专题13.6 分式方程的应用（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

本讲义聚焦分式方程的应用这一核心知识点，系统梳理工程问题、行程问题等10类实际问题的等量关系，以知识点梳理为基础，通过例题与变式构建从理论到实践的学习支架，帮助学生掌握列分式方程解决问题的完整步骤。 该资料特色在于情境化与多样化设计，融入古文问题（如《九章算术》驿站送信）、生活素材（如文房四宝购买）等真实情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。每个题型配例题与变式，通过举一反三训练数学思维，提升模型意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用能力。

专题13.6 分式方程的应用（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 工程问题】 2 【题型2 行程问题】 2 【题型3 经济问题】 3 【题型4 古文问题】 5 【题型5 数字问题】 6 【题型6 比例问题】 7 【题型7 素材问题】 7 【题型8 图文问题】 9 【题型9 和差倍分问题】 11 【题型10 方案设计问题】 12 知识点 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【题型1 列分式方程】 【例1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·福建厦门·二模）在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则所列方程为 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·浙江温州·期末）小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完．当他读完一半页数时，发现平均每天要多读6页才能按时读完．设该同学读前一半页数时，平均每天读页，根据题意列出方程 ． 【题型2 工程问题】 【例2】（2025·河南周口·三模）2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【变式2-1】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东广州·期末）一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数． (1)求a，b，c满足的等量关系； (2)若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值； (3)若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程． 【题型3 行程问题】 【例3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）在岭南水乡，每年端午期间都会举办龙舟比赛．赛道在全长约660米的河道上．甲队的平均速度比乙队约快0.5米/秒，甲队划80米用时与乙队划70米用时相等． (1)求乙队的平均速度； (2)比赛进行1分钟后，甲队保持平均速度不变，落后的乙队平均速度至少提高百分之几才能赢得比赛？（精确到） 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【题型4 经济问题】 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·期末）“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为庆祝我国“春节中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某中学为了让学生体验农耕劳动，在校园内开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地购买的倍，用元在市场上购买的种菜苗的数量比用元在菜苗基地购买的数量的一半要多捆． (1)求菜苗基地每捆种菜苗的价格； (2)菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，学校预计用不多于元的资金在菜苗基地购买两种菜苗共捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对两种菜苗均提供八折优惠．求至少要购买种菜苗多少捆？ 【变式4-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 【题型5 古文问题】 【例5】《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？ 【变式5-1】欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个克罗索．” (1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？ (2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？ 【变式5-2】我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【变式5-3】中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【题型6 数字问题】 【例6】一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数. 【变式6-1】一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数. 【变式6-2】一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数.求原分数. 【变式6-3】有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【题型7 素材问题】 【例7】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元，小亮妈妈购买蜜枣的数量是肉粽数量的倍． 素材3 永恒超市根据平时消费者购买情况，在“端午节”当天，将肉粽的单价提高，蜜枣粽单价降低，节日当天总销售量是400个，超市想要当天粽子销售总额不低于1800元，至少销售多少个肉粽． 问题解决 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出小亮妈妈在超市两种粽子各买了多少． 任务2 探究 按素材要求确定端午节当天肉粽的销售情况． 请同学们根据以上素材完成探究任务． 【变式7-2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【变式7-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）根据以下素材，完成调查活动． 怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数 调查活动 素材1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动 素材2 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者植树各720棵树苗； ②八年级比七年级人均植树多2棵树苗； ③八年级的学生人数比七年级的人数少． 交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”，“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究． 问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【题型8 图形问题】 【例8】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【变式8-1】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成．    (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.08倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 【变式8-3】一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 【题型9 和差倍分问题】 【例9】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． (1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【变式9-1】（2025·山西运城·模拟预测）年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕，标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【题型10 方案设计问题】 【例10】我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍； C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为天， 根据题意列出方程：． （1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是：______； （2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【变式10-1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【变式10-2】（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两个工程队分别接到千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天． 乙工程队 方案：计划千米按每天施工千米完成，剩下的千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【变式10-3】某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． (1)完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.6 分式方程的应用（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 工程问题】 2 【题型2 行程问题】 4 【题型3 经济问题】 9 【题型4 古文问题】 13 【题型5 数字问题】 17 【题型6 比例问题】 19 【题型7 素材问题】 21 【题型8 图文问题】 27 【题型9 和差倍分问题】 31 【题型10 方案设计问题】 36 知识点 分式方程的应用 1. 列分式方程常用的等量关系 （1）工程问题：工作效率×工作时间＝工作量，总工作量＝各工作量之和． （2）利润问题：利润＝售价－进价，，总利润=单件的利润×销售的数量． （3）行程问题：速度×时间＝路程． （4）储蓄问题：本息和＝本金＋利息． 2. 列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：审清题意，弄清已知量和未知量； （2）设：设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）； （3）列：列出分式方程； （4）解：解分式方程； （5）验：既要检验求得的解是否为分式方程的解，又要检验是否符合实际意义； （6）答：写出答案． 【题型1 列分式方程】 【例1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解顺风和逆风的速度是解题关键．根据题意，无人机顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，再根据“顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等”列分式方程即可． 【详解】解：一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时， 则顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时， 由题意得：， 故选：B． 【变式1-1】（2025·福建厦门·二模）在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键．根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，总工作量为1，用含x的式子表示出和每小时工作量，之和为，由此列方程即可． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理需要小时， 总工作量为1，每小时工作量为，每小时工作量为，两者每小时工作量和为， 因此可列方程， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·浙江温州·期末）小刘同学购置一本《朝花夕拾》共144页，计划10天读完．当他读完一半页数时，发现平均每天要多读6页才能按时读完．设该同学读前一半页数时，平均每天读页，根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，熟练掌握“根据数量关系，找到等量关系列方程”是解题的关键．先确定书的一半页数，根据“前一半页数阅读天数 + 后一半页数阅读天数 = 计划总天数”来列方程．前一半页数阅读天数由一半页数除以前半段平均每天读的页数得到，后一半页数阅读时平均每天读页，阅读天数由一半页数除以该速度得到，计划总天数是天 ． 【详解】解：书共页，一半页数为页 读前一半页数时，平均每天读页， 天数 = 页数÷每天读的页数， 读前一半页数用的天数为 读完前一半后，平均每天要多读页，即每天读页， 读后半页数用的天数为 计划天读完， 前半段天数 + 后半段天数 = 总天数， 故答案为：． 【题型2 工程问题】 【例2】（2025·河南周口·三模）2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为 (2)甲数据中心至少需要工作 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少，列出方程，解方程即可； （2）设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据共用至少完成的数据迁移，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为； （2）解：设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据题意得： ， 解得：， 答：甲数据中心至少需要工作． 【变式2-1】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加100万元，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月，根据甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成建立方程求解即可； （2）设甲、乙两个工程队合作需要y个月，根据两人合作完成整个过程建立方程求出合作的时间，进而求出对应的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． （2）解：工程预算的施工费用不够用．理由如图： 设甲、乙两个工程队合作需要y个月， 由题意得，， 解得， ∴施工费用为（万元）， ， 工程预算的施工费用不够用， 需追加（万元）． 答：工程预算的施工费用不够用，需追加100万元． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东广州·期末）一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数． (1)求a，b，c满足的等量关系； (2)若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值； (3)若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程． 【答案】(1) (2)3 (3)6或4天 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，即可求解； （2）用甲、乙两队同时施工4天的工作量加上丙队施工1天的工作量等于1，即可求解； （3）根据题意，确定，然后分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即； （2）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验： 是原方程有解，且符合题意， 即c的值为3； （3）解：由（1）得：， ∴， ∵a，b，c均为正整数，， ∴，且， ∴， 当时，， 若，则，符合题意， 此时乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数为天； 当时，， 若，则，符合题意， 此时乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数为天； 当时，， 此时， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴b能去6， 此时，不符合题意； 综上所述，乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数6或4天 【题型3 行程问题】 【例3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分，由题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）步行的速度为米/分，骑自行车的速度为米/分，志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟），设从家到图书馆的距离为米，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 【变式3-2】（24-25八年级下·广东佛山·期末）在岭南水乡，每年端午期间都会举办龙舟比赛．赛道在全长约660米的河道上．甲队的平均速度比乙队约快0.5米/秒，甲队划80米用时与乙队划70米用时相等． (1)求乙队的平均速度； (2)比赛进行1分钟后，甲队保持平均速度不变，落后的乙队平均速度至少提高百分之几才能赢得比赛？（精确到） 【答案】(1)乙队的平均速度为； (2)落后的乙队平均速度至少提高才能赢得比赛． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此列出方程． （1）设乙队的平均速度为，则甲队的平均速度为，根据“甲队划80米用时与乙队划70米用时相等”列出关于x的分式方程，解之即可； （2）设乙队平均速度提高百分比为m，根据“剩下路程甲队用时剩下路程乙队用时”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙队的平均速度为，则甲队的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验：是分式方程的解； 答：乙队的平均速度为； （2）解：由题意知，设乙队平均速度提高百分比为m， 甲队1分钟行驶的路程为， 乙队行进的路程为， 则， 解得， ， 所以落后的乙队平均速度至少提高才能赢得比赛． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则t随v的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴的范围为； （2）解：前用时， 剩余，用时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 【题型4 经济问题】 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·期末）“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； (2)17种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据总费用不超过6260元，并且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29，…，40，41，42， ∴共有17种购买方案． 【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为庆祝我国“春节中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】(1)该店第一次购进这款窗花个，第二次购进这款窗花个 (2)每个窗花的售价至少为元． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该店第一次购进这款窗花个，则第二次购进这款窗花个，根据“每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元”列出方程，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设该店第一次购进这款窗花个，则第二次购进这款窗花个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该店第一次购进这款窗花个，第二次购进这款窗花个； （2）解：设每个窗花的售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个窗花的售价至少为元． 【变式4-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某中学为了让学生体验农耕劳动，在校园内开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据调查：每捆种菜苗，在市场上购买的价格是在菜苗基地购买的倍，用元在市场上购买的种菜苗的数量比用元在菜苗基地购买的数量的一半要多捆． (1)求菜苗基地每捆种菜苗的价格； (2)菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，学校预计用不多于元的资金在菜苗基地购买两种菜苗共捆，同时菜苗基地为支持该校活动，对两种菜苗均提供八折优惠．求至少要购买种菜苗多少捆？ 【答案】(1)25元 (2)35捆 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用； （1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，则在市场上购买每捆A种菜苗的价格是元，根据“用600元在市场上购买的A种菜苗数量比在菜苗基地购买数量的一半要多4捆”，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆，根据“菜苗基地每捆B种菜苗的价格是35元，学校预计用不多于1960元的资金在菜苗基地购买A，B两种菜苗，对A，B两种菜苗均提供八折优惠”，结合（1）的结果，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，则在市场上购买每捆种菜苗的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是25元． （2）解：设在菜苗基地购买A种菜苗m捆，则在菜苗基地购买B种菜苗捆， 由题意得：， 解得：， ∴至少要购买A种菜苗35捆， 答：至少要购买A种菜苗35捆． 【变式4-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）根据下列素材，探索解决任务． 【素材内容】 素材1．某个景区成人票价和学生票价之和为90元，购买三张成人票和两张学生票一共需230元． 素材2．端午假期景区进行让利活动，已知成人票和学生票的折扣相同，发现用320元购买成人票比购买学生票少2张． 素材3．端午假期小明同学用368元买了若干张成人票和学生票． 【任务要求】 (1)任务1：计算单价．每张成人票价和学生票价各多少元？ (2)任务2：计算折扣．端午假期景区门票打几折销售？ (3)任务3：确定门票数量．小明同学分别购买了多少张成人票和学生票？ 【答案】(1)成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． (2)该景区门票打8折销售． (3)小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． （1）设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设景区门票打m折，根据题意列出分式方程求解即可； （3）设小明购买了a张成人票，b张学生票，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设成人票价为x元/张，学生票价为y元/张， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：成人票价为50元/张，学生票价为40元/张． （2）解：设景区门票打m折， 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，符合题意，且满足方程． 答：该景区门票打8折销售． （3）解：设小明购买了a张成人票，b张学生票，则． 即． 化简，得． ∵a， b均为正整数， ∴或． ∴小明可能购买了6张成人票，4张学生票或2张成人票，9张学生票． 【题型5 古文问题】 【例5】《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？ 【答案】里 【分析】设善行者走里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设善行者走里时就追上了不善行者， 根据题意， 解得. 答：善行者走里时追上了不善行者. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式5-1】欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个克罗索．” (1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？ (2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？ 【答案】(1)第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋． (2)两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样． 【分析】（1）根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求解． （2）分别计算出单价比较． 【详解】（1）解：设第一个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了（100﹣x）个．由题意得： 解得：x＝40， 检验：当x＝40时，x（100﹣x）≠0，符合题意． 100﹣x＝60． 答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋． （2）解：第一个农妇的鸡蛋价格为：15÷60＝0.25（元）， 第二个农妇的鸡蛋价格为：640（元）． ∴两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，理解题意列出方程是求解本题的关键． 【变式5-2】我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 【变式5-3】中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】9天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设规定时间为x天，根据题意得：， 解得：． 经检验是原分式方程的解． 答：规定时间为9天． 【题型6 数字问题】 【例6】一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数. 【答案】 【分析】设分子为x，则分母为（x+6），根据题意列出分式方程求解即可. 【详解】设分子为x，则分母为（x+6）， 根据题意得， 方程两边都乘4（x+7），得 4x+4=x+7， 解得x=1， 经检验x=1为原方程的解， 则这个分数为. 【变式6-1】一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数. 【答案】15. 【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+4，这个两位数为：10x+（x+4），根据用个位上的数去除这个两位数商是3，列出分式方程，求解即可得出答案． 【详解】解：， 解得：x=1， 经检验，x=1是分式方程的解， 10x+（x+4）=10×1+1+4=15． 答：这个两位数为15． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，利用个位与十位的关系列出方程是解题的关键．在解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果． 【变式6-2】一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数.求原分数. 【答案】 【详解】分析：设原分数的分子为x，则分母为x+5． 根据“如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数”列出方程，求解即可． 详解：设原分数的分子为x，则分母为x+5， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解． 答：原分数为． 点睛：此题主要考查了分式方程的应用；得到两个分数的关系式是解决本题的关键． 【变式6-3】有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数． 【答案】34 【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，两位数是，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 则：， 解方程得：， 经检验：是原方程的根， 所以个位上的数字为：＝3＋1＝4， 所以这个两位数是：3×10＋4＝34． 答：这个两位数是34． 【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程． 【题型7 素材问题】 【例7】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 端午节，是中国四大传统节日之一，习俗主要有吃粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等．“端午节”来临之际，各超市纷纷搞促销活动，小亮妈妈发现离家不远的永恒超市有蜜枣粽和肉粽两种粽子正在参加活动． 素材1 小亮妈妈购买蜜枣粽和肉粽各花去120元． 素材2 肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元，小亮妈妈购买蜜枣的数量是肉粽数量的倍． 素材3 永恒超市根据平时消费者购买情况，在“端午节”当天，将肉粽的单价提高，蜜枣粽单价降低，节日当天总销售量是400个，超市想要当天粽子销售总额不低于1800元，至少销售多少个肉粽． 问题解决 任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出小亮妈妈在超市两种粽子各买了多少． 任务2 探究 按素材要求确定端午节当天肉粽的销售情况． 请同学们根据以上素材完成探究任务． 【答案】任务1：肉棕买了20个，蜜枣粽买了30个；任务2：端午节当天至少销售100个肉粽 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意累出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设肉粽买了x个，则蜜枣棕买了个，根据肉粽的单价比蜜枣的单价贵2元建立方程组求解即可； 任务2：根据任务1所求可得原来肉粽的单价的为6元，蜜枣的单价为4元，设购买肉棕a个，则购买蜜枣棕个，根据当天粽子销售总额不低于1800元建立不等式求解即可． 【详解】解：任务1：设肉粽买了x个，则蜜枣棕买了个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：肉棕买了20个，蜜枣粽买了30个． 任务2：由任务1得：原来肉粽的单价的为（元）， 原来蜜枣的单价为：（元） 设购买肉棕a个，则购买蜜枣棕个 由题意可得： 解得：， 答：端午节当天至少销售100个肉粽． 【变式7-2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务． 素材1 某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍． 素材2 该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克． (1)任务1：求在该果园采摘明的单价， (2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值； (3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送） 【答案】(1)该果园采摘明5-5的单价是15元/千克 (2)m的值为6 (3)78 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用． 任务一：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设在该果园采摘明的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为6； （3）解：分一次寄送所需运费为（元）； 分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为（元）； 分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为（元）， ∵， ∴运费最少需78元． 故答案为：78． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）根据以下素材，完成调查活动． 怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数 调查活动 素材1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动 素材2 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者植树各720棵树苗； ②八年级比七年级人均植树多2棵树苗； ③八年级的学生人数比七年级的人数少． 交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”，“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究． 问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】提出问题1：求出七、八年级志愿者的人数？解决问题：七年级的志愿者有90人，八年级的志愿者有72人；提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数？解决问题：七年级人均植树8棵，八年级人均植树10棵 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 提出问题1：求出七年级、八年级两支志愿者的人数？设七年级志愿者有x人，则八年级志愿者有人，利用人均植树数植树总棵数志愿者的人数，结合八年级比七年级人均植树多2棵树苗，可列出关于x的分式方程，据此求解即可； 提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数？设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，根据题意列出关于y的分式方程，据此求解即可． 【详解】解：提出问题1：求出七、八年级志愿者的人数？ 解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：七年级的志愿者有90人，八年级的志愿者有72人； 提出问题2：求出七、八年级志愿人均植树数？ 解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意，， 答：七年级人均植树8棵，八年级人均植树10棵． 【题型8 图形问题】 【例8】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 【答案】(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． 【详解】（1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 【变式8-1】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成．    (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 【答案】(1)200个 (2)11 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系是解题的关键． （1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个，根据题意列出分式方程求解即可； （2）首先表示出切割出的侧面的数量为个，切割出的底面的数量为个，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个． 根据题意，得 整理得， 解得或（舍去）． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工厂每天生产该配件200个． （2）根据题意可知用A方法切割的长方形金属板为m块，用B方法切割的长方形金属板为块， 则切割出的侧面的数量为个， 切割出的底面的数量为个． ∵每个图1的配件中，侧面与底面数量的比为， ． 解这个方程得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：m的值为11． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.08倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量高 (2)“丰收号”小麦试验田的边长为 【分析】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键． （）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （）根据“高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍”列出分式方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， ， ，， ∵， ∴， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量高； （2）解：由题意可得，， 去分母，两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的边长为． 【变式8-3】一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 【答案】720个 【分析】设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符，根据每个字符的大小相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解． 答：调整前可打印的字符数为720个． 【题型9 和差倍分问题】 【例9】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． (1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【答案】(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为 (2)最多还可以摆90本数学书 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设还可以摆本数学书，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． （2）解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得：， 答：最多还可以摆90本数学书． 【变式9-1】（2025·山西运城·模拟预测）年月日首届具身智能机器人运动会在无锡市惠山区全民健身中心开幕，标志着未来将会有越来越多的家用机器人走进我们的生活．某品牌家用机器人升级改进前后，满电状态下总电量均为．改进后持续工作时长是改进前的倍，且工作状态下改进后比改进前每小时少耗电．求改进后该款家用机器人工作状态下每小时的耗电量． 【答案】改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电 根据题意得，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：改进后该款家用机器人工作状态下每小时耗电． 【变式9-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱 (2)本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． (3)购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式组：(3)正确列式计算． (1)设“妃子笑”的进价为x元/箱，则“荔枝王”进价为元/箱，根据“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高，“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱，结合进货单中的总金额，列出分式方程，解分式方程即可； (2)设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱，根据费用不超过5060元.且“荔枝王”数量需大于50箱，结合(1)的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组即可； (3)分别计算出各方案的利润，进行比较即可． 【详解】（1）解：设“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱； （2）解：设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱， 由题意得：’ 解得：， ∵y为正整数， ∴或或， ·本次进货方案有3种： ①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱； ②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱； ③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱； 答：本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． （3）解：①方案的利润为： (元)， ②方案的利润为：（元）， ③方案的利润为： (元)， ∵， ∴③方案利润最大，最大是1424元， 答：购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元． 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某学校计划对学校所有的多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司每天安装的教室间数是乙公司每天安装的教室间数的倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室； (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室100间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】(1)甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室 (2)最多安排甲公司工作16天 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室，根据乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司天，根据甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，若安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式得出y的取值范围，再由安装教室100间，进一步确定y的取值范围，即可得出结果． 【详解】（1）解：设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装间教室， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）解：设安排甲公司工作y天，则乙公司天， 由题意得：， 解得：， 同时需满足：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为16， 答：最多安排甲公司工作16天． 【题型10 方案设计问题】 【例10】我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知有三种方案． A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍； C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为天， 根据题意列出方程：． （1）根据所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知条件应该是：______； （2）从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由． 【答案】（1）甲、乙合做4天后；（2）C方案更省钱，理由见解析 【分析】1）设规定的工期为x天，根据题意得出的方程为：，可知方案C中“星号”部分为：若．甲、乙两队合作4天； （2）根据题意先求得规定的天数，然后算出三种方案的价钱之后，再根据题意选择节省工程款的方案． 【详解】（1）甲、乙合做4天后； （2）解：解方程，得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以规定的工期为8天． 如期完成的两种施工方案需要的费用分别为： A方案：（万元）； C方案：（万元）， ∵， ∴C方案更省钱． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答，注意：分式方程的解必须检验． 【变式10-1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【答案】(1)甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 (2)选方案一更节省 【分析】此题主要考查分式方程与二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． （1）设甲车间人，乙车间人，根据题意列出二元一次方程组故可求解； （2）设方案二调配到甲车间人，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】（1）解：设甲车间人，乙车间人，根据题意得 ， 解得， 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人； （2）解：设方案二调配到甲车间人，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 方案一费用：（元） 方案二费用：（元） ∵． ∴选方案一更节省． 【变式10-2】（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两个工程队分别接到千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天． 乙工程队 方案：计划千米按每天施工千米完成，剩下的千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要天； (2)乙工程队应采取方案，理由见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合从第三天开始每天都按第一天施工速度的倍施工，这样比全程只按千米天的速度完成道路施工的时间提前天列出方程求解即可． （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要天； （2）解：乙工程队应采取方案，理由如下： 根据题意得： ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取方案． 【变式10-3】某汽车制造厂接到两项都为生产360辆汽车的任务． (1)完成第一项任务时，生产的第一天按原计划的生产速度进行，第一天后按原计划生产速度的1.5倍进行，结果提前3天完成任务，问完成第一项任务实际需要多少天？ (2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案(其中)． 甲方案：计划180辆按每天生产辆完成，剩下的180辆按每天生产辆完成，设完成生产任务所需的时间为天． 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产辆，另一半时间每天生产辆． 请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)完成第一项任务实际需要7天 (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题的关键，注意检验． （1）设设原计划每天生产辆，根据“前面做了1天，又提前3天完成任务”列出方程求解并检验即可； （2）根据不同的方案列式或列方程求出与，并比较大小即可． 【详解】（1）解：设原计划每天生产辆，则实际需要的天数是， 列方程得：， 即， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，符合题意， 完成第一项任务实际需要天数为：， 答：完成第一项任务实际需要7天； （2）甲方案的天数为： ， 乙方案，由题意得：， ， ∴ ， ，， ，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $