2.1等式性质与不等式性质 共2课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1、情境创设 想一想：你能例举生活中的不等关系吗? 长短 大小 轻重 行车速度 V≤40km/h LOGO 1、情境创设 知识点一　不等关系与不等式 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的____________．含有这些不等号的式子叫做不等式． 不等式a≥b读作“a大于或等于b”， 其含义是指“a＞b或a＝b”:等价于“a不小于b”； 等价于“若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确”． 不等关系 LOGO 2、探究新知 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 教材 p37 (1)某路段限速：40k m/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. LOGO 2、探究新知 教材 p40-1 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 >  <  ≥ ≤ 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m; (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350 m²的矩形场地的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. LOGO 2、探究新知 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？       教材 p38 LOGO 2、探究新知 两个实数大小关系 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么，当点A在点B的左边时，a<b;当点A在点B右边时，a>b. LOGO 2、探究新知 知识点二　实数大小比较的基本事实 1．基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么_______ a－b＞0⇔______ 如果a－b等于0，那么_______ a－b＝0⇔______ 如果a－b是负数，那么_______ a－b＜0⇔______ a＞b a＞b a＝b a＝b a＜b a＜b 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. LOGO 2、探究新知 作差法： ①作差 ②变形(化简) ③定号(与0比大小) ④下结论 教材 p38 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系. LOGO 2、探究新知 教材 p40-2 教材 p43-10 2. 10.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. LOGO 2、探究新知 知识点二　实数大小比较的基本事实 2.分数的性质（糖水不等式） 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ②假分数的性质 LOGO 变式2.已知实数满足，则的大小关系是 。 2、探究新知 学案大书 p19 变式1.则的大小关系是 。 LOGO 2、探索新知 探究 你能找出下图中的一些相等或不等关系吗？ 正方形面积>4个三角形面积   若三角形是等腰直角三角形呢？                 LOGO 2、探索新知 练习册 p10 练习.已知实数满足 求证： LOGO 2、探索新知 思考：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 知识点三 等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么 ； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 . b＝a a＝c 自身特性 运算中的不变性 LOGO 2、探索新知 类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质：   性质1(对称性)如果a > b，那么b< a;如果b < a，那么a < b, 即. 性质2(传递性)如果a>b，b>c,那么a>c, 即. LOGO 类比等式的性质3-5，可以猜想不等式还有如下性质: 性质3(可加性)如果a>b，那么a+c>b+c. 2、探索新知   这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 如图，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3. LOGO 2、探索新知 这就是说，不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 利用这些基本性质，我们还可以推导出 其他一些常用的不等式的性质.例如，利用性质2,3可以推出：   性质4(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a+c>b+d LOGO 2、探索新知 利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出： 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 性质7(同正可乘方性)如果，那么() 性质6(同向同正可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd LOGO 2、探索新知 知识点四 不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). b<a a>c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd LOGO 3、课堂练习 题型一　不等式性质的基本应用 教材 p42-练习-2 性质5推广：异向可减性（与被减同向） 2.用不等号“>”或“<”填空： (1)如果a>b,c<d,那么a-c___ b-d; (2)如果a>b>0,c<d<0,那么 ; (3)如果a>b>0,那么 ; (4)如果a>b>c>0,那么 . LOGO 3、课堂练习 题型二　利用不等式的性质证明不等式 教材 p42 已知a>b>0,c<0,求证 . LOGO 3、课堂练习 题型二　利用不等式的性质证明不等式 教材 p43 7.已知，求证 LOGO 3、课堂练习 教材 p43 题型二　利用不等式的性质证明不等式 11.已知，求证 同正可开方性：若，则 LOGO 3、课堂练习 题型三　利用不等式求范围 教材 p43-5 5.已知，求的取值范围 LOGO 4、小结及作业 作业： （1）整理本节题型，预习2.2节基本不等式 （2）教材43页习题2.1的第3、4、6、8题 课堂小结： (1)等式和不等式的基本性质； (2)比较大小的方法(作差法). LOGO >，<(b－m>0). <，>(b－m>0)； ＝ $