专题01 椭圆（5大题型）（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01椭圆 目录 A题型建模·专项突破 题型一、椭圆的定义（常考点） 6 题型二、动点的轨迹方程… > 题型三、椭圆的方程 8 题型四、椭圆的性质（重点) 13 题型五、直线与椭圆的位置关系（难点） 20 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、椭圆的定义 1椭圆二+二-1左右焦点为E,E,椭圆上点P满足PF:PR,=2:3,cos∠FPR,= 2512 【答案】0 【详解】由椭圆+少-1可知，。2=25,6=12， 2512 所以c2=a2-b2=13,c=13，|EE=2c=213, PF:PF2l=2:3,PF+PF:|=2a=10, 解得1PF1=4,PF2=6, 所以1PF12+1PF22=16+36=52=|F1F22, 所以∠FPF=90°，即cos∠EPF,=0, 故答案为：0 2.已知椭圆C： 。+=1(a>b>0)的焦距为25，C上一点P满足PF=3P,0为坐标原点，且 sin∠oPR=3则PF=（） A.2 B. C.3 2 D.4 【答案】c 【详解】由椭圆定义得PF+PF,=2a, 又PF=3PF2, 则P=,P号 1/30 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又因为焦距为2√5， 所以OF=OF=c=V3, 在aPO5,中，由正弦定理得 PF OF sin∠POE,sin∠OPE, sin∠OPF3 OF3 2V3 即sin∠POF2 a' 2 PR OF 同理在△POF中，由正弦定理得 sin∠POF sin∠OPE 3a 所以sin∠POE_|PE 2-3a, sin∠OPE 所以sin∠POE= B 2 sin∠0PE=3a.1-V5a 236 又∠POE+∠POF,=π， 则sin∠POE=sin∠POF2, V3a=sin∠OPE_asin∠0PE 即623 2√5 e 解得sin∠OPF=1, 又因为∠OPF2∈(0，π)， 即∠0PE- 所以cos∠FPF,=cos 2 在a5PS中，由余弦定理得cos∠RPR=PF+PF-EE 2 PF PF 28 解得a=2, 所以PF=0=3. 2 2/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 酒网正专风的为A德瓶分别为化官线的个交点为B,直酸 BE与E的另一个交点为C.若AF⊥BF,,且CF=10,则△ABF的周长为() A.24 B.28 C.32 D.36 【答案】B 【详解】由题意，406，F-c0,Ec0,则k0-9 所以直线4B的方程为y=bx+b, c b 2ac v=-x+b x=- x=0 a2+c2 2a2cbc2-a2） 联立 ，解得 即B a2+c2a2+c2 (a+ 少6或 = c2-a2)' a2+c2 b(c2-a2) -0 则k5=a+C2 b(c2-a2） b-0 b 2a'c c3a2+c2） k53=0-cc a2+c2-c 由上85，则ks-1,则ks芳 b(c2-a2)c c3)e(3a) 则(a2-c22=c2(3a2+c2）,整理得a2=5c2,即a=√5c, 又a2=5c2=b2+c2,则b2=4c2,即b=2c, 则直线所的方程为y=x-c小，而椭圆E: 2(x-c) 5 y= x=- 3 x-15 7 联立 4c31 y=- 则c=cc+ =10.解e-5则。=e-, 所以△ABF的周长为AF,+AB+BF=AF2+AF+BF+BF,=2a+2a=4a=28. 故选：B. 3/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F 4. (2025高二·全国·期中)设F,F分别是椭圆的左、右焦点，以FF为直径的圆与椭圆在第一象限内的 一个交点为P,延长PF,与椭圆交于点Q,延长PF2,与椭圆交于点E,若PF=4FQ,则直线PE的斜 率为() A.-3 B. 3 3 C. 2 D.3 2 【答案】B 【详解】设QF=x,则PF=4x,如下图所示： 珠 由椭圆定义可知PF,=2a-4x,F,=2a-x. 又因为FE为直径，所以PE⊥PF2, 可得Pg+PF=|F,即(5x)2+(2a-4x)2=(2a-x2, 解得a=10r 3 PF 4x s、3 所以kE=-PF=20x-4x2 3 故选：B. 5.(24-25高二上湖北孝感期中)（多选)已知点P是椭圆女+上=1上的一点，F,B是椭圆的左、右焦点， 4 3 M(1,1),N(-1,2)则下列说法正确的是() A.存在点P,使得∠F,PF,=75 B.存在点P,使得PF=2PF C.PN-PF,最小值为2 D.PF+PM最小值为3 【答案】BD 4/30 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】由横圆兰+兰=1，则a=2,b=5,c=1,即F(-1,0,R10, 43 对于A,由余弦定理得 os∠RPP2-PEtaPe-PEHPE-4PFHs4 PF PF 2PFPF 16-4PFPF-4 =pFP网-1' 6 PFPF 因为1PR~PP引≤P=4:当且仅当|PB1=PP=2时等号成立， 4 所以c0s∠R1PF2=R啊-1≥， 6 因为)=cosx在Q可上单调速减，且o号分 所以∠FPR≤行，则不存在点卫，使得∠FPR,=75,故A错误： 对于B,假设存在点P,使得PF=2PF,, 由于PE+P,=2a=4,则PR1=景1PF=等，设P(x,, 则 x+1)+=号，解得剩x=·即（告±要） V(x-1)2+y2=青 y=±四 将p(,±要)代入方程+9- 3 则存在点P,使得PF=2PF,,故B正确： 对于C,|PN-|PF2=|PN-(2a-|PF1l)=|PN+|PF-4≥|NF1l-4=2-4=-2, 当且仅当N,F,P三点共线，且P在E之间时取等号， 则|PN-PF2最小值为-2，故C错误； 对于D,|PF+|PM=2a-IPF2+|PM|=4+|PM|-PF2l: IPM|-|PF2l|≤|MF2|=1,则-1≤|PM|-|PF2≤1， 则|PF1+|PM=4+|PM-|PF2≥3， 当且仅当P,M,F三点共线，且P在以F为起点，过M的射线上时取等号， 则PF+PM最小值为3，故D正确 5/30 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：BD. 题型二、动点轨迹方程 6.(24-25高二上湖北孝感期中)一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切， 则动圆圆心的轨迹方程是() 36+2718.x22 A. =1 C. 3627 1671 0号 【答案】A 【详解】设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O、O, 将圆x2+y2+6x+5=0的方程配方得：（x+3)2+y2=4,圆心0(-3,0)，半径为2， 圆x2+y2-6x-91=0同理化为(x-3)2+y2=100,圆心0，(3,0)，半径为10， 当动圆与圆Q相外切时，有0，M=R+2① 当动圆与圆O相内切时，有0，M=10-R② 将①②两式相加，得0，M+0,M=12>0,02 :动圆圆心M(x,y)到点0-3,0)和0,3,0)的距离和是常数12， 所以点M的轨迹是焦点为点0，(-3,0)、0,3,0)，长轴长等于12的椭圆， 故a=6,c=3,b=27,+ =1 “3627 故选：A 7.(2025高二·全国期中)如图，已知A(-2,0),B(-1,0),C(1,0),动圆D与x轴相切于点A,过B,C两 点分别作圆D的非x轴的两条切线，这两条切线的交点为P,求证：PB+PC为定值，并写出点P的轨迹 方程 6/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答米】证现解析：著+兮-y+0 【详解】设过点C的切线与圆D相切于点E,过点B的切线与圆D相切于点F, 由切线长相等得CE=CA,BA=BF,PE=PF, PB +PC PF +BF PC PE AB PC =CE AB =CA AB =4>2=BC. 由椭圆的定义可知，点P在以B,C为焦点的椭圆上，且a=2,c=1, 故点P的轨迹方程为+ -=1y≠0). 4 BOC 8设椭圆火+ 43 =1的左、右焦点分别为F、F,在椭圆上任取一点Q,过点F作∠FQF的补角平分线的 垂线，垂足为M,求点M的轨迹方程， 【答案】x2+y2=4 【详解】由题意，延长FM,FQ并交于点B,易证RtAOBM≌Rt△QFM, 则FM=BM,F2=QB, 又O为EF的中点，连接OM,则OM1IFB, 从而可知oM=)F,=O+QrD=2 设点M的坐标为(x,y),则x2+y2=4. 故答案为：x2+y2=4。 7/30 函学科网·上好课 上好每一堂课 题型三：椭圆的方程 9.(2025高二上全国期中)“0<1<1“是曲线”+广=1表示椭圆的() t 1-t A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B t>0 【详解】曲线兰+上=1表示椭圆等价于1-1>0，解得0<1<1且1+2 1 11=1 t≠1-t 所以0<1<1是曲线艾+ =1表示椭圆”的必要不充分条件。 t 1-t 故选：B. .x2.y2 10.已知椭圆C:京+方=(a>b>0)的右焦点为F(3,0,经过该焦点的直线交椭圆于4B两点，若B中点 M的坐标为(1,1)，则椭圆C的方程为」 【答案】x+少 =1 189 1 【详解】根据题意可得k4B=飞w=- 2 设直线AB的参数方程为 (1为参数)，由AB中点M的坐标为1,1，所以4+=0， 代入椭圆方程整理得 根据题意可得t,+2=0,即 [a2=b2+c2 a2=18 c=3 b2=9’ 所以椭圆C的方程为 +y2 a2=2b2 1891. 故答案为： 189 题型四、椭圆的性质 1.已知椭圆+上=1的一个焦点为F0,1,则k=（) A.5 B.5 C.3 D.5 8/30 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D [k>4 【详解】由题意知： k-4=1解得：k=5. 故选：D. 2河向台新乡市2025：2026学年高三上学期升学考试数学试盟〉已知稀圆C:号+卡-a>6>0的左 右焦点分别为F,F,点P为C上一点，设△PFF的内切圆为OB,连接PB并延长交x轴于点A,若 PA=4BA,则C的离心率为() A君 B. C. 2 3 D. 【答案】A 【详解】如图，连接BE、BE,B是△PFF的内心， 则BE、BF分别是∠PFF,和∠PFE的角平分线，PA为∠FPF,的角平分线， 可盟-斟器=尉 由比例关系性质可知P一PFHHPF BA FAHF A = =条=是 FF 又因为PA=4BA,所以椭图的离心率e=号=器=青 故选：A. 3.如图，设R,B分别是椭圆℃+' +?=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使得线段P听 的中垂线恰好过焦点F,则椭圆C的离心率的取值范围是() aB别6别 c.到 。 9/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解法一：因为线段PF的中垂线恰好过焦点E,所以PF=FF,=2c, 由焦半径的范围可知a-c≤PF,<a+c,即a-c≤2c<a+c, 则a≤3e且c<a,解得子e<1, 故选：B. 解法二：设P(x,yo),y≠0，则线段PE的中点坐标为 xo-c yo 2’2 xo+c 可得线段P听的中垂线所在的直线方程为y-少=-+Cx-,-C 2 yo（ 2 把点F,c,0)代入得c2x-2ca2x+b2a2-3a2c2=0, 从而得到cx,-a=4ac,则，=a-2ac或，=a+2ac(舍去)， 因为-a<x,≤a,所以-a<a2-2ac≤a, 则a≤3c且c<a,解得≤e<1, 3 故选：B 4已加精图：号+茶-a>0b>0的左、右两个点为万，，若猫网1存在两点P、Q关于原者对称 且满足P听P5=g，∠PF,0=120,则椭圆C的离心率（) A.3 B.② D 1 2 2 c. 3 【答案】C 【详解】连接QF,QF,,因为点P、Q关于原点对称，所以四边形QF,F是平行四边形， 所以∠QFE=∠PFF,又因为∠PF,Q=120°，所以∠PFE+∠PFF3=∠PF0=120°， 所以∠F2PF=180°-∠PF,Q=60°， 因为P所P呱-？，所以P网P啊cos∠R,PR=2,所以P所PF=a, 10/30 专题01 椭圆 目录 A题型建模・专项突破 题型一、椭圆的定义（常考点） 6 题型二、动点的轨迹方程 7 题型三、椭圆的方程 8 题型四、椭圆的性质（重点） 13 题型五、直线与椭圆的位置关系（难点） 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、椭圆的定义 1.椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 2．已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 3.已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 4．（2025高二·全国·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点为，延长，与椭圆交于点，延长，与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 5.（24-25高二上·湖北孝感·期中）（多选）已知点是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，， 则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．最小值为2 D．最小值为3 题型二、动点轨迹方程 6.（24-25高二上·湖北孝感·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7.（2025高二·全国·期中）如图，已知，，，动圆与轴相切于点，过，两点分别作圆的非轴的两条切线，这两条切线的交点为．求证：为定值，并写出点的轨迹方程． 8.设椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上任取一点，过点作的补角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程． 题型三：椭圆的方程 9.（2025高二上·全国·期中）“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为 ． 题型四、椭圆的性质 11.已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C． D． 12.（河南省新乡市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题）已知椭圆的左､右焦点分别为，点为上一点，设的内切圆为，连接并延长交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 13.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 14.已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 15.（24-25高二上·湖北孝感·期中）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 16.（25-26高二上·广东·期中）记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五、直线与椭圆的位置关系 17.已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 18.如图，已知椭圆，、为焦点，过椭圆上点作椭圆的切线交圆：于不同的两点（其中点在点的右侧），则四边形面积的最大值为（    ）      A．2 B． C．3 D．4 19.（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 20．已知椭圆：的离心率为，右顶点为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 21．已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，试求直线的方程. 1.（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2.（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东滨州·二模）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 4．（2025·湖南长沙·二模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 5.（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 6.（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 7.（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 8.（2025·全国一卷·高考真题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $