精品解析：2025年山东省数学中考统考押题卷（三）

2025年山东省数学中考统考押题卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ） A. 与对手打成平局 B. 输给对手 C. 打赢了对手 D. 无法确定 2. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在 3. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算错误是（ ） A. B. C. D. 5. 某种洗衣液售价是每瓶20元，购买2瓶以上（包括2瓶）者可享受优惠．优惠办法有两种：①一瓶洗衣液按原价，其余按原价的7折销售；②全部按原价的8折销售．在购买相同数量洗衣液的情况下，若第一种方法比第二种方法得到的优惠多，则购买洗衣液的数量至少是（ ） A. 5瓶 B. 4瓶 C. 3瓶 D. 2瓶 6. 如图，在正八边形中，连接，可知．以点G为圆心，大于点G到线段的距离为半径作弧，分别交线段于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交线段于点I，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果，若两人在每一局获胜的概率均为，那么小果最终胜出的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图1，、、、为四边形各边上中点，连接，分别过点、作的垂线段、，线段、、将四边形分割成、、、四个部分，将、、、按图2方式拼成四边形（无缝隙、不重叠），若，，，则四边形的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 30 9. 如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（ ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在实数范围内，因式分解：__________． 12. 已知，，且，则化简________． 13. 如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点D，E，则的长为_____．（结果保留） 14. 如图，在中，，，的面积为2.5①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H，再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AD于点F，则的面积为______． 15. 对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则．例如，若…，依此规律进行下去，得到一列数（为正整数），则___________． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 18. “法治中国的未来在年轻人身上”，为了筑牢青少年的法治之基，某中学进行了满分为100分的“法治知识”测评，分别从九年级1班和2班各随机抽取了参与测评的15名学生的成绩（分）并进行整理分析： 【收集数据】 1班15名学生成绩数据如下：87，82，81，78，89，87，96，86，82，79，92，92，78，87，79 2班15名学生成绩数据如下：79，81，84，88，86，87，92，88，87，84，82，88，90，89，85 【整理数据】 成绩 1班 4 5 2 1 2班 1 4 2 0 【分析数据】 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空： ________， ________； （2）若成绩不低于85分为“合格”，判断在本次测评中合格率较高的是________班，1班的平均分________2班的平均分（填“”或“”或“”）； （3）在本次测评中，1班的甲同学和2班的乙同学成绩均为86分，你认为两人在各自班级参与测评的学生中谁的排名更靠前？请说明理由； （4）请结合具体数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的学生对“法治知识”的掌握程度更好． 19. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 20. 血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系： 年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45 最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 100 9.5 9.0 （1）求关于的函数关系式； （2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数） 运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比 有氧耐力训练 无氧耐力训练 21. 如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 22. 综合与实践 问题情境 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 初步探究 （1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 深入思考 将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M． （2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省数学中考统考押题卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（ ） A. 与对手打成平局 B. 输给对手 C. 打赢了对手 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数的概念即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分， ∴某队得到“－1”分，则球队比赛输给了对手． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的概念，解题的关键是理解正数和负数的意义． 2. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提． 3. 两个粒子的质量分别为和，若用科学记数法表示这两个粒子的质量和，则下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 首先由得到，然后合并求解即可． 【详解】 ． 故选：D． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，求一个数的立方根，同底数幂的除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：．，计算正确，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项符合题意； ． ，计算正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 某种洗衣液售价是每瓶20元，购买2瓶以上（包括2瓶）者可享受优惠．优惠办法有两种：①一瓶洗衣液按原价，其余按原价的7折销售；②全部按原价的8折销售．在购买相同数量洗衣液的情况下，若第一种方法比第二种方法得到的优惠多，则购买洗衣液的数量至少是（ ） A. 5瓶 B. 4瓶 C. 3瓶 D. 2瓶 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 设购买x瓶洗衣液时，第一种方法比第二种方法得到的优惠多，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设购买x瓶洗衣液时，第一种方法比第二种方法得到的优惠多， 根据题意得：， 解得：， ∴最少需要买4瓶洗衣液． 故选：B． 6. 如图，在正八边形中，连接，可知．以点G为圆心，大于点G到线段的距离为半径作弧，分别交线段于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交线段于点I，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，等腰三角形的性质，作垂直，根据多边形的性质得到，，再根据等腰三角形得到，由平行得到，即可求出． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果，若两人在每一局获胜的概率均为，那么小果最终胜出的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用画树状图求解随机事件的概率，先画树状图得到所有的都可能的结果数，符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：在七局四胜制的比赛中，前四局小王领先小果， ∴还剩下局比赛； 小果的比赛情况画树状图如下： ∴由树状图可得所有都可能的结果数有种，小果获胜的机会只有种， ∴小果最终胜出的概率是， 故选：A 8. 如图1，、、、为四边形各边上的中点，连接，分别过点、作的垂线段、，线段、、将四边形分割成、、、四个部分，将、、、按图2方式拼成四边形（无缝隙、不重叠），若，，，则四边形的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质.先连接，证明四边形是平行四边形，进而证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵、、、为四边形各边上的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 由拼接图形性质可得：四边形的周长是； 故选：D 9. 如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理及垂线段最短，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．在上取点M，使，进而得出为的中位线，将的最小值转化为的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在上取点M，使，连接，如图所示， ∵点C为的中点，点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． 过点M作的垂线，垂足为N， 则当点P在点N处时，取得最小值，即为的长． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为， ∴的最小值为． 故选：B． 10. 我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（ ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在实数范围内，因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分解到不能分解为止． 【详解】 故答案为：． 12. 已知，，且，则化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，根据、满足的等式判断出、可看作方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 由，即，，且可知、可看作方程的两不相等的实数根，然后得出，从而得出结论． 【详解】， 即，，且， ∴、可看作方程的两不相等的实数根， 则， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点D，E，则的长为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，弧长公式，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，，根据三角形内角和定理可得，最后由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，记中点为，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，的面积为2.5①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H，再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AD于点F，则的面积为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】如图，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥AB于点J．首先证明，求出△ABD的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥AB于点J． 由作图可知DA平分∠BAC， ∴DK=DJ， ∴ ∴ ∴ 由作图可知MN垂直平分线段AD， ∴AF=DF， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，掌握垂直平分线的性质与角平分线的性质是解题的关键． 15. 对于正整数，我们规定：若为奇数，则；若为偶数，则．例如，若…，依此规律进行下去，得到一列数（为正整数），则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类问题，解题的关键是寻找规律，利用规律解决问题. 按照规定：若为奇数，则；若为偶数，则，直接运算得出前面几个数，进一步找出规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴，，， ， ， ， …， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合运算， （1）根据，再计算； （2）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元 （2）方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； 【小问2详解】 设购买y本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 18. “法治中国的未来在年轻人身上”，为了筑牢青少年的法治之基，某中学进行了满分为100分的“法治知识”测评，分别从九年级1班和2班各随机抽取了参与测评的15名学生的成绩（分）并进行整理分析： 【收集数据】 1班15名学生成绩数据如下：87，82，81，78，89，87，96，86，82，79，92，92，78，87，79 2班15名学生成绩数据如下：79，81，84，88，86，87，92，88，87，84，82，88，90，89，85 【整理数据】 成绩 1班 4 5 2 1 2班 1 4 2 0 【分析数据】 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空： ________， ________； （2）若成绩不低于85分为“合格”，判断在本次测评中合格率较高的是________班，1班的平均分________2班的平均分（填“”或“”或“”）； （3）在本次测评中，1班的甲同学和2班的乙同学成绩均为86分，你认为两人在各自班级参与测评的学生中谁的排名更靠前？请说明理由； （4）请结合具体数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的学生对“法治知识”的掌握程度更好． 【答案】（1）3，8 （2）2， （3）甲同学的成绩排名更靠前，理由见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的定义和意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意用总人数减去其它成绩的人数即可得到答案； （2）根据题意得到1班和2班的合格人数比较即可；根据平均数的公式计算出1班和2班的平均成绩比较即可； （3）先分别求得到1班和2班的成绩的中位数为86分，87分，可推出甲同学的成绩在本班处于参与测评学生的成绩的中间位次上，乙同学的成绩在本班处于参与测评学生的成绩的后，即可得到结论； （4）根据平均数、中位数和众数的意义，选择其中一个进行比较得出结论即可． 