2空间向量与向量运算（10大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

2空间向量与向量运算 题型一：空间向量的概念 1．下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 3．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 4．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相等向量的定义易判断①为假命题；对于②借助于正方体图形推理易得；对于③由空间向量的相等定义易得. 【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题． 故选：B． 题型二：空间向量的加减运算 1．在正方体中，与向量相反的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】 如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 2．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 3．已知平行六面体（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 4．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意点是的中点， 所以. 故选：B. 5．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）， 向量如图所示. （2）； 向量如图所示. （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示. 题型三：空间向量的共线关系 1．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 3．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 4．若空间四点满足，则（ ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【分析】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 4．设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 题型四：空间中四点共面 1．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【分析】根据已知，可将用表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结论. 【详解】因为非零向量不共线，， 所以， 由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面． 故选：C. 2．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 3．已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据知O、A、B、C是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【详解】因为，且P、A、B、C四点共面， 则，解得， 故选：C. 5．在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 5．在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【详解】由平行六面体的特征可得， 则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 题型五：空间向量的线性运算 1．已知正方体，设向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 2．在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，， 故选：B. 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减法则，将逐步转化为已知向量、、的线性组合. 【详解】是的中点，，又，由，. 故选：. 4．在三棱锥中，，，，且，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【详解】 由题意，. 故选：D. 5．如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 6．如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点N，P分别满足则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 题型六：空间向量的数量积 2．在空间四边形中，，，则的值是（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 2．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 3．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得 . 故选：D. 4．在三棱锥中，若，，，则（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 5．如图所示，在平行六面体中，，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 题型七：空间向量的距离 1．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 2．已知线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由得，，即得，由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，线段，在平面内，得，，又， 所以， ，从而， 故选：C． 3．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 4．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则______________. 【答案】3 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 5．如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为______________. 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算可知，两边平方，再利用向量的数量积公式即可得解． 【详解】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 题型一：空间向量的数量积应用 1．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 2．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：B. 3．如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为________________． 【答案】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 4．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距______________m． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 5．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性定理和向量的数量积定义进行求解即可. （2）根据空间向量的线性定理、向量的数量积定义和向量的模进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以. （2） ， 所以线段的长为． 题型二：异面直线夹角 1．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 2．在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 3．如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 4．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 题型一：空间向量证明线面关系 1．如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 2．如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）得，得，两式相减，化简得到答案 （2），代入提公因式化简可以得到答案 【详解】（1）因为，所以， 同理可得，两式相减可得， 即，所以． （2） ． 3．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 4．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 5．在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. (1)用表示； (2)求证：FH与GE相交； (3)求证：四边形EFGH为矩形. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，由向量的减法可得答案. （2）证明四边形为平行四边形，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【详解】（1）因为E，F，分别是OA，AB的中点，所以且， 所以． 因为F，G，分别是AB，BC的中点，所以且， 所以． （2）由题意知E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 故，同理， 则，即，则四边形为平行四边形， 故FH与GE相交； （3）设正四面体的棱长为，由题意知向量中，两两之间的夹角均为， 由（1）知， 由（2）知，四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以，故．所以平行四边形为矩形． 6．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ，， 若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时， （3）， ， ， 所以，所以的长为 7．如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且． (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2空间向量与向量运算 题型一：空间向量的概念 1．下列说法正确的是（ ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（ ）． A． B． C． D． 4．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：空间向量的加减运算 1．在正方体中，与向量相反的向量是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知平行六面体（ ） A． B． C． D． 4．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 题型三：空间向量的共线关系 1．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．若空间四点满足，则（ ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 5．设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四：空间中四点共面 1．已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 2．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 3．已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，是平面内一点，且，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 5．在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（ ） A． B． C． D． 题型五：空间向量的线性运算 1．已知正方体，设向量，则（ ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，与相交于点，设，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，，，且，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点N，P分别满足则（ ） A． B． C． D． 题型六：空间向量的数量积 2．在空间四边形中，，，则的值是（ ） A． B． C． D．0 2．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A． B． C． D．1 3．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，若，，，则（ ） A． B．1 C． D．0 5．如图所示，在平行六面体中，，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 题型七：空间向量的距离 1．如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（ ） A． B．2 C． D．1 2．已知线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（ ） A． B． C． D． 4．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则______________. 5．如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为______________. 题型一：空间向量的数量积应用 1．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（ ） A．2 B． C． D． 3．如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为________________． 4．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距______________m． 5．如图所示，在平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求线段的长． 题型二：异面直线夹角 1．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 3．如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 题型一：空间向量证明线面关系 1．如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 2．如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 3．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 4．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 5．在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. (1)用表示； (2)求证：FH与GE相交； (3)求证：四边形EFGH为矩形. 6．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 7．如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且． (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $