2.1 等式性质与不等式性质（ 课时2）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 课时2 等式性质与不等式性质 作者编号：32006 学习目标 1. 类比等式的性质,探究发现不等式的性质. 2. 能够运用不等式的性质证明不等式. 3. 能够运用不等式的性质求取值范围. 作者编号：32006 新课引入 解不等式要用不等式的性质，不等式到底有哪些性质呢？ 解不等式(8-×0.2)≥20？ 不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画. 等式的性质 不等式的性质 研究发现 作者编号：32006 思考 ：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ ？ 等式的基本性质： 性质1 如果，那么 对称性 性质2 如果，，那么 传递性 性质3 如果，那么 可加性 性质4 如果，那么 可乘性 性质5 如果，，那么 可除性 新课学习 作者编号：32006 探究 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质1：如果，那么；如果，那么即 ⇔ 对称性 性质2：如果，， 那么即 ，⇒ 传递性 ｝ ⇒＞0 ⇒＞0 ⇒ ()+()＞0 ⇒ ＞0 ⇒ 作者编号：32006 新课学习 性质3：如果那么即 可加性 证明: ∵ (a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴ a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. c B b A b+c A B b+c b 作者编号：32006 新课学习 性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc ；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. 可乘性 ，c＞0⇒ac＞bc ，c＜0⇒ac＜bc 不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。 性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 作者编号：32006 新课学习 性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 同向同正可乘性 性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）． a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N*，n≥2） 可乘方性 作者编号：32006 例题剖析 例2 已知a＞b＞0，c＜0，求证 ＞ 分析：要证 ＞,因为c＜0，所以可以先证明＜.利用已知 a＞b＞0和性质4，即可证明＜ 证明:因为a＞b＞0，ab＞0，＞0. 于是 a ∙ ＞ b∙ 即 ＞ 由c＜0,得＞ . 作者编号：32006 随堂小测 1、用不等号“＞或“＜”填空： （1）如果a＞b，c＜d,那么a-c____b-d （2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac____bd （3）如果a＞b＞0，那么______ （4）如果a＞b＞c＞0，那么______ ＞ ＜ ＜ ＜ 作者编号：32006 随堂小测 2、已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是（ ） A.如果a＞b ，那么 ＞ B.如果ac＜bc ，那么a＜b C.如果a＞b ，那么 ＞ D.如果a＞b ，那么 ＞ D 作者编号：32006 方法提炼 利用不等式判断正误的两种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可. （2）特殊值法.注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 作者编号：32006 随堂小测 3、已知a＞b＞c，且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.ab ＞bc B.ac＞bc C.ab＞ac D.a|b|＞|b|c C 作者编号：32006 随堂小测 4、已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ 证明：- -(-)= . ∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0 ∵a＞b＞0,∴-ac＞-bd＞0,即-ac-（-bd）＞0. 又cd＞0,∴＞0,∴- -(-)＞0,即-＞-＞0 ∴＞ ,∴ ＜ 方法1 作者编号：32006 随堂小测 4、已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ 证明： ∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0，∴0＜- ＜- ∵a＞b＞0,∴-＞-＞0 ∴＞ ,∴ ＜ 方法2 作者编号：32006 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 方法一（性质法）；方法二（作差法）；方法三（作商法）. 方法提炼 作者编号：32006 随堂小测 5、已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a-b与的取值范围. 解： ∵2＜b＜8,∴-8＜-b＜-2，∴＜ ＜ 又1＜a＜4,∴-7＜a-b＜2,＜＜2 即a-b的取值范围为（-7,2），的取值范围为（，2） 作者编号：32006 方法提炼 （1）恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质. （2）运用不等式的性质时，要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质. （3）准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误. 利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题 作者编号：32006 6、已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），,再添加m克糖（m＞0）(假设全部溶解),糖水变甜了.这一事实可表示为一个不等式 ，你能证明这个不等式成立吗？ 随堂小测 证明： = = ∵b＞a＞0,m＞0, ∴a-b＜0,＜0 ∴＜ 作者编号：32006 课堂总结 不等关系 不等式 不等式的基本性质 不等关系自身的特性 ⇔ ，⇒ 不等式在运算中的不变性 ； ，c＞0⇒ac＞bc ； ，c＜0⇒ac＜bc. 两实数大小关系的基本事实 作者编号：32006 课堂总结 不等式的性质 不等式的性质内容 对称性 a>b⇔b<a 传递性 a>b,b>c⇒a>c 可加性 a>b⇔　 　　 可乘性 a>b,c>0⇒ac＞bc  a>b,c<0⇒ac＜bc 同向可加性 a>b,c>d⇒a＋c＞b＋d 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac＞bd 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n≥2) 作者编号：32006 $