函导综合二：3.单变量不等式证明讲义——2026届高三数学一轮复习

函导综合二：导函数符号与原函数单调性关系 3.不等式证明 崔北祥 函导综合二： 3.不等式证明 一、理论基础 （一）构造函数的方向 对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，一平一曲、两曲两种模式中的一种． 当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可． 当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过以曲代曲——曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反． 当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与轴平行或重合． 当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲． （二）构造常用的运算 加减乘除四则运算是基础，先利用四则运算整齐化一，然后注意参数隔离摆放在恰当位置，可能会用指对数、三角运算，也可能利用函数单调性对不等式两边同取运算，更不要忘了多项式中同时有或时，化为同一结构的同构运算来化简，也要注意配方、配齐次、换元等变换技巧及常见的切线与曲线放缩变形． （三）辅助结论的生成 在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成． 1.利用曲线的切线进行放缩 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立． 特别地，当时，有；当时，有． 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立． 特别地，当时，有；当时，有． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 2.利用曲线的相切曲线进行放缩 由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式： （1）与有关的常用不等式： ①（）； ②（）． （2）与有关的常用不等式： ①（）； ②（）； ③（），（）； ④（），（）． 用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式． 3.泰勒展开式 如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有，此公式称为阶泰勒公式；其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项. （1） （2），， （3） （4） （5）， 从中截取片段，就构成了初等数学考查导数的常见不等式： ( 熟悉 公式 )（1） （2） （3） （4） 二、典型分析 例1 （2014全国Ⅰ理21）设函数，曲线在点处的切线为. (1)求； (2)证明：. 变式：已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，． 例2 已知函数，求证：当时， 例3 已知函数． （1）若，求的值； （2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 三、强化训练 1.已知，函数，其中 （1）求的最小值； （2）当时，求证：，. 2.证明：函数在上有且仅有一个极大值点，且. 3.已知函数 （1）若时，，求的最小值； （2）设数列 4.已知定义在上的函数，. （1）若的最大值为，的最小值为，比较，的大小； （2）证明： 练练不忘 第 1 页 共 16 页 必有回响 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导综合二：导函数符号与原函数单调性关系 3.不等式证明 崔北祥 函导综合二： 3.不等式证明 一、理论基础 （一）构造函数的方向 对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，一平一曲、两曲两种模式中的一种． 当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可． 当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过以曲代曲——曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反． 当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与轴平行或重合． 当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲． （二）构造常用的运算 加减乘除四则运算是基础，先利用四则运算整齐化一，然后注意参数隔离摆放在恰当位置，可能会用指对数、三角运算，也可能利用函数单调性对不等式两边同取运算，更不要忘了多项式中同时有或时，化为同一结构的同构运算来化简，也要注意配方、配齐次、换元等变换技巧及常见的切线与曲线放缩变形． （三）辅助结论的生成 在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成． 1.利用曲线的切线进行放缩 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立． 特别地，当时，有；当时，有． 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立． 特别地，当时，有；当时，有． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 2.利用曲线的相切曲线进行放缩 由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式： （1）与有关的常用不等式： ①（）； ②（）． （2）与有关的常用不等式： ①（）； ②（）； ③（），（）； ④（），（）． 用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式． 3.泰勒展开式 如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有，此公式称为阶泰勒公式；其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项. （1） （2），， （3） （4） （5）， 从中截取片段，就构成了初等数学考查导数的常见不等式： ( 熟悉 公式 )（1） （2） （3） （4） 二、典型分析 例1 （2014全国Ⅰ理21）设函数，曲线在点处的切线为. (1)求； (2)证明：. 【分析】第一问考查导数的几何意义，面向全体考生；注意函数问题定义域优先的原则！ 【解析】（1）函数的定义域为,，由题意可得,故.； （2）法1：（寻找公切曲线隔离） 由（1）知，， 于是． 由于混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂， 所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为． 令，则， 由可得，由可得， ∴在上递减，在上递增．而 递减，∴两个函数的凸性相同（都是下凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线，将两个函数进行隔离，从而实现证明． ，令， 则，由可得，由可得， ∴在上递减，在上递增， ∴，于是． ， 令，则，由可得，由可得， ∴在上递减，在上递增，所以，于是． 由于等号不能同时成立，所以． 法2：（寻找公切线隔离） 由（1）知，，于是，将不等式改造为． 令，则． 由可得，由可得， ∴在上递减，在上递增， ∴．令， 则．由可得，由可得， ∴在上递增，在上递减， ∴． 两个函数的凸性相反．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线，将两个函数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以． 【点评】法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线进行隔离，公切曲线的寻找需要有一定的函数不等式放缩经验．该放缩与常用不等式以及有关，因此熟练掌握与、有关的常用不等式，能有效打开某些不等式的证明思路，使题目的难度降低．法2中的两个函数凸性相反，且两个函数的最值相同，此时可寻找到与轴平行的公切线，实现隔离放缩． 如何恰当地“改造”函数是解题的关键，这需要我们熟悉与、、四则运算组合后的函数，如： （1）、、、…过原点，先减后增； （2）、、、…过原点，先增后减； （3）、、、…在上递减，在上先减后增； （4）、、、…在上先减后增； （5）、、、…在上先增后减； （6）、、、…在上递减，在上先减后增． （2）分析：常规方法证明， 即证： 所以 所以， 太复杂了！！无从下手！！ 再次分析：证明 难点在哪里？ 困难在于存在，求导后还存在，麻烦！！ 初步思考必须把与分离，怎么分离？ 不外乎加减乘除！！ 仔细观察：，其中，定义域别忘了，还有； (1) (2) (3) . （2）法1：两曲线异侧 求最值 由（1）知，， 从而等价于 设，. 若，是否可行？试一试吧！ 则.所以当时,；当时,. 故在上单调递减,在上单调递增,从而的最小值为. .∴当时,;当时,. 故在(0,1)上单调递增,在上单调递减,从而的最大值为. 综上，当时,,即. 法2：两曲线同侧 求最值 分析：等价于.等价于. 即可. ， . 令，. 知在上单调递减，在上单调递增； . ，即，当且仅当时取等号. 令，. 知. ，即，当且仅当时取等号. 综上所述，当时， ，即 法3： 切线放缩 不等式传递 分析：题目中有，应该联想到重要熟知的不等式，就能得到下面流畅的证明. 用导数易证，当且仅当时取等号. ，当且仅当时取等号. 于是法2中， ，当且仅当时取等号. ，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号. . . (也可以用证明) 即，当且仅当时取等号. 于是证法2中的，. 总结： 公式关系清晰，一气呵成！ 法4： 放缩 不等式传递 分析：欲证.即证即可. 由法3，可得，当且仅当取等号. 又∵ … ① 当且仅当取等号. ∴ … ② ∴由①和②可得：，这里关键是等号不能同时成立. ∴. 法5： 放缩 不等式传递（与法4证明类似） ∵，当且仅当取等号. ∴. ∴. ① ∵. ∴，当且仅当取等号. ∴ . ② ∴由①、②可知.（注意：两个等号不能同时成立），即. 法6： 同构 一个函数求最值 欲证，即证. 主要还是等价变形（同构）. 设.则. （这里关键是注意到与之间隐含着复合函数的关系） ∴只需证明. 由方法一可知，，当且仅当取等号. ∴，当且仅当取等号. ∴，（两个等号不能同时成立） ∴. 点评：这种方法实在很难想！ 基于上述7种方法的思考：看来我们有必要梳理一下，其中重要的不等式：泰勒展开式及其变形. ∵ 这个式子也叫麦克劳林公式. 当时，有 ① 即 ② ∵，其中用替换. ∴ ③ 由②③得： ④ 还有，. ⑤ 注意等号成立条件. . ⑥ 加强④可得 ⑦ 还有： ⑧ ，（当且仅当取等号） ⑨ ，，，，等等. 基于上面的思考: 法7： 放缩 分析法 ，当且仅当取等号. ，当且仅当取等号. . . . 即成立.是否很帅！ 法8： 放缩 相乘 不等式等价于， ∵，所以（当且仅当取等号），用去换中的， 可得（当且仅当取等号）， ∴ 最后，关注以下函数，课下练习巩固. 1.， ，， ， 2.， ， ，， 3.， ， 4.， ， 总结：常规方法遇阻碍，分而治之显神奇——泰勒公式藏天机！ 变式：已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，． 【解析】（1）， ∵在曲线上，且， ∴切线方程为，即． （2）法1：放缩掉参数 一曲一直最值证明 ． 当时，， 令，则，，于是在上递增． 又∵，由，可得，由，可得， ∴在上递减，在上递增， ∴． 法2：放缩掉参数 再切线放缩证明 ． 当时，， 由常见不等式（），可得，∴． 法3：不去掉参数 一曲一直求最值（一般式与指数式乘除） 令，则， 由可得，由可得或， ∴在上递减，在上递增，在上递减． 极小值为， 由洛必达法则， 可得， ∴，即． 法4：不去掉参数 一曲一直求最值（一般式与指数式加减） ． 令， 则，， ∴在上递增， 又因为，由可得，由可得， ∴在上递减，在上递增， ∴． 法5：全隔离参数 一曲一直求最值（一般式与指数式乘除） ． 当时，不等式成立， 当时，． ， 由可得或，由可得或， ∴在上递增，在上递减，在上递增，在上递减． ∵，， ∴，而， ∴，即． 法6：半分离参数 两曲线单切线放缩 ． 令，则是以为对称轴，开口方向向上的抛物线． 令，则递减． 由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以选择在上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明． 由常见不等式可得，容易想到隔离切线，下面进行证明． ， 而，命题获证． 【点评】对于含有参数的一个未知数的函数不等式，其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致．法3是直接证明，法4是将不等式等价转化为，法5是通过分离参数进而证明，3种方法本质都是一平一曲状态．法6将不等式转化为，由于两个函数的凸性相反，因此我们可以寻找切线实现隔离放缩． 对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低． 例2 已知函数，求证：当时， 【解析】当时，，只需证： 由 令， ∴为增函数 只需证： 令，则 ∴ 故当时， 【同构】同构是高考“红人”，主要有以下几个方面： 1.地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移. （1）为增函数. （2） 为增函数. 说明：含有地位同等的两个变量，或等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形， 如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.等式类似！ 2.指对跨阶想同构，同左同右取对数. （1）积型： 如：，后面转化同（1） 说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知． （2）商型： （3）和差型： 如： 3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量. （1）转化为2（1） （2） 转化为2（3） （3）转化为2（1） 说明：由于两边互为反函数，所以还可以化为，对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易也． 如：左右侧互为反函数，所以只需要，即，得 4.同构放缩需有方，切放同构一起上． 这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） （1），， 【变形】， . （2）， 【变形】 说明：，，，，等这些变形是近年来频繁流传开来的，对解决不等式证明/恒成立能成立求参数问题、等式问题带来极大便利. 例3 已知函数． （1）若，求的值； （2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 【解析】（1）的定义域为． 法1：（分离参数法） ①当时，有，成立． ②当时，，令，则， 令，则， ∴在上递增，于是， ∴，∴在上递增． 由洛必达法则可得， ∴． ③当时，， 令，仿照②可得在上递增． 由洛必达法则可得，∴． 综上所述，． 法2：（不猜想直接用最值法） ． ①当时，在上递增，而，于是不成立． ②当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，而，所以． 法3：（通过猜想减少分类讨论） 由，， 可得． ， ( 求最值 、 构模型 、 巧赋值 、 要累加 、 指对数 、 换和积 )由可得，由，可得， ∴在上递减，在上递增，而， ∴． （2）当时，即， 则有，当且仅当时等号成立， ∴，， 于是， ∴． 当时，，于是的最小值为3． 【点评】不等式左边是一个项乘积的形式，处理起来比较麻烦．考虑取对数，将不等式等价转化为，则容易联想到与有关的常用不等式． 三、强化训练 1.已知，函数，其中 （1）求的最小值； （2）当时，求证：，. 【解析】（1）法一：直接求导： 由，得 令，则，（如何判定导函数符号？） 其一：讨论 当时，，， ，， 当时，，， ，， ∴ 其二：二次求导 ∵ ∴为增函数， ∴ 法二：换元改造： 令，则， ，令，则 ∴ （2） 法一：放缩后构造函数 由（1）知 ∴时， ∵，∴ 要证原不等式，只需要证：， 即 令，则， 由，得， ∵在内是增函数 ∴， ∴，原不等式成立 法二：凹凸反转两函数最值 令，则 当时，单调递减 当时，单调递增.故 当时，单调递增 当时，单调递减.故 ∴， ∴，即，原不等式恒成立. 2.证明：函数在上有且仅有一个极大值点，且. 【解析】由，可得， 令，则， 当时，，， 故在上递减 ∵， 由零点存在定理知：存在唯一的使得，即 当时，，即，为增函数； 当时，，即，为减函数； 又当时， ∴在上为减函数，从而在上恒为减函数， ∴在上有唯一极大值点， ∵在为减函数，故 即 又 当时，， ∴. 3.已知函数 （1）若时，，求的最小值； （2）设数列 【解析】（1）由已知 若，则当 时，，所以， 若，则当时，，所以当时，. 综上，的最小值是； （2）令，由（Ⅰ）知，当时，，即 取，则. 于是 ∴ 4.已知定义在上的函数，. （1）若的最大值为，的最小值为，比较，的大小； （2）证明： 【解析】（1）∵在上单调递减， ∴ 当时，有唯一零点 时，，时，， 故在区间内有极小值为 当时， ∴ ∴ （2）∵ 令， 再令，则 ∴在上单调递增， ∴，即 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴在上单调递增 ∴，故. 练练不忘 第 1 页 共 16 页 必有回响 学科网（北京）股份有限公司 $