专题02 勾股定理（二）12大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题02勾股定理（二) ☆12大高频考点概览 考点01勾股定理与折叠问题 考点02勾股定理与网格问题 考点03勾股定理与最值问题 考点04最短路径问题 考点05水杯中筷子问题 考点06梯子问题 考点07超速问题 考点08受台风影响问题 考点09放风筝问题 考点10秋千问题 考点11航海问题 考点12其他实际应用问题 目目 考点01 勾股定理与折叠问题 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)如图，点E是长方形ABCD的边AB上一点，将长方形沿CF 折叠，使点B恰好落在ED上的点F处.若BE=1,BC=3,则CD的长为() B.-- A.2 B.4 C.5 D. 5 2.(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)如图所示，有一块直角三角形纸片， ∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕 为AD,则CD的长为() 1/33 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D B B.3cm C.2cm D.3cm 3.(24-25八上辽宁辽阳灯塔市·期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(4,0),B(4,2), C(O,2),将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E,则点D的纵坐标为( D E. A A.16 D.4 5 。号 4.(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)如图，长方形纸片ABCD中，AB=6,AD=18,将此长方形纸片 折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则BE的长度为() A.6 B.10 C.24 D.48 5.(23-24八上·辽宁辽阳·期中)如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰 好与点O重合，若BC=3,则折痕CE的长为0 2/33 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 O E A.23 B. 33 c.3 D.6 二、填空题 6.(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6,AB=8,D为BC边上一 点，连接AD.将△ABD沿AD折叠得到△ABD,AB交BC于点E.若BD⊥BC,则BD的长为 =B D 7.(24-25八上辽宁锦州黑山县·期中)如图，己知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取 一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,则△CEF的面积为cm. D B 8.(24-25八上·辽宁铁岭部分学校期中)如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0),点B(0,3),点B关于直 线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为一· 9.(24-25八上·辽宁丹东东港·期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在边AD,BC上，将四 边形ABFE沿EF折叠得到四边形EFNM,点A的对应点M恰好落在直线CD上.若DM=1,则线段BF 3/33 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 的长度为一· D B 10.(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学期中)如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形 ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD=8cm,BE=3cm,则图中阴影部 分的面积为_cm2. D B 11.(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)如图1，M,N分别为锐角∠AOB边OA,OB上的点，把∠AOB 沿MN折叠，点O落在∠AOB所在平面内的点C处.若折叠后，直线CM与OB交于点E,且MC⊥OB, 垂足为点E,且OM=10,ME=6,则此时ON的长为_ B B E M A 图1 备用图 12.24-25八上辽宁沈阳康平县期中如图，一次函数y=3X+3的图像与轴、y轴分别交于A、B两点， 4 C是OA上的一点，若△ABC将沿BC折叠，点A恰好落在y轴上的点A处，则点C的坐标是 13.(23-24八上·辽宁丹东东港·期中)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现 4/33 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长等于cm. C D B 14.(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠，使点 B落在点E处，CE交AD于点F,则DF=式一· B 目目 考点02 勾股定理与网格问题 一、单选题 1.(24-25八上·辽宁铁岭·期中)如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A, B,C,D,M,N均在格点上，其中点A,B,C,D能与点M,N构成一个直角三角形的是() B D A.点A B.点B C.点C D.点D 2.(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团期中)如图，△ABD和△ABC的顶点均在边长为1的小正方形 网格格点上，则∠BAC的度数为() B D C A.120° B.135° C.150° D.165 3.(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图所示的网格是正方形网格，∠PAB-∠PCD=(()°.（点 5/33 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A,B,C,D,P是网格线交点) A.15 B.30 C.45 D.60 4.(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都 在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为() A.1410 B.14/10 C.710 D. 710 30 10 20 10 5.(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上， CD⊥AB于点D,则CD的长为() D 号 B.4 c号 n.号 6.(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)如图，在5×6的正方形网格中，点A,B在格点上，且每个小正方形 的边长都是1，则线段AB的长为() B A.3 B.4 C.5 D.7 6/33 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 二、填空题 7.(24-25八上·辽宁沈阳第七中学期中)如图所示的网格每个正方形的边长是1，则点A到BC的距离等于_ 三、解答题 8.(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，在单位长度为1的正方形网格中，A,B,C,D都在小正方 形的顶点上，连接AB,CD交于点P. (1)求AB的长； (2)求∠APC的度数 9.(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)已知：如图，已知△ABC,△ABC的顶点A(0,-2), B(2,-4),C(4,-1)均在正方形网格的格点上. 2 -5-4-3-2-10 (1)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A,B,C1并写出点A,的坐标： (2)求△ABC的面积： 7/33 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 (3)求点B到AC的距离， 10.(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为5、V10、V13,求 △ABC的面积.小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算 出△ABC的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法. 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： 图1 图2 图3 (1)图1中△ABC的面积为 ； (2)图2是一个6×6的正方形网格. ①利用构图法在图2中画出格点△(，使DE=V13,EF=V20,DF=V29: ②计算①中△些乙的面积为 (3)如图3，已知△PQR,以PQ,PR为边向外作正方形PQAF,正方形PRDE,连接EF, ①△PQR与△PEF面积之间的关系为： ②若PQ=V10,PR=13,QR=3,直接写出六边形AQRDEF的面积为 (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛ABCDEF的面积（正方形PQEF面积为29，正方形 ABRP面积为26，正方形CDQR面积为9)为 B A 26 R 29 E 图4 备用图 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图 8/33 命学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 形加以解决，如a+b2的几何意义是以a和b为直角边的直角三角形的斜边.例如，已知3+42=5从勾 股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4.计算结果为斜边长度5.同理， 计算a+64=a+82(a>0)可以看成直角边长度别为a、8,结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试 着用“构图法”解决以下问题： (5)已知a+b=12(a>0,b>0),计算a+4+b2+9的最小值为： (6)代数式7x2+9+V(15-x)2+25的最小值为 11.(24-25八上·辽宁凌海期中)作图与设计： 在图1和图2中，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. 图1 图2 图3 (1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为5,10,5： (2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形： (3)在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系，若△ABC各顶点的坐标分别为：A一3，-1，B4,2, C-1,4,请你作△ABC,使△ABC和△ABC关于x轴对称. 目目 考点03 勾股定理与最值问题 一、单选题 1.(23-24八上·辽宁沈阳和平区南昌中学沈北分校·期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点，E,F分别是AD,AC上的动点，则CE+EF 的最小值为() 9/33 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A E B D 40 3 B.5 4 C.24 5 D.6 2.(23-24八上·辽宁本溪·期中)如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上一动 点，则DN+MN的最小值为() A D N ⊙ C A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 3.(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)已知△ABC,AB=5,BC=12,AC=13,点P是AC上的一个动点， 则线段BP长的最小值是一· 4.己知：如图，△ABC中，AB=AC=4,BC=43,∠C=30°，点D为AC边的中点，点E为BC边 上一点，连接AE、DE,则△ADE周长的最小值是一 B E 5.(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6,AC=12,点 D、E在AB、AC边上，且AD=CE,则CD+BE的最小值一 B A 6.(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，连接BD,AB=AD=2, 10/33 专题02 勾股定理（二） 12大高频考点概览 考点01 勾股定理与折叠问题 考点02 勾股定理与网格问题 考点03 勾股定理与最值问题 考点04 最短路径问题 考点05 水杯中筷子问题 考点06 梯子问题 考点07 超速问题 考点08 受台风影响问题 考点09 放风筝问题 考点10 秋千问题 考点11 航海问题 考点12 其他实际应用问题 地 城 考点01 勾股定理与折叠问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 勾股定理求出的长，利用折叠得到，求出，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 根据勾股定理得，解得：． 故选：A． 3．(24-25八上·辽宁辽阳灯塔市·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则点D的纵坐标为（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出，进而可得出，设点的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出值，再根据点的坐标，过点作轴于点，利用，可以求出的长，进而可以解决问题． 【详解】解：，，，， 四边形为矩形， ． ， ， ． 设点的坐标为，则，， 在中，，，， ， ， 点的坐标为． ， ， 如图，过点作轴于点， 由翻折得：，， ， ， ， ， 即点的纵坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，图形的折叠，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，图形的折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 4．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 5．(23-24八上·辽宁辽阳·期中)如图，点O是矩形的中心，E是上的点，沿折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕的长为() A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理,等腰三角形的性质和判定定理，矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键； 先根据图形翻折变换的性质求出的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论； 【详解】∵是翻折而成， ∴，， ∴， ∵是矩形的中心， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 在中，， 即，解得， 在中，设， 则 ， 即， 解得， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图，在中，，，，为边上一点，连接．将沿折叠得到，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识．过点作于点，首先根据勾股定理解得的值，结合三角形面积可求得的值，在中利用勾股定理可解得，由折叠的性质可得，结合可解得，进而可得，即可证明为等腰直角三角形，易得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， 即，解得， ∴在中，， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)如图，已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，利用勾股定理列方程求解是解题的关．根据长方形的性质及轴对称的性质可得，，，根据勾股定理求得，进一步得到，设，再根据勾股定理列方程，即可求得答案． 【详解】四边形是长方形 ，，， 折叠使点D恰好落在边上的点F， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 的面积为． 故答案为：6． 8．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，勾股定理， 点，点，则，，由勾股定理得，设点的坐标为，则，，通过勾股定理得出，则有，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由题意得， ∴， 设点的坐标为：， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．(24-25八上·辽宁丹东东港·期中)如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【详解】解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处．已知AD＝8cm，BE＝3cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】30 【分析】由折叠的性质可得DC = DF，CE=EF=5cm，∠C=∠DFE= 90°，由勾股定理可求BF、AB的长，即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是长方形， ∴ AD= BC= 8(cm)，AB= CD， ∴CE= BC- BE=8-3= 5 (cm)， ∵将长方形ABCD沿直线DE折叠， ∴DC= DF，CE= EF= 5 (cm)，∠C=∠DFE= 90°， ∴ ∴AD2 + AF2= DF2 ∴64+(AB-4)2 = AB2 ∴AB=10(cm)， ∴AF=6(cm)， ∴阴影部分的面积＝×6×8+×3×4= 30(cm2) 故答案为：30 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求出AB的长是解题的关键． 11．(24-25八上·辽宁丹东第五中学·期中)如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 . 【答案】5或20 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：5或20． 12．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，C是上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处，则点C的坐标是 . 【答案】 【分析】先求出线段的长，再利用，得 ，求出的长，设为x，利用，求出x的长，即可得答案． 【详解】解：一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ， ， 将沿折叠，点A恰好落在y轴上的点处， ， ， ， 设为x，那么， ，即 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，解题的关键是证明． 13．(23-24八上·辽宁丹东东港·期中)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 14．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形和折叠，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠性质，得， ， ， 设， 则， 在中，， 解得， 的长为． 故答案为：． 地 城 考点02 勾股定理与网格问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁铁岭·期中)如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键． 证明直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 故选：D． 2．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 3．(24-25八上·辽宁凌海·期中)如图所示的网格是正方形网格，（    ）°．（点A，B，C，D，P是网格线交点） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理．连接，，由图可知，，则，然后根据勾股定理可以求得、、的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以得到的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴， ∴， 故， 设正方形网格的边长为，则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， ， 故选：C． 4．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 5．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 6．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用勾股定理即可计算． 【详解】根据题意，利用勾股定理有， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，通过网格点找到合适的直角三角形并确定其边长是解答本题的关键． 二、填空题 7．(24-25八上·辽宁沈阳第七中学·期中)如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点到的距离为，由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积求出即可． 【详解】解：设点到的距离为， 由勾股定理得： ， 是直角三角形，且， ， ， 即点到的距离等于； 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解，构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：如图，取格点，连接， 由网格得： ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 9．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)已知：如图，已知，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出与关于x轴对称的图形并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)求点B到的距离． 【答案】(1)作图见解析， (2)5 (3) 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可，根据图形位置即可写出的坐标； （2）根据利用面积和差即可得到三角形面积． （3）根据点A、C的坐标求出的长度，再根据的面积，即可求出点B到的距离． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；的坐标为； （2）解：的面积 （3） ，， ， 由（2）得的面积为5， 点B到的距离． 10．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)阅读下列材料： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解快问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1）： (1)图1中的面积为______； (2)图2是一个的正方形网格． ①利用构图法在图2中画出格点，使，，； ②计算①中的面积为______； (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接， ①与面积之间的关系为______； ②若，，，直接写出六边形的面积为______； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛的面积（正方形面积为29，正方形面积为26，正方形面积为9）为______． 材料（二）利用构图法我们还可以从构造几何图形入手，将复杂的根式计算用构造图形的方式转为几何图形加以解决，如的几何意义是以和为直角边的直角三角形的斜边．例如，已知从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4．计算结果为斜边长度5．同理，计算可以看成直角边长度别为、8，结果为斜边长度，利用此原理并请你能尝试着用“构图法”解决以下问题： (5)已知，计算的最小值为______； (6)代数式的最小值为______． 【答案】(1) (2)①见解析；②8 (3)①相等；②32 (4)94 (5)13 (6)17 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，正确理解勾股定理的几何意义并构造图形是解题的关键． （1）利用差补法，将的面积转化为矩形和直角三角形的面积差； （2）①根据勾股定理的几何意义构造图形即可；②根据长方形面积公式以及直角三角形面积公式计算即可； （3）①过点作于，过点作于，根据三角形全等得出，再根据正方形的性质得出，最后根据三角形面积公式证明即可；②过作于，根据勾股定理求出的高，再根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （4）根据（3）的结论可以得出四个三角形面积相等，再根据勾股定理求出的高，进而根据正方形面积公式和三角形面积公式求出六边形面积即可； （5）根据勾股定理的几何意义，构造三角形，利用三级形三边关系求得最小值即可； （6）类比（5）的结论直接求解最小值． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：① ，，， ，， ， 如图所示，为所求： ② 故答案为：； （3）解：①相等，理由如下： 过点作于，过点作于，如图： 正方形，正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：相等； ②过点作于，如图： 由勾股定理可得：，， 两式相减可得：， ， 六边形的面积为 故答案为：32； （4）解：由（3）可知，， 过点作于，如图： 正方形面积为9， ， ， ，， ，， ； 故答案为：94； （5）解：构图如下： 其中，，，，，四边形为矩形， ， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：13； （6）解：由（5）可得： 故答案为：17． 11．(24-25八上·辽宁凌海·期中)作图与设计： 在图1和图2中，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．    (1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为5，，5； (2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (3)在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系，若各顶点的坐标分别为：，，，请你作，使和关于轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用， （1）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形即可； （3）先根据关于轴对称的点的性质，在平面直角坐标系中标出、、，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，三角形三边长分别为5，，5； （2）解：如图，正方形的面积为10； （3）解：如图，和关于轴对称，即为所求． 地 城 考点03 勾股定理与最值问题 一、单选题 1．(23-24八上·辽宁沈阳和平区南昌中学沈北分校·期中)如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为， 故选：C． 2．(23-24八上·辽宁本溪·期中)如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题 3．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)已知 ，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当时，线段最短，勾股定理逆定理求出是直角三角形，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，    ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 5．(24-25上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)在中，，点D、E在边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】如图，作，使得．作交的延长线于G．证明，则，，的最小值为的长，由，可得，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，使得．作交的延长线于G，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 6．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长至点H使，连接，构造可得，即可得的最小值为，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长至点H使，连接如图： ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 在中， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短等知识，解题关键是构造全等三角形，题目难度大，是中考常考题型． 三、解答题 7．(24-25八上·辽宁阜新实验中学·期中)（1）问题探究 ①如图1，在直角中，，P是边上一点，连接，则的最小值为 ． ②如图2，在等腰直角中，，求边的长度（用含a的代数式表示）． （2）问题解决 如图3，在等腰直角中，，D是边的中点，若P是边上一点，试求：的最小值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①如图1中，作于．等面积法求出，根据垂线段最短即可解决问题． ②利用勾股定理即可解决问题． （2）如图3中，作于于交于．因为，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长． 【详解】解：（1）①如图1中，作于． 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知当与重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． ②如图2中， ， ， ， 或（舍去）， ． （2）如图3中，作于于F交于T． 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为的长． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，二次根式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题． 8．(23-24八上·辽宁大连中山区·期中)人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，则的长度即为与的和的最小值，再求出的长度，得到，即可得到答案； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，    ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， 即就是的最小值， ∵，E为的中点，， ∴． ∴的最小值是12． ∵， ∴， 解得， ∴ ∴的最小值是，即周长的最小值是． （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值，    ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 地 城 考点04 最短路径问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁阜新太平区阜新第四中学·期中)如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　） A．㎝ B．5cm C．㎝ D．7cm 【答案】B 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴AC′=3cm， ∵PC′=BC′， ∴PC′=×6=4cm， 在Rt△ACP中， AP2=AC′2+CP2， ∴AP==5． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理． 2．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接， （米），（米）， （米）， （米）， （米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 3．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理；要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 4．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A．50 B．120 C．130 D．150 【答案】C 【分析】将三棱柱沿展开，得到直角边分别是底面周长，棱柱的高，勾股定理计算即可． 本题考查了三棱柱的展开，勾股定理，熟练掌握三棱柱的展开，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 则（cm）， 答：这圈金属丝的长度至少为130． 故选：C． 5．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm， ； ③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm， ； ∵， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 6．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： ∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1， ∴AB＝＝5； 把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： ∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1， ∴AB＝＝； 把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： ∵长方体的宽为2，高为4，点B离点C的距离是1， ∴AB＝＝ ； ∵5＜＜， ∴蚂蚁爬行的最短距离是5． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 二、填空题 7．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 cm． 【答案】10 【详解】如图所示： 连接AB， ∵圆柱高8cm，底面圆周长为12cm， ∴AC=×12=6cm， 在Rt△ABC中， AB==10cm． 8．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图是一个长方体盒子，底面长，宽，高，是边的中点，处有一只蚂蚁，处有一块蛋糕，则蚂蚁沿长方体盒子表面爬行到处的最短距离是 ．    【答案】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答. 【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形, 如图: ∵底面长,宽,高,是边的中点，    根据勾股定理得，； 只要把长方体的上底面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：    ∵底面长,宽,高,是边的中点, 根据勾股定理得，； 只要把长方体的上表面剪开与左侧面所在的平面形成一个长方形，如图：    ∵底面长,宽,高,是边的中点, 根据勾股定理得，； ， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键． 9．(24-25八上·辽宁锦州第八初级中学·期中)如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接， 则最短路径 故答案为：5． 10．(24-25八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中)如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 11．(24-25八上·辽宁沈阳于洪区·期中)如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的正面和上面进行展开时，③当沿长方体的右面和下面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ②当沿长方体的正面和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ③当沿长方体的右面和下面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他途径必定比①②③两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 12．(24-25八上·辽宁沈阳沈北新区·期中)如图有一圆柱，高为，底面半径为，在圆柱下底面点有一只蚂蚁，它想吃上底面与相对的点处的食物，需爬行的最短路程大约为 （取）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何体的展开图，根据题意，将圆柱展开，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，圆柱体侧面展开是一个长方形，如图所示， ∴，，且， ∴， 故答案为： ． 13．(24-25八上·辽宁丹东多校联考·期中)如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】解：如图所示， ∵AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， ∴AS＝＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题,根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 14．(24-25八上·辽宁锦州太和区·期中)在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短求出对角线长是解题关键． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，    ∴长方形的长为米米， ∵长方形的宽为米， ∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 15．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20米/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 地 城 考点05 水杯中筷子问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳康平县·期中)如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（    ） A．7 B．8 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，    在中，，， ， 此时， 的值最小为是． 故选：A． 2．(24-25八上·辽宁兴城·期中)已知某个抽屉的底面是一个长，宽的矩形，现打算贴抽屉底面放一根木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解矩形中最长的线段是矩形的对角线是关键；利用勾股定理求出矩形的对角线长，即是木棒的最大长度． 【详解】解：由勾股定理得：； 即这根木棒最长是； 故选：C． 3．(23-24八上·辽宁葫芦岛连山区·期中)如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是构建直角三角形． 吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴露出杯口外的长度为：， 故选：C． 4．(23-24八上·辽宁沈阳·期中)如图，一个长方体木箱长、宽、高分别为，，，则能放入此木箱中的木棒最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理求出，再在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的长即可 【详解】解：如图，由勾股定理得，， 在中，，由勾股定理得， 即能放入此木箱中的木棒最长为 故选：A． 5．(23-24八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)如图，一根长的吸管置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 如图，由勾股定理得，，则，此时吸管露在杯子外面的长度最短，由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为 ，即，然后作答即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴，此时吸管露在杯子外面的长度最短， 由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为（）， ∴， 故选：B． 6．(23-24八上·辽宁阜新彰武县·期中)将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 7．(23-24八上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：根据题意可得：， 在中∶， 所以 则这只铅笔在笔筒外面部分长度为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 二、填空题 8．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 地 城 考点06 梯子问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中)某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵ ，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 2．(23-24八上·辽宁大连第九中学·期中)如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（    ）． A．7m B．8m C．9m D．10m 【答案】B 【分析】利用勾股定理进行解答，先求出梯子未下滑时顶端距地面的距离，根据顶端下滑4米，再求出下滑后梯足距离墙角的距离，便可计算梯足滑动的距离． 【详解】解：梯子未下滑时顶端距地面的距离：，下滑4m后，梯子顶端距地面24-4=20m，此时梯足距离墙角的距离：， ∴15-7=8m， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 3．(23-24八下·辽宁鞍山铁西区校联考·期中)如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　　） A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m 【答案】A 【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长． 【详解】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169， 在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2． ∵AB＝A′B′， ∴A′O2＋OB′2＝169， ∴OB′＝=， ∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．(23-24八上·辽宁沈阳新民·期中)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 二、填空题 5．(23-24八上·辽宁营口大石桥十五校联考·期中)如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动 m． 【答案】2 【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答． 【详解】如图所示： 题意可得，AC＝6m，AB＝10m， 则BC＝＝＝8（m）， A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m， 故B′C＝＝＝6（m）， 则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C＝8﹣6＝2（m）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 三、解答题 6．(24-25八上·辽宁沈阳大东区·期中)如图，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， 所以， 即这架云梯的顶端A距地面有高； （2）解：∵云梯的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 所以， 即梯子的底端在水平方向滑动了． 7．(24-25八上·辽宁丹东东港·期中)消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 8．(23-24八上·辽宁大连甘井子区·期中)一架长的梯子，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙． (1)如图，，，求这架梯子的顶端距地面有多高？    (2)如图，如果梯子靠墙下移，底端向右移动至点处，求它的顶端A沿墙下移多少米？    【答案】(1)这架梯子的顶端距地面有 (2)梯子的顶端沿墙下移 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理计算是解题的关键． （1）根据勾股定理，计算得出答案即可； （2）根据、，结合勾股定理计算，最后根据得出答案即可． 【详解】（1）解：∵于点， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∵，， ∴， 答：这架梯子的顶端距地面有； （2）解：由题意，得， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， 答：梯子的顶端沿墙下移． 9．(23-24八上·辽宁抚顺新抚区·期中)如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 10．(23-24八上·辽宁沈阳法库县·期中)如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【答案】云梯不能到达城墙的顶端，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出斜边与直角边，再利用勾股定理求出梯子能够到达的墙的最大高度即可．正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解题的关键． 【详解】解：云梯不能到达城墙的顶端． 理由：连接， 由题意， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴云梯不能到达城墙的顶端． 11．(23-24八上·辽宁朝阳朝阳县羊山实验中学·期中)如图，一架梯子长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)8米 (2)米 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）梯子距离地面的高度为：（米）； （2）∵梯子下滑了2米 ∴米， ∴此时梯子距离地面的高度为（米）， ∴（米）， ∴米． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 地 城 考点07 超速问题 一、解答题 1．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 地 城 考点08 受台风影响问题 一、解答题 1．(23-24八上·辽宁丹东东港·期中)如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点飞向点，在直线的正下方有一个着火点，且点与两点的距离分别为和，又两点距离为，飞机与着火点距离在以内可以受到洒水影响．    (1)请通过计算说明，着火点是否受洒水影响； (2)若救火飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点飞到点的过程中，着火点能否被扑灭． 【答案】(1)着火点洒水影响，见解析 (2)着火点能被扑灭，见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为，   ，，， ，， ， 是直角三角形， ， （米）， ， 着火点C受洒水影响 （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点，   ， ， 在中，， ， 飞机的速度为， （秒）， 14秒13秒， 着火点能被扑灭， 答：着火点能被扑灭． 2．(23-24八上·辽宁沈阳辽宁协作体(沈阳7中.锦州实验)·期中)如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．    (1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由； (2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)火箭发射塔受影响的时间为36分钟 【分析】（1）过点Q作于点H，只要计算的长与150作比较，若比150小，则受影响，反之，则不受影响； （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，勾股定理求出的长，则可得的长，再除以其速度即得时间． 【详解】（1）受影响．理由如下： 过点Q作于点H， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，在中，， ∴． ∴火箭发射塔会受到大风的影响．    （2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，则， 在中，． ∵，， ∴， ∴， ∴（小时）（分钟）． ∴火箭发射塔受影响的时间为36分钟． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 地 城 考点09 放风筝问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 二、解答题 2．(24-25八上·辽宁沈阳虹桥初级中学·期中)数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 3．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 【答案】(1)10.6米 (2)5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上即可； （2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）由题意可得， 米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）， 即风筝的垂直高度的长为10.6米； （2）由题意知，（米），米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该把线再放出5米， 故答案为：5． 4．(24-25八上·辽宁锦州第四中学教育集团·期中)数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． (1)求的长． (2)如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线． 【答案】(1)米 (2)再放出8米线 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， 则米； （2）解：如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， ∴他应该再放出8米线． 5．(23-24八上·辽宁抚顺新宾县·期中)某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米. (1)求风筝的垂直高度： (2)如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少来线? 【答案】(1)风筝的高度为17.62米 (2)他应该再放出米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； （2）解：如图所示：延长至M，连接， 由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴米， ∴他应该再放出米． 地 城 考点10 秋千问题 一、填空题 1．(24-25八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中)我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺，则有尺， 根据题意得：， 即， 解得． 即绳索的长为10尺． 故答案为：10． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，，，可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁沈阳浑南·期中)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 4．(23-24八上·辽宁丹东凤城·期中)如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高. 【答案】秋千支柱AD的高为3m. 【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可． 【详解】解：设AD＝xm，则由题意可得 AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m， 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， 即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2， 解得x＝3． 即秋千支柱AD的高为3m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，若在一个直角三角形中，已知一条边，而其他两边具有一定的数量关系，则可利用勾股定理列方程求出其他两边． 地 城 考点11 航海问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁大连·期中)一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 2．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（    ） A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里 【答案】D 【分析】根据方位图和勾股定理解题即可． 【详解】由题可知：， ∴海里， 故选D． 【点睛】本题考查方位角和勾股定理，正确识别方位角是解题的关键． 二、解答题 3．(24-25八上·辽宁本溪第十二中学教育集团·期中)某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程的长． 【答案】(1)见解析 (2)37海里 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交于点，即可； （2）连接，利用第（1）题中作图，可得，设为x海里，则也为x海里，则海里，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点， （2）解：连接，设海里，则海里 ∵ ∴在中， 即： 解得： 答：我国海监船行驶的航程的长为37海里． 4．(24-25八上·辽宁沈阳·期中)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．    (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】(1)海里 (2)最多能收到29次信号 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【详解】（1）由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．    ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 5．(23-24八上·辽宁朝阳建平县第二中学·期中)如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．    (1)表示出B地相对于C地的位置； (2)求A，C两地之间的距离． 【答案】(1)B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里 (2)海里 【分析】本题考查了方向角，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，    ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴海里， 即A，C两地之间的距离海里． 地 城 考点12 其他实际应用问题 一、单选题 1．(24-25八上·辽宁沈阳法库县·期中)民生大院入口的正上方 A 处装有感应器（如图所示），感应器离地面的距离 米，当人体进入感应范围内时，灯自动点亮.当身高为 米的市民正对门缓慢走到离门 米的地方时（即米），则人头顶离感应器的距离等于（    ）    A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到： （米） 故选：A． 2．(24-25八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中)如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（        ）米，踏之何忍” A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而求出米，即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴少走了6米， 故选：B． 3．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第（   ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，根据勾股数5，12，13即可解决问题． 【详解】解：小淇拉住第6个结，意味着小淇和小惠之间有5个单位的长度，勾股数5，12，13，刚好，所以小婷与小淇之间有13个单位长度，，而两个结一个长度，三个结两个长度，又得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形，所以是第19个结， 所以，小婷同学应该拉住第19个结， 如图， 故选：D． 4．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期中)某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，是竖直线，高度为，的长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键． 根据题意得到两条直角边的长度，用勾股定理求解． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：A． 5．(24-25八上·辽宁兴城·期中)在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 6．(24-25八上·辽宁营口部分学校·期中)《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理列式进行计算即可． 【详解】解：丈尺， 设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：， 解得， 芦苇的长度为， 故选D． 7．(23-24八上·辽宁营口大石桥·期中)如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 二、解答题 8．(24-25八上·辽宁凌海·期中)我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，求长方形的面积． 【答案】60 【分析】本题考查了勾股定理的运用，设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该长方形的面积． 【详解】如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长为x，则，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴，， ∴长方形的面积， ∴长方形的面积为60． 9．(24-25·辽宁沈阳南昌中学·期中)小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线，，）．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：设， ∵，． ∴， 在中， 由勾股定理得：， 即， ∴； 10．(24-25八上·辽宁丹东第十三中学·期中)如图，架在消防车上的云梯长为，云梯底部离地面的距离为，， 求出云梯顶端离地面的距离．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距相等，先利用勾股定理求出，再证明，则由平行线间间距相等得到，据此可得． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴云梯顶端离地面的距离为． 11．(24-25八上·辽宁丹东凤城·期中)一棵高8米的大树被折断，折断处A距地面的距离米（点B为大树顶端着地处），在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离为米，点D在的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离． 【答案】大树顶端着地处到小轿车的距离为米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据题意已知米，米，然后根据勾股定理求得米，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，米，米， ∴米， ∴米． ∴大树顶端着地处到小轿车的距离为米． 12．(24-25八上·辽宁锦州黑山县·期中)学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．    【答案】旗杆的高度为13米． 【分析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为13米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 13．(24-25八上·辽宁丹东宽甸县第一初级中学教育集团·期中)如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米 (2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒）， （秒）， （秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 14．(24-25八上·辽宁省鞍山市海城市·期中)综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 试卷第1页，共3页 23 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $