第5章 二元一次方程组章末总结 课件-2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

八上数学 BS 第五章 二元一次方程组 章末小结 二元一次方程组 学习思路 概念 解法 应用 联系 学习方法 方程思想 消元思想 化归思路 模型思想 类比思想 学习内容 二元一次方程、二元一次方程组 基本思路：消元 实际应用 二元一次方程(组)与一次函数、 三元一次方程组 知识梳理 一、二元一次方程组 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解. 知识梳理 一、二元一次方程组 2.二元一次方程组 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解. 知识梳理 1. 若是2x|k|+(k-1)y=3关于x、y的二元一次方程，则k的值为( ) A．-1 B．1 C．1或-1 D．0 A 随堂练习 2. 若方程组是关于x、y的二元一次方程组， 则代数式a+b+c的值是________. 解析：由题意可得：c+3=0，b+3=1. 解得：c=-3，b=-2， ① a-2=1，解得：a=3，∴ a+b+c=-2； ② a-2=0，解得：a=2，∴ a+b+c=-3. -2或-3 随堂练习 二、解二元一次方程组 1.代入消元法 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程. 知识梳理 代入法解二元一次方程组的步骤： 1. 变形：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 2. 代入：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 4. 代回：将求出的未知数的值代入原方程组，求另一个未知数的值. 5. 写解：把求得的两个未知数的值用“{”联立，就是方程组的解. 知识梳理 二、解二元一次方程组 2.加减消元法 通过两式相加(或相减)消去其中一个未知数. 知识梳理 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1. 变形：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等. 2. 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数得到一个一元一次方程. 3. 求解：解这个一元一次方程，求得一个未知数的值. 4. 代回：将求出的未知数的值代入原方程组，求出另一个未知数的值. 5. 写解：把求得的两个未知数的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 知识梳理 解：整理得 由①得n=-5m+6， ③ 将③代入②得-4m+6(-5m+6)=2，解得m=1， 将m=1代入③得n=-5+6=1， ∴ 原方程组的解为 1. 解方程组： 随堂练习 2. 解方程组： 解：整理得 3×②+4×①得25x=23，解得x=， 将x=代入①得4×+3y=5，解得y=， ∴ 原方程组的解为 随堂练习 3. 若方程组与方程组同解，则mn=____. 8 解析： ①+②得2x=4，解得x=2， 将x=2代入①得2+y=3，解得y=1， 将x=2，y=1代入方程组得 解得m=4，n=2. 随堂练习 三、列二元一次方程组解决实际问题 检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解 解方程组 列出二元一次方程组 实际问题 分析题意 找出两个 等量关系 知识梳理 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： (1) 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量. (2) 找：找出能够表示题意的两个等量关系. (3) 设：用字母表示题中的两个未知数. (4) 列：根据找出的两个等量关系列出所需的代数式，从而列出方程组. (5) 解：解方程组. (6) 验：检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验是否符合题意，不符合的要舍去. (7) 答：写出答案，包括单位名称. 知识梳理 三、列二元一次方程组解决实际问题 从甲调出一部分给乙，则乙增加了这部分， 甲就相应地减少了这部分. 收入增长：现收入=原收入×(1+增长率) 支出节约(负增长)：现支出=原支出×(1-节约率) 调配问题 “增收节支”类问题 知识梳理 三、列二元一次方程组解决实际问题 抓住几何量(边长、周长、面积)的不变性或 组合关系. 图形类问题 知识梳理 1. 总量不变关系 2. 成分含量不变关系：混合前甲成分含量+混合 前乙成分含量=混合后总成分含量 核心是围绕“物品之间的配套比例”建立等量关系 配制问题 配套问题 三、列二元一次方程组解决实际问题 知识梳理 三、列二元一次方程组解决实际问题 火车完全过桥路程关系： 桥长+火车长=火车速度×过桥时间 火车完全在桥上路程关系： 桥长-火车长=火车速度×完全在桥时间 火车过桥火车交汇类问题 知识梳理 (1) 相遇问题： 甲走的路程+乙走的路程=两出发地间的距离. (2) 追及问题： ① 同地不同时出发： 前者走的路程=追者走的路程； ② 同时不同地出发： 前者走的路程+两出发地间的距离=追者走的路程. 追及、相遇类问题 知识梳理 1. 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负场得0分.在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分.该队胜几场，平几场? 随堂练习 解 ：设该市第二中学足球队胜x场，平y场. 由该队共比赛11场，得方程x+y=11. ① 又根据得分规定，共得27分， 因而得方程3x+y= 27. ② 解方程①②组成的方程组 得 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. 随堂练习 x＝400， y＝100. 解方程组，得 解析：根据题意可列出方程组 2. 现将甲种含糖 10% 的糖水 x 克、乙种含糖 20% 的糖水 y 克混合在一起配成 500 克含糖 12% 的糖水，则甲种含糖10% 的糖水 克，乙种含糖 20% 的糖水 克. 400 100 x＋y＝500， 10%x＋20%y＝12%×500. 随堂练习 3. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时骑行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时骑行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间. 随堂练习 解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h. 6 min =h，20 min =h. 根据题意，得解得 答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间 为h. 随堂练习 4. 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价 50%、乙商品加价 40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打 八 折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款 538 元，已知商场盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价分别是多少？ 随堂练习 解：设甲、乙两种商品的进价分别为 x 元/件、y 元/件， 根据题意列出方程组得 解得 答：甲、乙两种商品的进价分别是 250 元/件，200元/件. 随堂练习 5. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做 B 部件，恰好配成这种仪器多少套？ 随堂练习 解：设 x 立方米钢材制作 A 部件，y 立方米钢材制作 B 部件， 根据题意列出方程组得 解得 则 40x = 160(套). 答：用 4 立方米钢材制作 A 部件，2 立方米钢材制作 B 部件，恰好配成这种仪器 160 套. 随堂练习 四、二元一次方程(组)与一次函数 1.二元一次方程与一次函数的关系： 方程的解与相应函数图象上的点的坐标一一对应. 知识梳理 二元一次方程与一次函数的关系： 二元一次方程ax+by+c=0 (a≠0，b≠0) 一次函数y=-x- 互相转化 图象 以解为坐标的点组成的图象 直线上点的坐标是相应方程的解 一条直线 解 无数个 知识梳理 四、二元一次方程(组)与一次函数 2.二元一次方程与一次函数的关系： 确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解，反之亦然. (1) 两条直线有一个交点 方程组只有一个解； (2) 两条直线平行(无交点) 方程组无解. 知识梳理 1. 如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线 l2：y=mx+n交于点P(-2，a)，根据以上信息解答下列问题： (1) 求a的值. 解：(1) 因为点P(-2，a)在直线y=3x+1上， 所以将(-2，a)代入y=3x+1，得a=-5. 随堂练习 1. 如图，已知直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线 l2：y=mx+n交于点P(-2，a)，根据以上信息解答下列问题： (2) 在不解关于x，y的方程组的 情况下，请你直接写出它的解. (2) 因为直线y=3x+1和直线y=mx+n交 于点P(-2，-5)， 所以方程组的解为 随堂练习 2. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(-2，4)，与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C. (1) 求直线y=kx+b的表达式； (2) 求ΔAOC的面积. 随堂练习 解：(1) 把(-2，4)，(6，0)代入y=kx+b(k≠0)，得 解得， 所以直线y=kx+b的表达式为y=-x+3. (2) 联立两个函数表达式，得解得 所以点C的坐标为(2，2)， 所以SΔAOC=OA·|yc|=×6×2=6. 随堂练习 五、三元一次方程组 定义：共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程. 解：三元一次方程组中各个方程的公共解. 基本解法：代入消元法；加减消元法. 知识梳理 1. 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 配餐中 A，B，C 三种食物分别多少份？ 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 随堂练习 解：设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得 5x + 5y + 10z = 35， ① 20x + 10y + 10z = 70， ② 5x + 15y + 5z = 35. ③ 1. 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 随堂练习 由①得 x = 7-y-2z. ④ 将④代入②③，得 y + 3z = 7， ⑤ 2y – z = 0. ⑥ 解这个方程组，得 y = 1， z = 2. 将 代入④，得 x = 2. y = 1， z = 2 所以 x = 2， y = 1， z = 2. 所以，A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 随堂练习 $