第十七章 因式分解 章末小结 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十七章 因式分解 八上数学 RJ 章末小结 本章知识结构图. 整式的乘法 因式分解 公式法 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， (a±b)2=a2±2ab+b2. 特殊形式 相反变形 提公因式法 相反变形 具体方法 知识梳理 因式分解 概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 乘积 分解因式 注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. pa+pb+pc p(a+b+c). 因式分解 整式乘法 知识梳理 公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式. 确定公因式的方法： ①定______， ②定______， ③定______. 系数 字母 指数 知识梳理 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 知识梳理 提公因式法步骤（分四步）： 第一步：确定公因式. 第二步：提取公因式，依据乘法分配律. 第三步：确定另一个因式 ，用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式. 第四步：写成乘积的的形式，相同因式的乘积写成幂的形式. 知识梳理 用平方差公式分解因式 a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是二项式； ②每一项都能写成平方的形式，且符号相反. 知识梳理 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2. 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 知识梳理 1.下列因式分解中正确的是 (　C　) A.a2-b2=(a-b)2 B.x2-4y2=(x+2y)2 C.1-4a2=(1+2a)(1-2a) D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y) 　C　 随堂练习 2.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x 　C　 随堂练习 3.将-3a2b-6ab2的各项提公因式后，另一个因式为( ) A.a+2b B.-a+2b C.-a-b D.a-2b A 随堂练习 4.将 a3b – ab 进行因式分解，正确的是（ ） A. a(a2b – b) B. ab(a – 1)2 C. ab(a + 1)(a – 1) D. ab(a2 – 1) C 解析：a3b – ab = ab(a2 – 1) = ab(a + 1)(a – 1). 随堂练习 5. 下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是 (　C　) A.x2-y2 B.y2-x2 C.-x2+y4 D.-x4-y2 　D　 随堂练习 6. 计算752-252的结果是 (　C　) A.50 B.500 C.5 000 D.7 100 　C　 随堂练习 7. 有两道因式分解的题目：（1）3x2 – 9x + 3；（2）4x2 – 9. 小明的解答如下： 解：（1） 3x2 – 9x + 3 = 3(x2 – 6x + 1). （2） 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3). 请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断小明分解的结果是否正确，并说明理由. 不正确. 解：（1）3(x2 – 6x + 1) = 3x2 – 18x + 3，所以不正确. 正确. （2）(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4x2 – 9，所以正确. 随堂练习 8.下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是(　B　) A.x2-x+0.25 B.16a2+4a+1 C.a2+4ab+4b2 D.a2-2a+1 　B　 随堂练习 9. 若 x2 + x = 1， 则 3x4 + 3x3 + 3x + 1 的值为____. 解析： 3x4 + 3x3 + 3x + 1 = 3x2(x2 + x) + 3x + 1 = 3x2 + 3x + 1 = 3(x2 + x) + 1 = 3 + 1 = 4. 4 随堂练习 10. 把多项式2ab+4ab2分解因式，应提取的公因式是 (　B　) A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2 11.ax2-4x+1能用公式法因式分解，则a的值为 (　C　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 　B　 　C　 随堂练习 12.将下列多项式因式分解，结果不含有因式a+1的是 (　C　) A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 13.如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为 (　D　) A.0 B.1 C.4 D.9 　C　 　D　 随堂练习 14. 分解因式： (1)ab2 – 2ab + a； (2)8x2y2 – 18； 解：(1)ab2 – 2ab + a = a(b2 – 2b + 1) = a(b – 1)2. 解：(2) 8x2y2 – 18 = 2(4x2y2 – 9) = 2(2xy + 3)(2xy – 3). 随堂练习 14. 分解因式： (3)x4 – 18x2y2 + 81y4. 解：(3)x4 – 18x2y2 + 81y4 = (x2 – 9y2)2 = [(x + 3y)(x – 3y)]2 = (x + 3y)2(x – 3y)2. 随堂练习 15. 先分解因式，再计算求值. （1）(4x + y)2 – 9y2，其中 x + y = 2，y – 2x = 3； 解：(4x + y)2 – 9y2 = (4x + y + 3y)(4x + y – 3y) = (4x + 4y)(4x – 2y) = 8(x + y)(2x – y) = – 8(x + y)(y – 2x). 当 x + y = 2，y – 2x = 3 时，原式= – 8×2×3 = – 48. 随堂练习 15. 先分解因式，再计算求值. （2）a2b + ab2 – a – b，其中 a + b = – 5，ab = 5. 解：a2b + ab2 – a – b = ab(a + b) – (a + b) = (a + b)(ab – 1). 当 a + b = – 5，ab = 5 时，原式= – 5×(5 – 1) = – 20. 随堂练习 $