7.3 平行线的证明 课时2 课件-2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第七章 证明 八上数学 BS 课时2 7.3 平行线的证明 1. 掌握平行线的性质定理，熟练完成“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程，逐步提升演绎推理能力. 2. 深入理解平行线性质定理与判定定理之间的内在联系，深度感受互逆思维在几何证明中的应用，培养灵活转换思维的能力. 学习目标 我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们. 课堂导入 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线FF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 知识点1 平行线的性质定理 C 1 2 A F D B N E M 新知探究 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”， 可知GH∥CD. 又因为AB∥ CD，这样经过点M存在 两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 知识点1 平行线的性质定理 C 1 2 A F D B N E M H G 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 新知探究 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 已知：如图，直线l1∥ l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 分析：由条件l1∥ l2可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系? 证明：∵ l1∥ l2(已知)， ∴ ∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). 又∵ ∠2=∠3(对顶角相等)，∴ ∠1=∠2(等量代换). 知识点1 平行线的性质定理 l2 1 2 l1 l 3 新知探究 类似地，还可以证明： 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 已知：如图，直线a∥ b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证：∠1+∠2=180°. 证明：∵ a∥ b(已知)， ∴ ∠2=∠3(两直线平行，同位角相等). 又∵ ∠1+∠3=180°(平角的定义)， ∴ ∠1+∠2=180°(等量代换). 知识点1 平行线的性质定理 b 3 2 a c 1 新知探究 平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系? 平行线的性质是判断两个角相等或互补的依据； 而平行线的判定是说明两直线平行的依据. 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 例1 已知：如图，b∥ a，c∥ a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d截出的同位角.求证：b∥ c. 由条件b∥ a，c∥ a可以得到哪些等量关系? 为了证明b∥ c需要怎样的等量关系? 知识点1 平行线的性质定理 1 2 ） a b d c ） ） 3 新知探究 例1 已知：如图，b∥ a，c∥ a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d截出的同位角.求证：b∥ c. 证明：∵ b∥ a，(已知)， ∴ ∠2=∠1(两直线平行，同位角相等). ∵ c∥ a(已知)， ∴ ∠3=∠1(两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2=∠3(等量代换). ∴ b∥ ∠c(同位角相等，两直线平行). 知识点1 平行线的性质定理 1 2 ） a b d c ） ） 3 新知探究 一般地，我们有如下定理： 平行于同一条直线的两条直线平行. 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 思考 (1) 回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节? 命题证明的一般步骤： (1) 根据题意，画出图形； (2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程. 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 (2) 对于证明思路的分析，你积累了哪些经验? (1) 从已知条件入手，综合分析探索解题途径(由因导果法)； (2) 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路(执果索因法)； (3) 综合运用以上两种方法(因果夹击法) 知识点1 平行线的性质定理 新知探究 跟踪训练 如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO一定(　　) A．互余　　 B．相等　　 C．互补　　 D．不相等 知识点1 平行线的性质定理 A 　 新知探究 1. 如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是(　　) A．20°　　 B．25°　　 C．30°　　 D．35° D 随堂练习 18 2. 如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE. 证明：因为AB∥CD，所以∠4＝∠BAE. 因为∠3＝∠4，所以∠3＝∠BAE. 因为∠1＝∠2， 所以∠CAE＋∠1＝∠CAE＋∠2，即∠BAE＝∠DAC， 所以∠3＝∠DAC， 所以AD∥BE. 随堂练习 19 3. 求证：两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的平分线互相平行. 已知：如图，AB∥ CD，EF分别交AB，CD于点G，H，GK平分∠EGB，HL平分∠GHD. 求证：GK∥ HL. 随堂练习 20 证明：∵ AB∥ CD(已知)， ∴ ∠EGB=∠GHD(两直线平行，同位角相等). ∵ GK平分∠EGB，HL平分∠GHD(已知)， ∴ ∠EGK=∠EGB，∠GHL=∠GHD(角平分线的定义)， ∴ ∠EGK=∠GHL(等量代换)， ∴ GK∥ HL(同位角相等，两直线平行). 随堂练习 21 命题证明的一般步骤 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 平行线的性质 1. 根据题意，画出图形 2. 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证 3. 用数学符号和数学语言写出证明过程 课堂小结 $