函导综合二 单调性讲义——2026届高三数学一轮复习

函导综合二 1.单调性 崔北祥 函导综合二： 1.单调性 导函数符号与原函数单调性之间的关系是利用导数研究函数的一个基准点，也是利用导数研究函数的开始. 一、理论依据 对于函数定义域为，，是的导函数， 若时，，时，是增函数，则是的充分不必要条件； 若时，，时，是增函数，则是的必要不充分条件； 若时，，且点只有有限多个且不连续，时，是增函数，则是的充分必要条件. 类似的，可以得出导函数符号与单调递减的关系. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立. 二、用导数研究函数的单调性的步骤 1.用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0 2.用导数求函数的单调区间 方法一： ①求函数的定义域→ ②求导→解不等式0（若导函数里面带有参数，则需要对导函数零点的大小及零点与区间端点的大小关系进行讨论）得解集→ ③求，得函数的单调递增（减）区间． 方法二： ①求函数的定义域→ ②求导→解方程的根→ ③用求得的根划分定义域→ ④确定在各个开区间内的符号→ ⑤确定相应开区间上的单调性． 三、难点：主导函数的分类讨论 1.按照主导函数性质要素 2.参变量范围与主导函数值域关系 四、典型例题分类分析 1.利用导数研究函数单调性或单调区间 例1（1）函数讨论函数在区间内的单调性 （2）已知，讨论的单调性. 【解析】（1）令， ∴， 令，得，，从而或 当时，，， 因此，，故单调递减 当时，，， 因此，，故单调递增 又∵在上单调递减，在上单调递增， ∴在上单调递减，在上单调递增 （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减 当时，在，上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递增 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 变式：求函数的单调区间. 【解析】函数的定义域为 ， 令，得或， ①当时，即， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当，即时，函数在区间上单调递增； ③当，即时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 2.已知函数单调性求参数取值范围 例2 已知函数. （1）若在上为减函数，则实数的取值范围是 ； （2）若的单调递减区间是，则实数的取值范围是 ； （3）若在上不单调，则实数的取值范围是 . 【解析】（1）；（2）；（3）. 变式 已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数的单调递减区间是，求实数的值； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【解析】由，得． （1）因为在上单调递增，所以对恒成立， 即对恒成立，只需， 而，所以，经检验，当时，符合题意， 故的取值范围是； （2）令，因为的单调递减区间是，则不等式的解集为， 所以和是方程的两个实根，所以，得； （3）因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立， 即对恒成立，易得函数的值域为， 所以，即实数的取值范围是． 【点睛】对于已知函数的单调性求参数问题： （1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； （2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； （3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； （4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解. 五、强化练习 1.判断函数在上的单调性. 【解析】， ∵ ∴， ∴ 函数在上的单调递增 2.讨论的单调性 【解析】,根的情况转化为的根的情况, 根据与的大小进行讨论. ①在上是增函数,在上是减函数； ②,在上是增函数； ③, 在上是增函数,在上是减函数. 3.已知在定义域内单调递增，求的取值范围. 【解析】 ∵在定义域上单调递增， ∴恒成立，即在上恒成立. ∵时，，∴，即的取值范围是. 4.若函数存在单调递减区间，求的取值范围. 【分析】根据题意转化为有解，进而得到有解，构造函数，根据单调递增，转化为有解，设，利用导数求得函数单调性与最值，即可求解. 【解析】由函数，可得， 因为函数存在单调递减区间，即有解，即， 即，即有解， 构造函数，可得，所以单调递增， 因此不等式转化为，即有解， 设，可得，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，又因为，所以. 5.已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，则. 当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）假设存在实数，使在上是增函数， 则恒成立，即在上恒成立， 在上恒成立，恒成立. 又，的最小值为.当时，恒成立. 又当时，，当且仅当时，. 故当时，在上单调递增. 学而不知道 与不学同 第13页 共13页 知而不能行 与不知同 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导综合二 1.单调性 崔北祥 函导综合二： 1.单调性 导函数符号与原函数单调性之间的关系是利用导数研究函数的一个基准点，也是利用导数研究函数的开始. 一、理论依据 对于函数定义域为，，是的导函数， 若时，，时，是增函数，则是的充分不必要条件； 若时，，时，是增函数，则是的必要不充分条件； 若时，，且点只有有限多个且不连续，时，是增函数，则是的充分必要条件. 类似的，可以得出导函数符号与单调递减的关系. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立. 二、用导数研究函数的单调性的步骤 1.用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0 2.用导数求函数的单调区间 方法一： ①求函数的定义域→ ②求导→解不等式0（若导函数里面带有参数，则需要对导函数零点的大小及零点与区间端点的大小关系进行讨论）得解集→ ③求，得函数的单调递增（减）区间． 方法二： ①求函数的定义域→ ②求导→解方程的根→ ③用求得的根划分定义域→ ④确定在各个开区间内的符号→ ⑤确定相应开区间上的单调性． 三、难点：主导函数的分类讨论 1.按照主导函数性质要素 2.参变量范围与主导函数值域关系 四、典型例题分类分析 1.利用导数研究函数单调性或单调区间 例1（1）函数讨论函数在区间内的单调性 （2）已知，讨论的单调性. 变式：求函数的单调区间. 2.已知函数单调性求参数取值范围 例2 已知函数. （1）若在上为减函数，则实数的取值范围是 ； （2）若的单调递减区间是，则实数的取值范围是 ； （3）若在上不单调，则实数的取值范围是 . 变式 已知函数． （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数的单调递减区间是，求实数的值； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 五、强化练习 1.判断函数在上的单调性. 2.讨论的单调性 3.已知在定义域内单调递增，求的取值范围. 4.若函数存在单调递减区间，求的取值范围. 5.已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 学而不知道 与不学同 第13页 共13页 知而不能行 与不知同 学科网（北京）股份有限公司 $