5.3二元一次方程组的应用课时2 课件-2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第五章 二元一次方程组 八上数学 BS 课时2 5.3 二元一次方程组的应用 1. 能借助表格、线段图等方法直观分析较为复杂问题中的数量关系，并建立方程组解决问题. 2. 会列二元一次方程组解决“增收节支”“配制(或配套)”类问题. 学习目标 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (1) 这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (1) 已知量：前年总利润、去年总利润、去年的总收入增加的百分率，去年的总支出减少的百分率. 未知量：前年的总收入、前年的总支出、去年的总收入、去年的总支出. 课堂导入 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (1) 这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? 等量关系：总收入-总支出=总利润. 课堂导入 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ (2) 你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗? 利用表格梳理题目中的关键信息，是一种常用的方法. 知识点1 “增收节支”类问题 新知探究 问题 某工厂前年的总利润(总收入－总支出)为 200 万元.去年的总收入比前年增加了 20%，总支出比前年减少了 10%，去年的总利润为 780 万元.前年的总收入、总支出各是多少万元？ 知识点1 “增收节支”类问题 总收入/万元 总支出/万元 总利润/万元 前年 去年 x (1+20%)x y (1-10%)y 200 780 新知探究 知识点1 “增收节支”类问题 解：设前年的总收入和总支出分别为 x 万元和 y 万元， 根据题意，得 所以，前年的总收入为、总支出0万元. 新知探究 跟踪训练 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价. 知识点1 “增收节支”类问题 甲/元 乙/元 合计/元 原来的单价 现在的单价 x y 100 (1 - 10%)x (1 + 40%)y 100×(1+20%) 新知探究 知识点1 “增收节支”类问题 解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元. 根据题意可列出方程组： 解方程组，得 所以，甲商品原来的单价为 40 元，乙商品原来的单价为 60 元. 新知探究 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 分析：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有 知识点2 “配制（或分配）”类问题 成分 甲原料x g 乙原料y g 配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x 0.7y 35 x 0.4y 40 新知探究 解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要. 知识点2 “配制（或分配）”类问题 新知探究 跟踪训练 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是由石英砂和长石粉混合而成的，要求原料中含二氧化硅70%.已知石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.在3.2t原料中，需石英砂和长石粉各多少? 知识点2 “配制（或分配）”类问题 石英砂/t 长石粉/t 重量/t 需要量 含二氧化硅 x 99%x y 67%y 3.2 70%×3.2 新知探究 知识点2 “配制（或分配）”类问题 解：设需石英砂 x t，长石粉 y t. 根据题意可列出方程组 解方程组， 所以，在 3.2 t 原料中，需石英砂 0.3 t，长石粉 2.9 t. 新知探究 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心得体会? 常常采用表格梳理关键信息， 能够将各个量之间的关系直观展现出来，便于列方程组. 知识点2 “配制（或分配）”类问题 新知探究 1. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％、12％ 的两种配料. 用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 解：设需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 x kg、y kg， 根据题意列出方程组得 解方程组，得 答：需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 37.5 kg、62.5 kg. 随堂练习 15 2. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 车间总人数 2螺钉总产量 = 螺母总产量 随堂练习 16 2. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人. 依题意，可列方程组 所以，应安排生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人. 随堂练习 17 3. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元. 求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. 随堂练习 18 解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元. 根据题意， 解得 所以，调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元，50元. 随堂练习 19 4. 2025年2月23日发布的《中共中央国务院关于进一步深化农村改革 扎实推进乡村全面振兴的意见》，提出千方百计推动农业增效益、农村增活力、农民增收入.在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收.去年出售菠萝的利润是12万元，今年出售菠萝的收入比去年增加了10%，支出减少了5%，预计今年出售菠萝获得的利润比去年多3.12万元.求去年的收入和支出各为多少万元. 随堂练习 20 4. 去年出售菠萝的利润是12万元，今年出售菠萝的收入比去年增加了10%，支出减少了5%，预计今年出售菠萝获得的利润比去年多3.12万元.求去年的收入和支出各为多少万元. 分析：设去年的收入和支出分别为x万元、y万元. 收入/万元 支出/万元 利润/万元 去年 x y 12 今年 (1+10%)x (1-5%)y 12+3.12 随堂练习 21 解：设去年的收入和支出分别为x万元、y万元. 依题意，得 解得 所以，去年的收入和支出分别为24.8万元、12.8万元. 收入/万元 支出/万元 利润/万元 去年 x y 12 今年 (1+10%)x (1-5%)y 12+3.12 随堂练习 22 二元一次方程组的应用 配制问题 配套问题 “增收节支”类问题 收入增长： 现收入=原收入×(1+增长率) 支出节约(负增长)： 现支出=原支出×(1-节约率) 1. 总量不变关系 2. 成分含量不变关系 混合前甲成分含量+混合前乙成分含量=混合后总成分含量 核心是围绕“物品之间的配套比例”建立等量关系 课堂小结 $