【小问1详解】 解：根据题意，1班和2班各随机抽取了参与测评的15名学生， 因此，， 故答案为：3，8； 【小问2详解】 解：根据题意，成绩不低于85分为“合格”， 所以1班的合格人数为8人，2班的合格人数为10人， 因此在本次测评中合格率较高的是2班； 平均成绩： 1班：（分）； 2班：（分）， 因此1班的平均分小于2班的平均分， 故答案：2，； 【小问3详解】 解：甲同学的成绩排名更靠前，理由如下： 1班抽取的15名学生的成绩的中位数为将这组数据从小到大排列后的第8个数据， 中位数为86分， 2班抽取的15名学生的成绩的中位数为将这组数据从小到大排列后的第8个数据， 中位数为87分， 甲同学的成绩等于1班抽取的15名学生的成绩的中位数86分，乙同学的成绩小于2班抽取的15名学生的成绩的中位数87分， 甲同学的成绩在本班处于参与测评学生的成绩的中间位次上，乙同学的成绩在本班处于参与测评学生的成绩的后， 甲同学的成绩在所在班级参与测评的学生中排名更靠前； 【小问4详解】 解：从平均数看，由（2）可知， 2班参与测评学生的成绩的平均数比1班的高，所以2班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从中位数看，由（3）可知，2班参与测评学生的成绩的中位数比1班的高，所以2班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从众数看，由题意得，1班参与测评学生的成绩的众数为87分，2班参与测评学生的成绩的众数为88分， 2班参与测评学生的成绩的众数比1班的高，所以2班的学生对“法治知识”的掌握程度更好．（答案不唯一，写出一个即可） 19. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】（1）斜坡的坡比为； （2）的长米． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 中，， ∴斜坡的坡比为； 【小问2详解】 解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 20. 血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系： 年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45 最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 （1）求关于的函数关系式； （2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数） 运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比 有氧耐力训练 无氧耐力训练 【答案】（1） （2）小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将代入，求得，然后根据无氧耐力训练的血乳酸浓度占最大浓度的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）． 将，和，分别代入中， 得 ，解得， 关于的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，． 28岁的小刘最大血乳酸浓度为是． ， ， 小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内． 21. 如图，过菱形的顶点A，B，C，且切于点C，的延长线交于点M，且与的延长线交于点N． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，先根据菱形的性质可得，根据圆的切线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，，记与的另一个交点为，连接，先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵切于点， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接， ∵为的直径， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∵切于点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 22. 综合与实践 问题情境 如图1，在中，，，，是斜边的中线． 初步探究 （1）如图2，将沿方向平移，当点C落在点D的位置时，点D，B的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 深入思考 将绕点D顺时针旋转得到，，的对应点分别是N，M． （2）如图3，当时，垂足为Q，与交于点P，与交于点E，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与交于点E，当点B在线段上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由勾股定理得，则，那么，可求，由题意得，，则，在中，解直角三角形得，则，在中，解直角三角形得； （3）当点与点重合时，过点作于点，可得，则，即可求解；当点不与点重合时，如图：过点作于点，可证明，由，再由线段和差求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 在中，是斜边的中线， ∴， 由平移可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴，即旋转角为， ∴， 由平移可得：， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，； （3）当点B与点N重合时，如图：过点作于点， 由旋转和平移得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点B不与点N重合时，如图：过点作于点， ∵由旋转，平移得到，， ∴， ∴， ∴， 由旋转，平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，解直角三角形，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，在时，函数取得最小值，即，在时，函数取得最大值，即，结合函数值的取值范围是，进而可以计算得解； ②根据①可得，得出抛物线的表达式为：，顶点坐标为．求出则时，，设图象折叠后顶点的对应点为，画出对应图形，点是函数所处的位置，图象为区域，根据点，点，求出点，依据题意，分在点下方、上方两种情况分别列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：已知抛物线， ∴函数的对称轴是直线． 【小问2详解】 解：①由题意，∵函数对称轴为直线，， ∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， 当时，， 当时， 在时，函数取得最小值，即， ∵， ∴在时，函数取得最大值，即， ∵当时，函数值的取值范围是， ∴，， ，； ②根据①可得， ∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为． 则时，， 设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， ∵点，点，则点， 当点在点下方时，，解得：． ∵函数的最高点为，最低点为， ， ， ； 当点在点上方时，，解得：． ∵函数的最高点为，最低点为， ， ， ∴； ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及了二次函数的对称轴、二次函数的最值、二次函数与翻折问题，解不等式组，掌握数形结合的数学思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $