专题08 勾股定理的应用八种常见题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题08 勾股定理的应用八种常见题型 典例详解 类型一、勾股定理与图形的面积 类型二、利用勾股定理在网格中求角度 类型三、单勾股列方程解决问题 类型四、利用勾股定理在网格中求边长与面积 类型五、勾股定理与折叠问题 类型六、双勾股列方程解决问题 类型七、最短路径问题 类型八、勾股定理逆定理的应用 压轴专练 类型一、勾股定理与图形的面积 核心原理 勾股定理的核心面积意义：以正方形为载体 勾股定理的经典表述是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若直角边为a、b，斜边为c，则a2 + b2 = c2）。 从面积角度看，a2、b2、c2恰好是分别以直角三角形三边为边长向外作正方形的面积，因此勾股定理可转化为面积语言：直角三角形两直角边向外作正方形的面积之和，等于斜边上向外作正方形的面积。 例1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 变式1-1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 类型二、利用勾股定理在网格中求角度 核心原理 在正方形网格中利用勾股定理求角度，核心逻辑是将待求角转化为某个三角形的内角，通过勾股定理计算三角形三边长度，再根据边长关系判断三角形形状（直角、等腰、含特殊角的三角形等），最终推导角度大小。 核心流程：四步求角度 1.定位待求角：明确角的顶点（关键）和两条边（即角的两边是网格中的哪两条线段）。 2.构造辅助三角形：若待求角的两边未构成三角形，需连接一个格点（确保坐标易算），使待求角成为这个三角形的一个内角。 3.算三边长度：用 “两点间距离公式” 计算辅助三角形的三条边长（结果通常是整数或含、等的无理数）。 4.判形状→推角度：根据三边长度的关系（如勾股逆定理、等腰 / 等边特征、特殊边长比例），判断三角形类型，再结合三角形内角和（180°）推导待求角的度数。 例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 变式2-3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 类型三、单勾股列方程解决问题 核心解题思路（四步走） 1. 找直角三角形：从问题中识别或构造唯一的直角三角形（关键特征：有一个角为 90°，如墙与地面、直角坐标系的轴、矩形的角等）。 2. 分析三边关系：明确三边中的 “已知边”“未知边”，若未知边有数量关系（如 “一边比另一边多 3”“一边是另一边的 2 倍”），需用含未知数的式子表示。 3. 设未知数：设其中一个未知边为x（通常设较短的直角边或关系中的 “基准边”），用x表示其他未知边。 4 列方程求解：根据勾股定理列出方程，解方程（注意：边长为正数，需排除负根），并验证结果是否符合实际意义。 例3．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 变式3-1．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 变式3-2．（18-19八年级上·广东·阶段练习）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 类型四、利用勾股定理在网格中求边长与面积 例4．（19-20七年级上·山东东营·期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 变式4-1．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 变式4-2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，正方形网格每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求画图，使得图形的顶点在格点上． (1)画，使为等腰直角三角形，并且的面积为； (2)的周长为______． 变式4-3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）作图题 (1)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为． (2)求出这个三角形的面积． 类型五、勾股定理与折叠问题 在几何折叠问题中，折叠的核心性质是 “全等变换”—— 折叠前后的图形全等（对应边相等、对应角相等），而勾股定理的核心是 “直角三角形的边长关系(a2+b2=c2）”。两者结合的关键的是：利用折叠的全等性转化边长，找到含未知边的直角三角形，再通过勾股定理列方程求解。 一、先明确折叠问题的 2 个核心前提 1. 对应边相等：折叠后重合的边必相等（如将点 A 折到点 A'，则折痕是 AA' 的垂直平分线，且连接 A、A' 的线段上任意一点到 A、A' 的距离相等）。 2. 直角不变性：若原图形含直角（如长方形、直角三角形），折叠后直角仍可能保留，为勾股定理提供 “直角三角形” 条件。 二、勾股定理解决折叠问题的 “4 步核心流程” 1. 标记全等关系：在图中明确折叠前后的对应点（如 A→A'、B→B'），标注相等的边（如 AB=A'B'、BD=B'D）和角。 2. 找直角三角形：锁定含 “未知边” 或 “待求边” 的直角三角形（关键是确定直角顶点，通常原图形的直角、折叠后新形成的直角都是突破口）。 3. 设未知数：设待求边或与待求边相关的边为x（优先设较短的未知边，避免负数）。 4. 列方程求解：根据勾股定理，对直角三角形的三边列方程，解出x（注意边长为正数，需验证结果合理性）。 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 变式5-1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为 ． 变式5-2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 变式5-3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 类型六、双勾股列方程解决问题 双勾股列方程的核心特点 双勾股列方程的关键在于 “关联”—— 两个直角三角形并非孤立，而是通过某个 “桥梁”（公共边或未知量）连接，从而实现方程构建。具体有 4 个核心特点： 1. 前提：存在 “两个直角三角形”（显性或隐性） 双勾股的基础是勾股定理仅适用于直角三角形，因此问题中必须包含两个直角三角形（可直接给出，或通过辅助线构造，如作高、折叠等） 显性直角：题目明确标注 “∠A=90°”“矩形的直角” 等； 隐性直角：需通过性质构造，如 “等腰三角形作底边上的高（三线合一）”“折叠后形成的直角”“梯子与墙、地面构成的直角” 等。 2. 核心：共享 “公共量”（公共边或未知量） 这是双勾股列方程的 “桥梁”—— 两个直角三角形必须有一个公共的关键量，才能将两个勾股式联立。公共量分为两类： 公共边：两个直角三角形共用一条边（通常是 “高”“对角线”“折叠前后的对应边”）； 共享未知量：两个直角三角形中包含同一个待求的未知量（如某条线段的长度 x）。 3. 方程形式：“勾股式 = 勾股式”（消去公共边） 由于两个直角三角形共享公共边，可对两个三角形分别列勾股定理表达式，再利用 “公共边的平方相等” 联立方程。 4. 目标：解决 “单勾股无法直接求” 的复杂未知量 单勾股仅能解决 “一个直角三角形中已知两边求第三边” 的简单问题；而双勾股针对 “多个未知量关联” 的场景，通过方程消元，突破 “仅知部分边长” 的限制，求解隐藏的边长、高、折叠距离等。 例6．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 变式6-1．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 变式6-2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 变式6-3．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 类型七、最短路径问题 用勾股定理解决最短路径问题，始终围绕 “化异面为共面”： 1.展开 / 还原图形：将立体表面展开为平面，或折叠图形还原为完整平面； 2.找直角三角形：确定展开后两点间的线段为直角三角形的斜边，直角边为展开平面的长和宽； 3.用勾股定理计算：代入直角边长度，计算斜边（即最短路径）； 4.比较最优解（针对长方体）：若有多种展开方式，计算后取最小值。。 例7．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 变式7-1．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 变式7-2．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 变式7-3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 类型八、勾股定理逆定理的应用 例8．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 变式8-1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某中学初二年级同学在学习了勾股定理后对其产生了学习兴趣．数学活动小组对校园一角开辟的一块四边形的“试验田”进行面积测量．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积． 变式8-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的和是否分别垂直于底边，但他随身只带了有刻度的卷尺．      (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得长厘米，长厘米，长厘米，则边垂直于边吗？ 变式8-3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 1．（24-25八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 3．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 4．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 5．（24-25八年级下·广东潮州·阶段练习）如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 6．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 8．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，在中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的处，求折痕的长． 9．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 11．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理的应用八种常见题型 典例详解 类型一、勾股定理与图形的面积 类型二、利用勾股定理在网格中求角度 类型三、单勾股列方程解决问题 类型四、利用勾股定理在网格中求边长与面积 类型五、勾股定理与折叠问题 类型六、双勾股列方程解决问题 类型七、最短路径问题 类型八、勾股定理逆定理的应用 压轴专练 类型一、勾股定理与图形的面积 核心原理 勾股定理的核心面积意义：以正方形为载体 勾股定理的经典表述是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若直角边为a、b，斜边为c，则a2 + b2 = c2）。 从面积角度看，a2、b2、c2恰好是分别以直角三角形三边为边长向外作正方形的面积，因此勾股定理可转化为面积语言：直角三角形两直角边向外作正方形的面积之和，等于斜边上向外作正方形的面积。 例1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 变式1-1．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 变式1-2．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 变式1-3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 类型二、利用勾股定理在网格中求角度 核心原理 在正方形网格中利用勾股定理求角度，核心逻辑是将待求角转化为某个三角形的内角，通过勾股定理计算三角形三边长度，再根据边长关系判断三角形形状（直角、等腰、含特殊角的三角形等），最终推导角度大小。 核心流程：四步求角度 1.定位待求角：明确角的顶点（关键）和两条边（即角的两边是网格中的哪两条线段）。 2.构造辅助三角形：若待求角的两边未构成三角形，需连接一个格点（确保坐标易算），使待求角成为这个三角形的一个内角。 3.算三边长度：用 “两点间距离公式” 计算辅助三角形的三条边长（结果通常是整数或含、等的无理数）。 4.判形状→推角度：根据三边长度的关系（如勾股逆定理、等腰 / 等边特征、特殊边长比例），判断三角形类型，再结合三角形内角和（180°）推导待求角的度数。 例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 变式2-1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式2-2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 变式2-3．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 类型三、单勾股列方程解决问题 核心解题思路（四步走） 1. 找直角三角形：从问题中识别或构造唯一的直角三角形（关键特征：有一个角为 90°，如墙与地面、直角坐标系的轴、矩形的角等）。 2. 分析三边关系：明确三边中的 “已知边”“未知边”，若未知边有数量关系（如 “一边比另一边多 3”“一边是另一边的 2 倍”），需用含未知数的式子表示。 3. 设未知数：设其中一个未知边为x（通常设较短的直角边或关系中的 “基准边”），用x表示其他未知边。 4 列方程求解：根据勾股定理列出方程，解方程（注意：边长为正数，需排除负根），并验证结果是否符合实际意义。 例3．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 变式3-1．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 变式3-2．（18-19八年级上·广东·阶段练习）如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 类型四、利用勾股定理在网格中求边长与面积 例4．（19-20七年级上·山东东营·期末）如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 变式4-1．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 变式4-2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，正方形网格每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求画图，使得图形的顶点在格点上． (1)画，使为等腰直角三角形，并且的面积为； (2)的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，熟练掌握网格结构以及勾股定理，直角三角形，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）根据勾股定理，直角边长取值为，画图即可； （2）利用勾股定理求出边长即可得出周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：当时，的面积为， 由勾股定理得，， ∴的周长为． 故答案为：． 变式4-3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）作图题 (1)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为． (2)求出这个三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理、网格作图、三角形面积等知识点，正确作出所需三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理和网格作图即可； （2）根据网格以及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ． （2）解：如图：的面积为． 类型五、勾股定理与折叠问题 在几何折叠问题中，折叠的核心性质是 “全等变换”—— 折叠前后的图形全等（对应边相等、对应角相等），而勾股定理的核心是 “直角三角形的边长关系(a2+b2=c2）”。两者结合的关键的是：利用折叠的全等性转化边长，找到含未知边的直角三角形，再通过勾股定理列方程求解。 一、先明确折叠问题的 2 个核心前提 1. 对应边相等：折叠后重合的边必相等（如将点 A 折到点 A'，则折痕是 AA' 的垂直平分线，且连接 A、A' 的线段上任意一点到 A、A' 的距离相等）。 2. 直角不变性：若原图形含直角（如长方形、直角三角形），折叠后直角仍可能保留，为勾股定理提供 “直角三角形” 条件。 二、勾股定理解决折叠问题的 “4 步核心流程” 1. 标记全等关系：在图中明确折叠前后的对应点（如 A→A'、B→B'），标注相等的边（如 AB=A'B'、BD=B'D）和角。 2. 找直角三角形：锁定含 “未知边” 或 “待求边” 的直角三角形（关键是确定直角顶点，通常原图形的直角、折叠后新形成的直角都是突破口）。 3. 设未知数：设待求边或与待求边相关的边为x（优先设较短的未知边，避免负数）。 4. 列方程求解：根据勾股定理，对直角三角形的三边列方程，解出x（注意边长为正数，需验证结果合理性）。 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 变式5-1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知，设正方形的边长，则，在中，根据勾股定理，可求出x的值，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：将沿折叠得到，将沿折叠得到， ， 点恰好落在上， ． 设正方形的边长，则． 在中，， ， 整理得． ， 长方形的面积为． 故答案为：4． 变式5-2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5-3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 类型六、双勾股列方程解决问题 双勾股列方程的核心特点 双勾股列方程的关键在于 “关联”—— 两个直角三角形并非孤立，而是通过某个 “桥梁”（公共边或未知量）连接，从而实现方程构建。具体有 4 个核心特点： 1. 前提：存在 “两个直角三角形”（显性或隐性） 双勾股的基础是勾股定理仅适用于直角三角形，因此问题中必须包含两个直角三角形（可直接给出，或通过辅助线构造，如作高、折叠等） 显性直角：题目明确标注 “∠A=90°”“矩形的直角” 等； 隐性直角：需通过性质构造，如 “等腰三角形作底边上的高（三线合一）”“折叠后形成的直角”“梯子与墙、地面构成的直角” 等。 2. 核心：共享 “公共量”（公共边或未知量） 这是双勾股列方程的 “桥梁”—— 两个直角三角形必须有一个公共的关键量，才能将两个勾股式联立。公共量分为两类： 公共边：两个直角三角形共用一条边（通常是 “高”“对角线”“折叠前后的对应边”）； 共享未知量：两个直角三角形中包含同一个待求的未知量（如某条线段的长度 x）。 3. 方程形式：“勾股式 = 勾股式”（消去公共边） 由于两个直角三角形共享公共边，可对两个三角形分别列勾股定理表达式，再利用 “公共边的平方相等” 联立方程。 4. 目标：解决 “单勾股无法直接求” 的复杂未知量 单勾股仅能解决 “一个直角三角形中已知两边求第三边” 的简单问题；而双勾股针对 “多个未知量关联” 的场景，通过方程消元，突破 “仅知部分边长” 的限制，求解隐藏的边长、高、折叠距离等。 例6．（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 【答案】(1) (2)不是，滑动了 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据变化前后云梯的总长度不变，求出此时云梯地端与墙的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：这架云梯的顶端距地面的高度为； 答：这架云梯的顶端距地面有； （2）云梯的顶端下滑了，则：此时云梯的顶端距地面的高度为， ∴此时云梯底端离墙， ∴它的底部在水平方向滑动了； 故它的底部在水平方向滑动了． 变式6-1．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 变式6-2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 变式6-3．（2024·广东江门·模拟预测）综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 类型七、最短路径问题 用勾股定理解决最短路径问题，始终围绕 “化异面为共面”： 1.展开 / 还原图形：将立体表面展开为平面，或折叠图形还原为完整平面； 2.找直角三角形：确定展开后两点间的线段为直角三角形的斜边，直角边为展开平面的长和宽； 3.用勾股定理计算：代入直角边长度，计算斜边（即最短路径）； 4.比较最优解（针对长方体）：若有多种展开方式，计算后取最小值。。 例7．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 变式7-1．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达点C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】30米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如答图，将木块展开． 由题意可知，长相当于是（个正方形的边长）， ∴长为（米），宽为18米， 由勾股定理，得：最短路程为米． 答：最短路程是30米． 变式7-2．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 变式7-3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 类型八、勾股定理逆定理的应用 例8．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 变式8-1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某中学初二年级同学在学习了勾股定理后对其产生了学习兴趣．数学活动小组对校园一角开辟的一块四边形的“试验田”进行面积测量．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴， 在中，∵， ∴是直角三角形，， ∴． 变式8-2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的和是否分别垂直于底边，但他随身只带了有刻度的卷尺．      (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得长厘米，长厘米，长厘米，则边垂直于边吗？ 【答案】(1)能 (2)垂直 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用， （1）只有卷尺，可分别量出三边的长度，并判断其是否符合勾股定理即可； （2）计算三边是否满足有两边的平方和等于第三边的平方，结合勾股定理逆定理即可求解． 【详解】（1）解：可以，    .具体的方法是：用卷尺量出、和的长度，计算、和的值，若，则说明是直角三角形，因此，有；同理，也可类似地检测边是否垂直底边． （2），理由如下： ∵， ∴是直角三角形且， 即. 变式8-3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ . 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为 ， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 1．（24-25八年级上·河南商丘·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024， 故选A． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 3．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 4．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 5．（24-25八年级下·广东潮州·阶段练习）如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则尺，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 6．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出，的长度． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 8．（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）如图，在中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的处，求折痕的长． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．根据勾股定理易求，根据折叠的性质有，，，在中，设，根据勾股定理可求． 【详解】解：，，， ． 根据折叠的性质，，，． ． 在中，设，则，根据勾股定理得 ． 解得． ． ． 9．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 【答案】这只蚂蚁的最短行程是 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将墙面展开与地面处于同一平面内，过点P作于点G，连接． 由题意，得， ∴由勾股定理，得． ∵， ∴由勾股定理，得， ∴． 故这只蚂蚁的最短行程是． 11．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $