函导综合二 极最值讲义——2026届高三数学一轮复习

函导综合二 2.极值最值 崔北祥 函导综合二： 2.极值最值 一、理论基础 1.函数极值的概念 设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 2.判定定理 函数在点处取得极值的充分条件： 第一充分条件：，且在左侧与右侧的符号相反，即是导函数的变号零点，则是的极值点. 第二充分条件： ，且，当时，为的极小值点，当时，为的极大值点. 第三充分条件：是函数的阶导数， 当是偶数时，，且，则为的极值点，当时，为的极小值点，当时，为的极大值点. 当是奇数时，，且，则不是的极值点. 3.最值定理 若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 二、解题步骤 1.求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注：普遍情况下，是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 2.求函数的最大值、最小值的一般步骤 设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 3.画函数图象的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数及的零点； （3）用的零点将函数的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性和最值； （4）确定图象所经过的一些特殊点以及图像变化的趋势、有无渐近线； （5）画出的大致图象. 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 四、典型例题讲解 1.求函数极值 例1已知函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 变式：已知函数，，其中是自然对数的底数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 2.已知极值求参数 例2 (2018北京19)设函数 （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围. 例3 （2018全国3卷21）已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 变式1：设 (常数). (1)令，求的单调区间； (2)已知在处取得极大值，求实数的取值范围. 变式2 已知是函数的极大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.求函数最值 例5（2018年全国1卷16）已知函数，则的最小值是 ． 变式：已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：. 4.已知最值求参数 例6 设函数，，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围. 变式：设函数，若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值. 五、强化训练 1.已知函数， （1）求函数在区间上的最值； （2）若（其中为常数），且当时，函数的三个极值点为，且，证明：，并求出函数的单调区间（用表示）. 2.已知函数. （1）若是的单调增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围. 3.(2023年新2卷)（1）证明：当时，； （2）已知函数，若为的极大值点, 求的取值范围. 厚积薄发 第 1 页 共 17 页 博观约取 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导综合二 2.极值最值 崔北祥 函导综合二： 2.极值最值 一、理论基础 1.函数极值的概念 设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 2.判定定理 函数在点处取得极值的充分条件： 第一充分条件：，且在左侧与右侧的符号相反，即是导函数的变号零点，则是的极值点. 第二充分条件： ，且，当时，为的极小值点，当时，为的极大值点. 第三充分条件：是函数的阶导数， 当是偶数时，，且，则为的极值点，当时，为的极小值点，当时，为的极大值点. 当是奇数时，，且，则不是的极值点. 3.最值定理 若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 二、解题步骤 1.求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注：普遍情况下，是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 2.求函数的最大值、最小值的一般步骤 设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 3.画函数图象的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数及的零点； （3）用的零点将函数的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性和最值； （4）确定图象所经过的一些特殊点以及图像变化的趋势、有无渐近线； （5）画出的大致图象. 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 四、典型例题讲解 1.求函数极值 例1已知函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 【解析】 ①当时，在上增，上减. ， ②当时，在上增，无极值 ③当时，在上增，上减. ，. 变式：已知函数，，其中是自然对数的底数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意，又，∴， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得， 因为 ，令则，∴在上单调递增. ∴ 当时，单调递减，当时， 当时，， 时，，单调递减，时，，单调递增， ∴当时， 当时， 由 得 ， ①当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴当时取得极大值.极大值为， 当时取到极小值，极小值是 ； ②当时，，所以 当时，，在上单调递增，无极值 ③当时，，故当时，，单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴当时， 当时， 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 函数有极小值，极小值是； 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减， 函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是； 当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大 值，也有极小值， 极大值是； 极小值是. 2.已知极值求参数 例2 (2018北京19)设函数 （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围. 【解析】（1）∵ ∴，. 由题设知，即，解得. 此时 ∴的值为. （2） 若，则当时，； 当时，. ∴在处取得极小值. 若，则当时，，， ∴.所以不是的极小值点. 综上可知，的取值范围是. 例3 （2018全国3卷21）已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求． 【解析】（1）当时，，. 设函数，则. 当时，；当时，. 故当时，，且仅当时，， 从而，且仅当时，. 所以在单调递增. 又，故当时，；当时，. （2）法一：第一充分条件分类讨论 ①若，由（1）知，当时，， 这与是的极大值点矛盾. ②若，设函数. 由于当时，，故与符号相同. 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点. . 如果，则当，且时，， 故不是的极大值点. 如果，则存在根，故当，且 时，，所以不是的极大值点. 如果，则. 则当时，；当时，. 所以是的极大值点，从而是的极大值点 综上，. 法二：第三充分条件 ，， ， ， ，， ∵是的极大值点， ∴令，得 当时 ∵，∴是的极大值点，综上，. 法三：问题转化为恒成立再转化 （一）不隔离参数再转化为简单函数极值问题 【分析】在处的极值，只要研究包含的一个无限小的区间上函数的性质即可， 发现，故可以选定为正的一个小区间解决问题. ∵是的极大值点 ∴，使得时，，且恒成立， 即，即恒成立， 令，则， ∴是的极大值点， 又∵， ∴是的变号零点， ∴，得 而当时，， 则时，，时，， ∴是的极大值点，也是的极大值点，综上，. （二）隔离参数转化为恒成立问题（必要条件探路） ∵是的极大值点 ∴，使得时，恒成立， 当时，，即 当时，，即 变式1：设 (常数). (1)令，求的单调区间； (2)已知在处取得极大值，求实数的取值范围. 【解析】(1)由可得. ∴.又， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)由(1)知，. ①当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增， 可得当时，，当时，. ∴在内单调递减，在内单调递增. ∴在处取得极小值，不合题意. ②当时，，在内单调递增，在内单调递减， ∴当时，，单调递减，不合题意. ③当时，，当时，，单调递增，当 时，，单调递减. ∴在处取极大值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 变式2 已知是函数的极大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】方法一：第二充要条件：，， ，， 即， 当时，，是函数的极大值点 综上：； 方法二：重构目标函数： ∵是函数的极大值点， ∴存在，使时， 当时， 当时，（洛必达法则） ∴ 方法三：依据极值的定义，要使是函数的极大值点， 须在的左侧附近，，即； 在的右侧附近，，即． 易知，时，与相切于原点， 所以根据与的图象关系，可得，故选B． 备用方法：令，则，， 当，时，，单调递减， ∴时，，，且， ∴，即在上单调递增， 时，，，且， ∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意； 当时，存在使得，即， 又在上单调递减，∴时，，所以， 这与是函数的极大值点矛盾．综上，．故选B． 3.求函数最值 例5（2018年全国1卷16）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】法一：∵，∴， 令，得或， 要使最小，必为负值， ∴当，时，. 法二：均值不等式 ∵， ∴要使最小，必为负值， ∴只考虑时， . 思维拓展 观察到原函数中只含由正弦三角名，利用导数可以转化为余弦三角名，进而导函数能转化为二次函数，求出原函数的极值点，求出最小值.对原函数三角变形后，根据结构特点，也可以利用四元均值不等式来求最值. 变式：已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：. 【解析】（1）， 当时，，当时，， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当时，， 则 当时，，令， 则，在上单调递增， ∵， ∴存在唯一，使得，即，即 故当时， 当时， ∴在上单调递增，在上单调递减 则 令，，则 ∴在上单调递增，∴ ∴. 4.已知最值求参数 例6 设函数，，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围. 【解析】函数的导函数为： ① 函数的导函数为： ② 由在上是单调减函数得： 代入①式得：，即： 考虑到，故：，即： 由在上有最小值，是最值点为 则：， 代入②式得：，即：，即： 考虑到，故：，即：，综上，的取值范围 变式：设函数，若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值. 【解析】 ①当时，在上恒成立，在上单调递增， 则，得,舍去； ②当时，在上恒成立，在上单调递减， 则，得,舍去； ③当时，由，得；由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，得， 设,则 当时，,单调递减， 当时,单调递增， 故,的解为.综上①②③，. 五、强化训练 1.已知函数， （1）求函数在区间上的最值； （2）若（其中为常数），且当时，函数的三个极值点为，且，证明：，并求出函数的单调区间（用表示）. 【思路探究】本题是函数导数综合问题，主要考查分式型且镶嵌有对数的函数图像与性质、导数运算及应用、函数单调性和最值的求解.考查函数方程思想和转化划归思想. （1）直接利用导数判定出单调性、求出最值；（2）利用二次求导，结合函数图像找出四个量之间的关系，分类讨论即可. 【解析】（1），令，可得，列表如下： 极小值 故函数的单调减区间为和，单调递增区间为，即函数在 上单调递减，在上单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （2）由题意，， 令函数，有，故在上递减，在上递增， 因为函数有三个极值点为，从而，所以， 当时，，， 从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于. 又，所以，，即，故， 当时，，，故单调递减； 当时，，，故单调递增； 当时，，，故单调递减； 当时，，，故单调递减； 当时，，，故单调递增. 综上，函数的单调递增区间有和，单调递减区间有，，. 2.已知函数. （1）若是的单调增函数，求实数的取值范围； （2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围. 【解析】（1）， . ∴，∴， 令，， ∴，∴. （2） ∴ ，∴ ∴，，， ， ， ∴． 由（1）知在上单调递减，，且， ∴．∴， ，∴，， ∴的最小值的取值范围是． 3.(2023年新2卷)（1）证明：当时，； （2）已知函数，若为的极大值点, 求的取值范围. 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判 断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论 和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【解析】（1）令，则， ∴在区间上单调递减 ∴，在区间上单调递减 ∴，即 令，则 ∴在区间上单调递增 ∴，即 综上：当时，； （2）法一：极值的第一充分条件与第二充分条件结合： 定义域为，且为偶函数 ，， ①当，即时，存在，使得时， ，在上单调递增， ∴， ∴在上单调递增，这与为的极大值点矛盾，舍去 ②当，即时，存在，使得时， ，在上单调递减，注意到 ∴， ∴在上单调递增，这与为的极大值点矛盾，舍去 时，，单调递增 时，，单调递减 ∴为的极大值点，符合 ③当，即时，由为偶函数 只考虑的情形，此时， 时， 在上单调递增，在上单调递减， ∴为的极小值点，不符合 综上：. 法二：第二充分条件：只能秒答案 ， 法三：指对数泰勒展开式 ，∴ ，∴，即 法四：第一充分条件（讨论） 令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， ①当时，取，，则， 由（1）可得， 且，所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； ②当时，取，则， 由（1）可得 ， 构建，则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故的取值范围为. 法五：第一充分条件（讨论） 显然函数的定义域为，且，， ， 因为的极大值点，且函数是偶函数，即为奇函数， 故只需证：在上恒成立即可，又， 由，即，解得或， ①当或时，，因在显然递增， 在也显然递增，故在递增，又，即必 有使得恒成立，所以在上单调递减，且， 故在上恒成立， 所以在处单调递减，又为偶函数，在上单调递增，符合题意. ②当时，因在显然递增，在也 显然递增，故在递增，又， 即在处大于等于0恒成立， 故在上单调递增，且， 所以在处单调递增，又为偶函数， 在上单调递减，与极大值矛盾，故不符合题意. 【点睛】 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 厚积薄发 第 1 页 共 17 页 博观约取 学科网（北京）股份有限公司 $