邻域内，与可导，且；③，那么. 法则2 若函数和满足下列条件：①且；②，和在与上可导，且；③，那么. 法则3 若函数和满足下列条件：①且；②在点的去心邻域内，和可导，且；③，那么. 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 ②洛必达法则可处理型. ③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会.出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. ④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. 二、典型例题 例1 已知函数（）． （1）求在上的最小值； （2）若对恒成立，求正数的最大值． 【解析】（1）定义域为，． ①当时，，函数在为增函数，所以． ②当时，由可得，由可得，所以在上递增， 在上递减．于是在上的最小值为或． （i）当，即时，． （ii）当，即时，． 综上所述，当时，；当时，． （2）令，则对恒成立对恒成立． 法1：（全分离参数法）当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立． 令，则，令，则，所以在上递增，于是，即，所以在上递增． 由洛必达法则，可得，于是，所以正数的最大值为． 法2：（先猜想并将猜想强化）由常用不等式（）可得， 即．当时，式子恒成立，当，有恒成立，而，所以． 下面证明可以取到，即证明不等式对恒成立．构造函数（），则，所以函数在上递增，所以，所以不等式对恒成立，所以正数的最大值为． 法3：（先猜想并将猜想强化）对恒成立，因为所以，即． 下同法2． 法4：（先猜想并将猜想强化）当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立．由洛必达法则，可得，于是． 下同法2． 法5：（不猜想直接用最值法）构造函数，则． ①当，即时，，所以函数在上递增，所以． ②当，即时，由可得， 所以函数在上递减，于是在上，，不合题意． 综上所述，正数的最大值为． 【点评】法1（分离参数法）把恒成立问题转化为求的最小值，法5（最值法）把恒成立问题转化为求的最小值．由此可见最值法与分离参数法本质上是相通的，其本质都是把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，其区别在于所求的函数中是否含有参数． 法2、法3和法4都是先求出必要条件，然后将必要条件进行强化，需要解题的敏感度和判断力．如果我们将这个必要条件与法5的最值法进行结合，可减少法5的分类讨论． 例2已知，求非零实数的取值范围． 【解析】分析：由，进而转化为证明， 当时，然后利用二次函数的性质结合条件可得 只需证明即可，再构造函数利用导数证明不等式即得. 设， 则，由，，可得， 下面证明：当时，，即证， 令，则证，， 令为开口向上的二次函数，对称轴为， ∵，故在时单调递增，则， 下面只需证明即可，即证， 令，则， 令， 则， ∴函数单调递减，且， ∴当时，，当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，从而不等式得证， 综上，的取值范围是． 【点评】避开（减少）讨论常用的策略是：①隔离函数解析式中的参数；②变更主元；③放缩后构造目标函数或求导之后在放缩构造目标；④隔离超越式；⑤必要条件探路；⑥掌握一些二级结论，特别是高数中的结论，比如洛必达法则、中值定理、级数等. 3 已知，函数. （1）证明存在唯一的极值点； （2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，则，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，，， 当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点， 令，则，且， 当时，，则，单调递增，当时，， 则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点； （2）由（1）知，此时， 所以，令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得， 即，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故，所以实数b的取值范围. 例4 已知函数，若的解集中恰有两个正整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查导数与不等式的综合问题，考查运算求解和推理论证能力. ∵，∴，即，令， 当时，；当时，； ∴在内单调递增，在内单调递减， 如图所示 ∴， 由题意知，故选B. 例5 已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：先猜后证： 当时，，即，猜测是B 法二：同构放缩 当且仅当时，取等号 三、强化练习 1.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ( 同构 --------和差型同构 )【答案】A 【解析】∵， ∴在上恒成立在上恒成立， ∵时， ， ∴只需在上递减，即，恒成立， 即时，恒成立，∴，∴. 2.已知，且，不等式的解集中有且仅有一个正整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】构造函数：令， 易知 ∵， ∴， 由，得，故， 不等式等价于， 如图，依题意不等式的解集中有且仅有一个正整数等价于 ，即 3.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】【解析】 ， 直线在函数与图象同一侧， 如图可知 4.若，则 . 【答案】【解析】令，注意到，即， ，故，得 另一方面，当时， 5.已知函数． （1）求证：当时，； （2）设实数使得对恒成立，求的最大值． 【解析】（1）构造函数，．因为，所以在上递增，所以．于是当时，． （2）法1：（不猜想直接用最值法）构造函数，， 则． ①当时，，所以在上递增，所以． ②当时，，所以在上递增，所以． ③当时，由可得，于是在上递减， 所以，于是在上不恒成立． 综上所述，的最大值为． 法2：（先猜想并将猜想强化）由（2）可知，猜想的最大值为．下面证明当时，在上不恒成立． 构造函数，，则． 当时，由可得，于是在上递减， 所以，于是在上不恒成立． 6.已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， ， 切线方程为，即； （2）方法一：虚设零点 ∵为增函数，且时，，故存在， 又 ∴，根据零点存在定理知存在唯一，使， 即，即， 当时，单调递减，当时，单调递增 ∴ 由题意：，解得， ∴实数的取值范围是 方法二：同构函数 ∵ ， 令，则上式等价于， ∵是增函数， ∴，即， 令，， 则时，单调递增，时，单调递减 ∴，故，， ∴实数的取值范围是 厚积薄发 第 1 页 共 10 页 博观约取 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导综合二：导函数符号与原函数单调性 4.求参数 崔北祥 函导综合二： 4.求参数 含参数函数不等式、等式成立问题是数学中重点中的难点．这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考查学生的综合解题能力，检验学生思维的灵活性与创造性，这正符合高考强调核心素养立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此能成立恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点． 一、理论基础 （一）类型： 1.恒成立（含量词全称量词、任意性命题） 2.能成立（含存在量词、存在性命题） 3.整数解个数 （二）基本方法：四个方向 1.全分离参数＋函数最值 2.直接化为最值＋分类讨论 3.必要条件探路缩小范围（端点效应、二级结论、特殊数值、放缩等）＋证明不等式 4.半分离（分离参数、分离超越式）函数＋数形结合，主要针对小题 处理含参数函数不等式恒成立能成立问题，以上四个方向详细解读如下： 1.如果能使用分离参数+最值法，则猜想是没有作用的，分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，可能会有零点不可求，隐零点的处理，也有可能不存在最值，需要求极限来找上下限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）．从改造的形式上，解答题优先选择一曲一平，可利用分离参数法转化为一曲一平两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与轴的交点情况. 2.如果1,3不能实现解题，则使用直接函数最值+分类讨论法，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准. 要注意函数解析式中的超越式与一般式的摆放位置，记住“指数找基友，对数单身狗”. 3.如果不能分离参数，则使用猜想缩小范围证明不等式法（必要条件探路法、端点效应法），则后续有3种可能：一是猜想没有任何作用；二是利用猜想减少分类讨论；三是猜想与答案一致，后面只需要在猜想的基础上强化，从而得到答案．缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且容易被误判. 注：端点效应：核心思想是利用端点所需要满足的必要条件缩小参数取值范围，在很多情况下，该范围即为所求. “时，，求的取值范围” 根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为以下三层次： 第一层---利用原函数：若端点处函数值包含参数，则根据恒成立条件在端点处也成立，有，解此不等式组即可缩小参数的范围； 第二层---利用一阶导：若端点处函数值恰为，即，则此时有，或； 第三层---利用二阶导：若端点处函数值与一阶导数值均为，即或，则此时有，或； 4.半分离参数（分离函数）+数形结合主要用来解决选择题和填空题.从改造的形式上，半分离是一曲一斜或两曲线（凹凸性一般要相反）数形结合解决问题．因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性.还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测.俗话说，形缺数时难入微. （三）备用知识：洛必达法则 法则1 若函数和满足下列条件：①且；②在点的去心邻域内，与可导，且；③，那么. 法则2 若函数和满足下列条件：①且；②，和在与上可导，且；③，那么. 法则3 若函数和满足下列条件：①且；②在点的去心邻域内，和可导，且；③，那么. 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 ②洛必达法则可处理型. ③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会.出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. ④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. 二、典型例题 例1 已知函数（）． （1）求在上的最小值； （2）若对恒成立，求正数的最大值． 例2已知，求非零实数的取值范围． 3 已知，函数. （1）证明存在唯一的极值点； （2）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 例4 已知函数，若的解集中恰有两个正整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、强化练习 1.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知，且，不等式的解集中有且仅有一个正整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 4.若，则 . 5.已知函数． （1）求证：当时，； （2）设实数使得对恒成立，求的最大值． 6.已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 厚积薄发 第 1 页 共 10 页 博观约取 学科网（北京）股份有限公司 $