专题13.5 分式方程（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题13.5 分式方程 教学目标 1. 知道分式方程的概念． 2. 会解分式方程． 3. 分式方程的无解、增根等问题． 4. 分式方程的实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）分式方程的概念； （2）分式方程的解法，增根及检验； （3）实际问题与分式方程。 2.难点 （1）特殊分式方程的解法； （2）分式方程的综合应用。 知识点1 分式方程 一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． 要点：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【即学即练】 1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 2．解分式方程时，去分母可得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【详解】解：去分母得：， 故选：B． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母再去括号，移项合并同类项，系数化1，得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 去分母得 去括号得 则 ∴ ∴ 经检验：当时，，故是原分式方程的解． 4．解下列分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 先去分母，即分式方程的两边同乘，整理为一元一次方程，再去括号移项并合并同类项求解即可． 【详解】解：分式方程为：， 整理可得， 两边同乘，可得， 去括号可得，， 移项并合并同类项可得，， 经检验，是原方程的解， ∴该分式方程的解为． 5．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化成整式方程，根据增根的定义可得是分式方程的增根，再将增根代入整式方程中即可求出m的值． 本题考查了分式方程的增根．增根是将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大，对于整式方程来说，求出的解成立，但对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义,所以这个解不是分式方程的解．掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】解：给方程两边同乘以，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得或， 经检验，不是整式方程的根， ∴是分式方程的增根， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 知识点2 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练】 1．中国技术世界领先，已知网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒．若设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，根据“在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒”列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则网络的峰值速率为每秒传输千兆数据， 由题意可得：， 故选：B． 2．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为110千米，B、C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设甲骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，根据甲骑千米所用时间乙骑千米所用时间，据此列出方程即可，解题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系列出方程． 【详解】解：由题意得：甲骑千米所用时间乙骑千米所用时间， 设甲骑自行车的平均速度为x千米/时，则乙骑自行车的平均速度为千米/时， ∴， 故选：D． 3．端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，理解题意是关键． 设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 4．新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 设两台汽车的续航里程为千米，根据燃油车每千米费用比新能源车多元列方程求解． 【详解】解：设续航里程为千米． 燃油车加满一箱油需360元，每千米费用为元； 新能源车充满一次电需36元，每千米费用为元． 根据题意，燃油车每千米费用比新能源车多元， 列方程：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义． 因此，续航里程为600千米， 故选：A． 5．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设绫布每尺文，则罗布每尺文， 根据题意得：， 故选：B． 6．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为， 由题意得，， 故选：D． 题型01 判断分式方程 【典例1】．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 【变式1】．下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 【变式2】．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 题型02 解分式方程Ⅰ 【典例1】．解下列分式方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可； （2）先去分母，化为一元一次方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式1】．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤尤其不要忘记检验是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 经检验是分式方程的解． （2）解： 去分母得，， 整理得， 解得， 当时，， 是增根， 原分式方程无解． 【变式2】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可； （2）先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 题型03 解分式方程Ⅱ 【典例1】．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母转换为一元一次方程，即可解答，注意检验，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【变式1】．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握其运算方法是解题的关键．先去分母，然后化成一元一次方程求解即可． 【详解】解： 经检验，是原方程的根． 故答案为：． 【变式2】．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先利用异分母分式加减法化简分式方程为，把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 整理方程为：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解． 题型04 分析解分式方程的过程 【典例1】．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得：， 去分母得：， 故选：B． 【变式1】．将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 【变式2】．解方程时： 小明认为：方程两边都乘以，得 小颖认为：方程两边都乘以，得 小莉认为：方程两边都乘以，得 以上三位同学的理解，正确的是(    ) A．小明 B．小颖 C．小莉 D．没有错误，三位同学都正确 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．原方程的分母为和，注意到．需正确去分母并验证各同学的解法． 【详解】解：小明将方程两边乘以，正确展开应为： 而小明得到的是，显然小明的解法错误． 小颖同样乘以，左边正确展开为，但右边应为： ，显然小颖的解法错误． 小莉将方程两边乘以(即)，正确展开为： ，小莉的解法正确， 故选：C． 【变式3】．下面是小明同学解分式方程：“”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 任务一：①解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 ； ②第③步变形的依据是 ； 任务二：该分式方程的解是 ． 【答案】 任务一：①；去分母时，2没有乘最简公分母；②等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立； 任务二： 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 任务一：①根据题干中解方程的步骤进行判断即可； ②根据题干中解方程的步骤即可求得答案； 任务二：将错误改正后解方程并检验即可． 【详解】解：任务一：①由解方程的步骤可得第①步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，2没有乘最简公分母， ②由解方程的步骤可得第③步变形的依据是等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立， 故答案为：①；去分母时，2没有乘最简公分母；②等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立； 任务二：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 题型05 增根、无解问题 【典例1】．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先把去分母整理得，结合，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 整理得， ∴去分母得， 整理得， 即， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 故， ∴ ∴， 故答案为： 【变式1】．若分式方程有增根，则增根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， 故答案为：． 【变式2】．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 【变式3】．已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了根据分式的无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 化分式方程为整式方程，然后利用分式无解的情况求参数即可． 【详解】解： 当时，原分式方程无解，此时，； 当时，，代入上式得，； 当时，，代入上式无解； 综上a的值为5或， 故答案为：5或． 题型06 分式方程的代数应用 【典例1】．若代数式和的值相等，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：D． 【变式1】．嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 【变式2】．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 题型07 分式方程的实际应用 【典例1】．原本的铁路从到全长公里，现在建造了一条公里长的高速铁路，高速铁路上的列车速度是原本速度的倍，因此从到的旅行时间缩短了小时，那么，原本铁路上的列车速度为 千米/小时． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是根据题意得出正确的分式方程并求解． 设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时，根据题意列出分式方程并求解即可，注意检验． 【详解】解：设原本铁路上的列车速度为千米/小时，则高速铁路上的列车速度是千米/小时， 依题意得， 解得：， 经检验，是方程的解， 原本铁路上的列车速度为千米/小时． 故答案为：． 【变式1】．某文具店购进了两种型号的笔记本．已知每个活页本的进价比平装本贵元，用元购进平装本的数量比活页本多本．请问平装本和活页本的进价各是多少元? 【答案】平装本和活页本的进价分别为元，元 【分析】本题考查分式方程的应用，设平装本进价元，则活页本的进价元，根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：设平装本进价元，则活页本的进价元， ， 解得：，， 经检验不符合题意舍去， 所以， 活页本进价， 答：平装本和活页本的进价分别为元，元． 【变式2】．A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【答案】甲车的速度为、乙车的速度 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 先设甲的速度为，乙的速度为，由第一次相遇可知路程和为得到，则，再由“甲、乙两车同时到达A地”可知时间相同，继而建立分式方程求解． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， 则 答：甲车的速度为、乙车的速度． 【变式3】．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【答案】原计划每天组装10个机器人 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装个机器人，则实际每天需组装个机器人， 根据题意得： ， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装10个机器人． 【变式4】．某学校为了响应“绿色校园”倡议，计划在若干个月内种植一定数量的树木，使校园绿化总面积达到平方米．实际在种植时，第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标．求实际执行中每月种植的绿化面积是多少平方米？ 【答案】实际执行中每月种植的绿化面积是30平方米 【分析】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验． 设实际执行中每月种植的绿化面积是平方米，则原计划每月种植的绿化面积是平方米，根据第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标，列出分式方程，解方程即可解答． 【详解】解：设实际执行中每月种植的绿化面积是平方米，则原计划每月种植的绿化面积是平方米，根据题意得： 解得：，（不符合题意，舍去） 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：实际执行中每月种植的绿化面积是30平方米． 题型08 新定义题 【典例1】．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则根据上述规定可得等式中的的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确计算是解题的关键．根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：9． 【变式1】．新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 题型09 材料、规律题 【典例1】．已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为： ． 【变式1】．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 【答案】 或 或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）将原方程变形后即可求得答案； （2）将原方程变形后即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 令，则， ∴方程的解为10或， ∴或， 解得或， 经检验，或是原方程的解； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴方程的解为或， ∴或，解得或． 经检验，或是原方程的解． 故答案为：（1）或（2）或 【变式2】．阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【答案】 【分析】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和和根据求和规律列方程求解是解决此题的关键． （1）根据题中方法计算即可； （2）设，根据题中方法，解方程即可. 【详解】解：（1）由题可知：， ∴ （2）设 ∵ ∴ 解得：，经检验是原方程的解. ∴， 故答案为：，． 一、单选题 1．下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 2．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题可把x=1的值，代入选项中，看选项左右边的值是否相等，若相等，则x=-1是方程的解． 【详解】解：A、当x=1时，x-1=0，分式无意义，故本选项不符合题意； B、当x=1时，x-1=0，分式无意义，故本选项不符合题意； C、当x=1时，左边，右边，则左边右边，故本选项符合题意； D、当x=1时，左边=右边，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的解，可将x的值代入方程，然后观察方程的值是否左边=右边． 3．方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的解法，通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验根的有效性. 【详解】解：， 去分母：方程两边同乘最简公分母， 得， 展开并整理：， 移项得， 解得， 检验：当时，原方程分母，，故是方程的解； 因此，方程的解为， 故选B 4．解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（    ） A．方程两边分式的最简公分母是 B．方程两边都乘以，得整式方程 C．解这个整式方程，得 D．原方程的解为 【答案】D 【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：分式方程的最简公分母为（x−1）（x＋1）， 方程两边乘以（x−1）（x＋1），得整式方程2（x−1）＋3（x＋1）＝6， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，分式方程无解． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程计算，即可求出m的值． 【详解】解：把代入得， 解得， 故选：B． 6．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程． 【详解】解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1， 解得：a=， 正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+）-6， 去括号得：4x-2=3x+1-6， 解得：x=-3． 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 7．2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意“5000米的比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达”列分式方程即可． 【详解】解：设乙的速度为每分钟x米，则甲的速度为每分钟米， 可列方程， 故选B． 8．对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将转化为分式方程，解方程并检验即可. 【详解】解：根据题意，运算， 代入得：， 移项得：， 两边取倒数：， 解得：， 解得：， 检验：当时，分母， 因此，的值为， 故选：A 9．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的增根问题．把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得a的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为，可能的增根为或， 两边同乘，得：， 解得：， 若是增根，则，解得； 若是增根，则，解得； 综上，的值为4或8， 故选：D． 10．若关于x的方程有解，则必须满足条件(   ) A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d 【答案】B 【分析】把a、b、c、d都看做已知数解方程，去分母，转化为关于x的整式方程，讨论x的系数，再讨论最简公分母≠0，得出结论． 【详解】方程两边都乘以d(b-x)，得 d(x-a)=c(b-x)， ∴dx-da=cb-cx， 即(d+c)x=cb+da， ∴当d+c≠0，即c≠-d时，原方程的解为x=， 由题意知还要满足b-x≠0，即≠b， 所以b≠a， 当c+d=0时，c=-d，0x=d(a-b)， ∴当a=b时，方程有无数个解， 故选B. 【点睛】本题考查了解字母系数的分式方程，解含有字母系数的方程和解数字系数的方程一样，均是通过去分母，将分式方程转化为整式方程，但因为分式方程中字母的取值决定着方程的解，故对转化后的整式方程中的未知数系数应加以限制，对解出的解还要进行检验． 二、填空题 11．分式方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 12．若分式方程的解是，则 ． 【答案】7 【分析】根据分式方程的解的定义把x＝0代入分式方程得到关于a的方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：把x＝0代入分式方程得， ∴a＝7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边相等的未知数的值叫分式方程的解． 13．若与分式的值互为相反数，x的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得=0，故可求出x． 【详解】根据题意可得=0， ∴x2=16 解得 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据相反数的性质列出方程． 14．若方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值． 【详解】解：方程去分母得：3x＝6， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解， 根据题意将x＝2代入第一个方程得： 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 15．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，把代入整式方程计算求出m的值即可． 【详解】解： ， 由分式方程有增根，得到，即， 将，代入上式得，． 故答案为：． 16．若商品的进价为100元，毛利率为（），则该商品的售价是 元． 【答案】125 【分析】设该商品的售价为x元，根据列分式方程求解即可． 本题考查了列分式方程解应用题，根据题意正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该商品的售价为x元，根据题意得 ， ， ， ， 经检验：是所列方程的解． ∴该商品的售价为125元． 故答案为：125． 17．小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完．当他读完一半页数时，发现平均每天要多读6页才能按时读完．设该同学读前一半页数时，平均每天读页，根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，熟练掌握“根据数量关系，找到等量关系列方程”是解题的关键．先确定书的一半页数，根据“前一半页数阅读天数 + 后一半页数阅读天数 = 计划总天数”来列方程．前一半页数阅读天数由一半页数除以前半段平均每天读的页数得到，后一半页数阅读时平均每天读页，阅读天数由一半页数除以该速度得到，计划总天数是天 ． 【详解】解：书共页，一半页数为页 读前一半页数时，平均每天读页， 天数 = 页数÷每天读的页数， 读前一半页数用的天数为 读完前一半后，平均每天要多读页，即每天读页， 读后半页数用的天数为 计划天读完， 前半段天数 + 后半段天数 = 总天数， 故答案为： ． 18．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)无解 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）先将分式方程去分母转化为整式方程，并求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）先将分式方程去分母转化为整式方程，并求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （3）先将分式方程去分母转化为整式方程，并求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （4）先将分式方程去分母转化为整式方程，并求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母，得： 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （3）， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （4）， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 20．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】根据分式方程的求解方法，先去分母化成整式方程计算即可； 【详解】（1）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （2）两边同时乘以得， ， 整理得：， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （3）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （4）两边同时乘以得， ， 整理得：， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （5）两边同时乘以得， ， 整理得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （6）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （7）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （8）两边同时乘以得， , 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； 【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键． 21．若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 【答案】(1)或 (2)a的值为1或或8 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 整理可得：， ∵原方程有增根， ∴， 即， 当时，， 当时，， ∴或时，方程有增根； （2）解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 22．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 23．A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的速度． 【答案】汽车原计划的速度为每小时千米 【分析】设汽车原计划的速度为每小时千米，根据实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设汽车原计划的速度为每小时千米，则，实际速度为每小时千米， 由题意，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验，，是原方程的解， ∴汽车原计划的速度为每小时千米． 【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出分式方程，是解题的关键． 24．某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 【答案】第一批每只背包的单价为60元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元，根据商店购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：第一批每只背包的单价为60元． 25．教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求，在大中小学设立劳动教育必修课程，并将劳动素养纳入学生综合素质评价体系．某校积极开展劳动教育，在植树节当天组织学生进行植树活动．已知第一组植树12棵，第二组植树36棵，第二组比第一组多6人，结果两组平均每人植树的棵数相等，求第一组的学生人数． 【答案】第一组学生人数是3人 【分析】设第一组学生人数为未知数，根据两组平均每人植树棵数相等这一关系列方程求解．本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握根据等量关系列分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一组的学生人数为人，则第二组的学生人数为人．由题意得 解整式方程得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一组的学生人数为3人． 26．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.5 分式方程 教学目标 1. 知道分式方程的概念． 2. 会解分式方程． 3. 分式方程的无解、增根等问题． 4. 分式方程的实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）分式方程的概念； （2）分式方程的解法，增根及检验； （3）实际问题与分式方程。 2.难点 （1）特殊分式方程的解法； （2）分式方程的综合应用。 知识点1 分式方程 一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． 要点：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【即学即练】 1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．解分式方程时，去分母可得（   ） A． B． C． D． 3．解方程：． 4．解下列分式方程： 5．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． A．2 B．x C．x+1 D． 知识点2 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练】 1．中国技术世界领先，已知网络峰值速率为网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据，网络比网络快90秒．若设网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为110千米，B、C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设甲骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则列方程为： ． 4．新能源电动汽车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小明的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源电动汽车，发现燃油车每千米的行驶费用比新能源电动汽车多元，已知燃油车加满1箱油需要360元，新能源电动汽车的电池充满一次电需要36元，则小明的爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ ） A． B． C． D． 5．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（　　） A． B． C．1 D． 6．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱．春耕时节，某播种队承接了长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型01 判断分式方程 【典例1】．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 题型02 解分式方程Ⅰ 【典例1】．解下列分式方程 (1) (2) 【变式1】．解分式方程： (1)； (2)． 【变式2】．解方程： (1)； (2)． 题型03 解分式方程Ⅱ 【典例1】．方程的解是 ． 【变式1】．方程的解是 ． 【变式2】．解方程： 题型04 分析解分式方程的过程 【典例1】．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【变式2】．解方程时： 小明认为：方程两边都乘以，得 小颖认为：方程两边都乘以，得 小莉认为：方程两边都乘以，得 以上三位同学的理解，正确的是(    ) A．小明 B．小颖 C．小莉 D．没有错误，三位同学都正确 【变式3】．下面是小明同学解分式方程：“”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 任务一：①解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 ； ②第③步变形的依据是 ； 任务二：该分式方程的解是 ． 题型05 增根、无解问题 【典例1】．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【变式1】．若分式方程有增根，则增根为 ． 【变式2】．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式3】．已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 题型06 分式方程的代数应用 【典例1】．若代数式和的值相等，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07 分式方程的实际应用 【典例1】．原本的铁路从到全长公里，现在建造了一条公里长的高速铁路，高速铁路上的列车速度是原本速度的倍，因此从到的旅行时间缩短了小时，那么，原本铁路上的列车速度为 千米/小时． 【变式1】．某文具店购进了两种型号的笔记本．已知每个活页本的进价比平装本贵元，用元购进平装本的数量比活页本多本．请问平装本和活页本的进价各是多少元? 【变式2】．A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇．相遇后，两车各以原来的速度继续行驶，甲车到达B地后立即原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲、乙两车的速度． 【变式3】．某机械加工厂计划在一定时间内组装240个机器人，后因市场供不应求，不但需要增产，而且要提前4天完成任务．经测算，每天需要多组装8个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【变式4】．某学校为了响应“绿色校园”倡议，计划在若干个月内种植一定数量的树木，使校园绿化总面积达到平方米．实际在种植时，第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标．求实际执行中每月种植的绿化面积是多少平方米？ 题型08 新定义题 【典例1】．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则根据上述规定可得等式中的的值为 ． 【变式1】．新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型09 材料、规律题 【典例1】．已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为 ． 【变式1】．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 【变式2】．阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 一、单选题 1．下列关于x的方程是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 3．方程的解为（    ） A． B． C． D． 4．解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（     ） A．方程两边分式的最简公分母是 B．方程两边都乘以，得整式方程 C．解这个整式方程，得 D．原方程的解为 5．若关于的分式方程的解为，则的值为（     ） A． B． C． D．2 6．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（     ） A． B． C． D． 7．2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 8．对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 10．若关于x的方程有解，则必须满足条件（    ） A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d 二、填空题 11．分式方程 的解为 ． 12．若分式方程的解是，则 ． 13．若与分式的值互为相反数，x的值为 ． 14．若方程的解与方程的解相同，则 ． 15．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 16．若商品的进价为100元，毛利率为（），则该商品的售价是 元． 17．小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完．当他读完一半页数时，发现平均每天要多读6页才能按时读完．设该同学读前一半页数时，平均每天读页，根据题意列出方程 ． 18．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 三、解答题 19．解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 21．若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 22．小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 23．A、B两地相距360千米，一辆汽车准备从A地开往B地，但由于任务紧急，现在实际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的速度． 24．某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 25．教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求，在大中小学设立劳动教育必修课程，并将劳动素养纳入学生综合素质评价体系．某校积极开展劳动教育，在植树节当天组织学生进行植树活动．已知第一组植树12棵，第二组植树36棵，第二组比第一组多6人，结果两组平均每人植树的棵数相等，求第一组的学生人数． 26．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $