2.2.2 基本不等式的应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过比较大小、证明不等式及实际应用三大知识点展开。以例1已知条件比较ab与xy引入，衔接基本不等式定理，搭建从基础到应用的学习支架。 其特色在于结合进货次数优化等实际案例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过多步推理证明题训练数学思维，明确建模四步法强化数学语言表达。规律方法总结与分层作业设计，助力学生逐步提升，也方便教师实施分层教学。

第二课时　基本不等式的应用 1 知识点一　利用基本不等式比较大小 01 知识点二　利用基本不等式证明不等式 02 知识点三　基本不等式的实际应用 03 目录 课时作业 04 2 知识点一 利用基本不等式比较大小 01 PART 目 录 【例1】　已知a，b，x，y都是正实数，且 ＋ ＝1，x2＋y2＝8，则ab 与xy的大小关系是 ⁠. 解析：因为1＝ ＋ ≥2 ＝2 ，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2 时，等号成立；xy≤ ＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以 ab≥xy. ab≥xy 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用基本不等式比较大小的注意点 （1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； （2）应注意成立的条件，即a＋b≥2 成立的条件是a＞0，b＞0，等 号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立 的条件是a＝b. 数学·必修第一册 目 录 训练1　若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的 是（　　） A. B. a2＋b2 C. 2ab D. a 解析：由题知0＜a＜b，且a＋b＝1，所以0＜a＜ ， ＜b＜1，故排除D；由a2＋b2＞2ab变形可得a2＋b2＞ ＝ ，故排除A. 故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 知识点二 利用基本不等式证明不等式 02 PART 目 录 【例2】　（链接教材P46练习2题）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋ c＝1.求证： （ －1）（ －1）≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1， 所以 －1＝ ＝ ≥ ， 同理 －1≥ ， －1≥ . 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得 ≥ · · ＝8， 当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立. 数学·必修第一册 目 录 变式　在本例条件下，求证： ＋ ＋ ≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， 所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 利用基本不等式证明不等式的策略 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式， 若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑 等，使之达到能使用基本不等式的条件. 2. 利用基本不等式证明不等式的注意事项 （1）多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； （3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模 型再使用. 数学·必修第一册 目 录 训练2　已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥ ＋ ＋ . 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以由基本不等式，得a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时，等号成立， b＋c≥2 ，当且仅当b＝c时，等号成立， a＋c≥2 ，当且仅当a＝c时，等号成立. 上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2 ＋2 ＋2 ，即a＋b＋ c≥ ＋ ＋ ， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 数学·必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 基本不等式的实际应用 目 录 【例3】　某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n次货， 每次购买x件，每次购买商品需手续费300元.已购进未卖出的商品要付库 存费，可认为年平均库存量为 ，每件商品库存费是每年10元，则要使总 费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为 ⁠. 10 解析：由题得nx＝6 000，x＝ .设总费用为y元，则y＝300n＋ ×10 ＝300n＋5x＝300n＋ .因为n＞0，所以300n＋ ≥2 ＝6 000，当且仅当300n＝ ，即n＝10时，y取最小 值，即总费用最低. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 数学·必修第一册 目 录 训练3　如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图 中阴影部分），上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白 部分面积的最小值是 dm2. 56 数学·必修第一册 目 录 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝（x＋4）· －72＝8＋2 ≥8＋ 2×2 ＝56，当且仅当x＝ ，即x＝12时等号成立.即四周空白部 分面积的最小值为56 dm2. 数学·必修第一册 目 录 1. 设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　） A. s≥t B. s＞t C. s≤t D. s＜t 解析：　因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1，当且仅当b＝1时等 号成立，所以s≥t. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 某校团委组织了一场竞赛活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区 域，则所用警戒线的长度的最小值为（　　） A. 30 m B. 50 m C. 80 m D. 110 m 解析：　设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，则所用警戒线的长度 为2 ≥2×2 ＝80，当且仅当 ＝x，即x＝20时，等号成 立.所以所用警戒线的长度的最小值为80 m.故选C. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部 分），矩形花园面积的最大值为 ⁠. 400 数学·必修第一册 目 录 解析：由题意设矩形花园的长为x（x＞0），宽为y（y＞ 0），矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花 园是矩形，则△ADE∽△ABC，所以 ＝ ，又因为AG＝ BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由 基本不等式x＋y≥2 ，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20 时等号成立，此时矩形花园面积最大，最大值为400. 数学·必修第一册 目 录 4. 已知a，b都是正数，求证： ≥4. 证明：∵a＞0，b＞0， ∴a＋ ≥2 ＝2，b＋ ≥2 ＝2. 由不等式的性质，得 ≥4， 当且仅当a＝1且b＝1时，等号成立. 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）利用基本不等式比较大小及证明不等式； （2）基本不等式的实际应用. 2.应体会 （1）利用基本不等式证明不等式的关键是以“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，证明的常用方法有综合法、分析法； （2）利用基本不等式解决实际问题时，首先要审清题意，然后将实际问 题转化为数学问题. 3.避易错 生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. “ab≤2”是“a2＋b2≤4”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：若取a＝2，b＝－1，则ab≤2成立，但a2＋b2＞4，即“ab≤2”⇒/ “a2＋b2≤4”，充分性不成立；若a2＋b2≤4，则2ab≤a2＋b2≤4，可得ab≤2，即“a2＋b2≤4”⇒“ab≤2”，必要性成立.所以“ab≤2”是“a2＋b2≤4”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 若直角三角形的面积为18，则两条直角边的和的最小值是（　　） A. 3 B. 6 C. 6 D. 12 解析：　设直角三角形的两直角边分别为a，b，因为直角三角形的面积 为18，即ab＝36，所以两条直角边的和a＋b≥2 ＝12，当且仅当a＝ b＝6时取等号，所以两条直角边的和的最小值是12. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面 造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是（　　） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 解析：　设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝ 4⇒xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y）≥80＋ 20×2 ＝80＋20×4＝160（当且仅当x＝y＝2时取等号）.故该容器的 最低总造价是160元.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知－6＜a＜3，则下列选项中正确的是（　　） A. ≥9 B. ≤ C. ≤－ D. ＜ 解析：　∵－6＜a＜3，∴3－a＞0，a＋6＞0.∴ ≤ ＝ ，当且仅当3－a＝a＋6时等号成立，即a＝－ 时等号成立，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程 的平均速度为v，则下列结论正确的是（　　） A. a＜v＜ B. v＝ C. ＜v＜ D. v＝ 解析：设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝ ＝ ＜ ＝ .又v－a＝ －a＝ ＝ ＞0，所以v＞a，所以a＜v＜ ，故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知某出租车公司为升级服务水平，购入了一批豪华轿车投入 运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y（万元）与运营年数x 的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是（　　） A. 车辆运营年数越多，利润越高 B. 车辆在第6年时，总利润最高 C. 车辆在前5年的平均利润最高 D. 车辆每年都能盈利 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：由题意可知，y＝－x2＋12x－25是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确； ＝－x＋12－ ＝－（x＋ ）＋12≤－2 ＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 已知a，b是不相等的正数，x＝ ，y＝ ，则x，y的大小 关系是 ⁠. 解析：x2＝ ，y2＝a＋b＝ .因为a＋b＞2 （a≠b），所以x2＜y2，因为x，y＞0，所以x＜y. x＜y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的 浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝ ，则经 过 h后池水中药品的浓度达到最大. 解析：当t＝0时，C＝0，当t＞0时，C＝ ＝ ≤ ＝5，当且仅 当t＝ ，即t＝2时取等号.因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月 货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓 库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和 最小，仓库应建在离车站 km处. 解析：设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费 用为y2，由题意可设y1＝ ，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8 分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝ ，y2＝0.8x，则两项费用之 和为y＝y1＋y2＝0.8x＋ ≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝ ，即x＝5时等 号成立.∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： ≥9. 证明：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋ ＝1＋ ＝2＋ ， 同理1＋ ＝2＋ ， 所以 ＝ ＝5＋2 ≥5＋4＝9， 当且仅当 ＝ ， 即a＝b＝ 时等号成立， 所以 ≥9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产 x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平 均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （　　） A. 30件 B. 60件 C. 80件 D. 100件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝ ＝ ＋ ≥2 ＝30，当且仅当 ＝ ，即x＝60时等号成 立，故每批应生产产品60件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. “海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了已知三角形三边长求 三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则面积S可由 公式S＝ 求得，其中p为三角形周长的一半.现 有一个三角形的三边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为 （　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　因为a＝6，b＋c＝8，所以p＝ ＝7.又由三角形边长关 系可得1＜b＜7，1＜c＜7，所以S＝ ≤ × ＝ × ＝3 ，当且仅当7－b＝7－c即b ＝c＝4时等号成立，所以三角形面积的最大值为3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN， 要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米， AD＝3米，当BM＝ 米时，矩形花坛AMPN的面积最小. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：设BM＝x（x＞0），则由DC∥AM得 ＝ ，解得ND＝ ，∴矩形AMPN的面积为S＝（4＋x）·（3＋ ）＝24＋3x＋ ≥24＋ 2 ＝48，当且仅当3x＝ ，即x＝4时等号成立.∴当BM＝4米时， 矩形花坛AMPN的面积最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 如图所示，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24，把它沿AC翻折， 翻折后AB'交DC于点P，设AB＝x. （1）用x表示DP，并求出x的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24， ∵AB＝x，∴AD＝ －x＝12－x， ∵AB＞BC＝AD，得x＞12－x， ∴6＜x＜12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC，从而得DP＝PB'， ∴AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由 勾股定理得（12－x）2＋DP2＝（x－DP）2， ∴DP＝12－ （6＜x＜12）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）求△ADP面积的最大值及此时x的值. 解：在Rt△ADP中，S△ADP＝ AD·DP＝ （12－x） （12－ ）＝108－（6x＋ ）（6＜x＜12）. ∵6＜x＜12， ∴6x＋ ≥2 ＝72 ，当且仅当6x＝ ，即x＝ 6 时，等号成立. ∴S△ADP＝108－（6x＋ ）≤108－72 ， ∴当x＝6 时，△ADP的面积取得最大值108－72 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 已知a，b，c＞0时，有 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启 示，求当a，b，c＞0时， ＋ ＋ 的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解：由于 ＋ ＋ ＋3 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ [（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]（ ＋ ＋ ） ＝ ［3＋ ＋ ＋ ］ ＝ ［3＋ ＋ ＋ ］≥ ， 从而 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当a＝b＝c时，原式取得最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $