7.2 认识证明 课时2 课件-2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第七章 证明 八上数学 BS 课时2 7.2 认识证明 1．初步感受公理化思想，以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值. 2．经历对顶角定理等定理的证明过程，初步掌握综合法证明的格式，发展有条理的表达能力. 学习目标 问题 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢? 用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. 能不能根据已经知道的真命题证实呢? 那已经知道的真命题又是如何证实的? 课堂导入 其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题. 公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据. 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 其中数学名词称为原名，公认的真命题称为公理. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断. 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 并不是所有的真命题都是定理，但定理一定是真命题. 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 公理与定理的异同： 相同点： (1) 都是真命题； (2) 都可以作为证明其他命题的依据. 不同点： 公理 其真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明. 定理 其正确性需要经过推理论证. 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行). 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条： 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8. 三边分别相等的两个三角形全等. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 知识点1 公理、定理、证明的概念 例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”. 又如，如果a>b，b>c，那么 a>c，这一性质同样可以作为证明的依据. 新知探究 从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了. 例如，我们可以证明下面的定理： 定理 同角(或等角)的补角相等. 定理 同角(或等角)的余角相等. 定理 三角形的任意两边之和大于第三边. 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 例1 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD. 分析：在基本事实和已证定理中， 哪些结论可以断定两个角相等? 证明：∵ 直线AB与直线CD相交于点O， ∴ ∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义). ∴ ∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义). ∴ ∠AOC=∠BOD(同角的补角相等). 知识点1 公理、定理、证明的概念 A C B D O 新知探究 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶角相等 知识点1 公理、定理、证明的概念 新知探究 跟踪训练 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 证明：∵ ∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义)， ∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠ACD =180°-∠ACB， ∠A+∠B=180°-∠ACB(等式的性质). ∴ ∠ACD=∠A+∠B(等量代换). ∴三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 知识点1 公理、定理、证明的概念 B C A D 新知探究 C 1. 下列语句中属于定理的是( ) A. 在直线AB上任取一点E B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C. 对顶角相等 D. 直线AB和CD垂直吗? 分析：A. 在直线AB上任取一点E，不是命题，所以不是定理 B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题 D. 直线AB和CD垂直吗?不是命题，所以不是定理 随堂练习 15 2. 证明：两个奇数之和一定是偶数. 证明：设两个奇数分别为：2m+1，2n+1，其中m，n为整数， 则(2m+1)+(2n+1)=2m+1+2n+1=2m+2n+2=2(m+n+1). 因为m，n，1都为整数， 所以m+n+1为整数， 所以2(m+n+1)是偶数，问题得证. 随堂练习 16 3. 请你完成定理“等角的补角相等”的证明. 已知：∠1=∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角. 求证：∠3=∠4. 证明：∵ ∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知). ∴ ∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°(补角的定义)， ∴ ∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2(等式的性质). ∵ ∠1=∠2(已知)， ∴ ∠4=180°-∠1(等量代换)，∴ ∠3=∠4(等量代换). 随堂练习 17 4. 数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式： 23×83=(2×8+3)×100+3×3=1 909； 38×78=(3×7+8)×100+8×8=2 964； 45×65=(4×6+5)×100+5×5=2 925. (1) 请你类比上面的等式，计算：①84×24；②562. 随堂练习 18 解：(1) ①84×24=(8×2+4)×100+4×4 =2 016； ②562=56×56=(5×5+6)×100+6×6 =3 100+36=3 136. 随堂练习 19 4. 数学中的两位数乘法藏着许多的运算规律，现请观察下列几个等式： 23×83=(2×8+3)×100+3×3=1 909； 38×78=(3×7+8)×100+8×8=2 964； 45×65=(4×6+5)×100+5×5=2 925. (2) 请你写出以上等式所体现一般的规律，并用所学知识证明. 随堂练习 20 (2) 一般规律为： (10a+c)×[10×(10-a)+c]=[a×(10-a)+c]×100+c×c， 证明：左边=10a×10×(10-a)+10a×c+c×10×(10-a)+c×c =100a×(10-a)+10ac+10c×(10-a)+c×c =100a×(10-a)+100c+c×c =[a×(10-a)+c]×100+c×c=右边. 随堂练习 21 公理、定理、证明的概念 定理：经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明 证明：演绎推理的过程称为证明 公理：公认的真命题称为公理. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断 课堂小结 $