第22章 二次函数（单元测试）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•祁东县期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 2．（2024秋•明水县期末）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•柳州模拟）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2﹣2 C． D．y＝﹣2x+1 4．（2024秋•魏县期末）某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　） A．yx2+4 B．y＝﹣10（x）2+4 C．y＝4（x）2 D．y＝﹣10（x）2+4 5．（2024秋•泗阳县期末）抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（0，2） D．（2，0） 6．（2024秋•蚌山区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3 7．（2024秋•崇川区期末）将抛物线y＝﹣x2向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2 8．（2024秋•新野县期末）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 9．（2025•登封市一模）已知二次函数y＝x2﹣4x图象上有两点A（﹣4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 10．（2024秋•罗定市期末）二次函数y＝mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•镇海区校级期中）若二次函数y＝2x2﹣4的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a　 　 b（填“＜”或“＝”或“＞”）． 12．（2024秋•庄浪县期中）二次函数y＝（2m+3）x2的图象开口向上，则m的取值范围为　 　 ． 13．（2024秋•汾阳市期中）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2023的值为 　 　 ． 14．（2024秋•滨城区期中）如果点A（3，m）、B（5，n）是抛物线y＝2023（x﹣1）2+2024上的两个点，那么m和n的大小关系是m　 　 n（填“＞”或“＜”或“＝”）． 15．（2024秋•新荣区期中）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+4上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　 ．（用“＞”连接） 三．解答题（共8小题） 16．（2024秋•运城期末）为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为x（万元/吨），每天获得的利润为y（万元），请解答下列问题： （1）用含x的代数式表示每天大蒜的销售量为 　 　 （吨），并求出每天获得的利润y（万元）与批发价x（万元/吨）之间的函数关系式：　 　 ． （2）若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨？ （3）当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润． 17．（2024秋•临清市期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （3）点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 18．（2024秋•淮滨县期末）某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 19．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若c＝2，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式． （2）当c＝b﹣2时，判断函数y＝x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由． （3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值． 20．（2025•西湖区校级开学）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0）和点B（0，﹣3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当y≥1时，请直接写出x的取值范围． 21．（2025•管城区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）． （1）当b＝2，c＝4时， ①该函数图象的顶点坐标是 　 　 ； ②若0≤x≤3，则y的取值范围是 　 　 ； （2）当该函数的图象经过点（1，﹣3）时，设该二次函数图象的顶点坐标是（m，n），求n关于m的函数表达式 （3）若当x≤0时，y的最大值为3；当x＞0时，y的最大值为4．求二次函数的表达式． 22．（2024秋•桥西区期末）已知抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x+2，求抛物线的该顶点坐标． 下面是嘉琪同学用配方法求顶点坐标的过程： 解：y＝2x2﹣4x+2 y＝x2﹣2x+1 y＝（x﹣1）2 ∴顶点坐标为（1，0）． 判断嘉琪的解答过程是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 23．（2025•仓山区校级开学）已知抛物线过点（4，0），顶点为Q，抛物线． （1）求a的值和点Q的坐标． （2）求证：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 第22章 二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•祁东县期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】C 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2024秋•明水县期末）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【专题】函数及其图象；几何直观． 【答案】A 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项正确； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的对称轴x0，故选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，应该熟记一次函数y＝ax+a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 3．（2025•柳州模拟）下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2﹣2 C． D．y＝﹣2x+1 【考点】二次函数的定义． 【答案】B 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数，由此判断即可． 【解答】解：A、y＝2x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； B、y＝x2﹣2，y是x的二次函数，故此选项符合题意； C、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； D、y＝﹣2x+1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024秋•魏县期末）某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　） A．yx2+4 B．y＝﹣10（x）2+4 C．y＝4（x）2 D．y＝﹣10（x）2+4 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的应用． 【专题】数形结合． 【答案】D 【分析】根据题意可得出此二次函数的顶点坐标为（，4），再由开口向下可得二次项的系数为负数，由此结合选项即可得出答案． 【解答】解：根据图象知，抛物线开口向下，顶点（，4）， A、是一个开口向上的函数，故本选项错误； B、函数的顶点坐标为（，4），故本选项错误； C、函数的顶点坐标为（，），故本选项错误； D、符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题，关键掌握二次函数运用二次函数图象上的点满足二次函数解析式，也要会判断一个二次函数的顶点坐标． 5．（2024秋•泗阳县期末）抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（0，2） D．（2，0） 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】A 【分析】令x＝0，求出相应的y的值，即可得到抛物线y＝x2+4x﹣1与y轴的交点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3， 即抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3）， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴交点，就是求出当x＝0时y的值． 6．（2024秋•蚌山区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】C 【分析】根据左加右减，上加下减的法则解答即可． 【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴得到的新的抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2+1，即y＝﹣（x﹣2）2+3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键． 7．（2024秋•崇川区期末）将抛物线y＝﹣x2向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】A 【分析】直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减”即可得出结论． 【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 8．（2024秋•新野县期末）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】C 【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论． 【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5＝﹣5； 当x＝﹣1时，y2＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣5＝﹣8； 当x＝1时，y3＝12+4×1﹣5＝0． ∵﹣8＜﹣5＜0， ∴y2＜y1＜y3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入三个点的横坐标，求出y1，y2，y3的值是解题的关键． 9．（2025•登封市一模）已知二次函数y＝x2﹣4x图象上有两点A（﹣4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x图象开口向上，对称轴为直线x＝2， A（﹣4，y1）距离对称轴6个单位长度， B（1，y2）距离对称轴1个单位长度， 根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大可得： y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2024秋•罗定市期末）二次函数y＝mx2+mx（m＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象． 【答案】A 【分析】根据m＜0函数图象开口向下，对称轴小于零，可得函数图象． 【解答】解：A、因为二次函数y＝mx2+mx（m＜0），所以，函数图象开口向下，对称轴小于零，即：抛物线对称轴在y轴的左侧，所以，函数图象开口向下，对称轴在y轴左边，符合题意，故A正确； B、图象开口向下，故B错误； C、对称轴在y轴左边，故C错误； D、图象开口向下，故D错误； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•镇海区校级期中）若二次函数y＝2x2﹣4的图象上有两个点A（2，a）、B（3，b），则a　＜　 b（填“＜”或“＝”或“＞”）． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】＜． 【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出与的大小关系． 【解答】解：在二次函数y＝2x2﹣4中， ∵a＞0，抛物线的对称轴为y轴， ∴在y轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当2＜3时，a＜b， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征， 12．（2024秋•庄浪县期中）二次函数y＝（2m+3）x2的图象开口向上，则m的取值范围为　　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】 【分析】根据函数图象的开口向上可知：2m+3＞0，即可求解． 【解答】解：由题意可得：2m+3＞0， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要了二次函数的性质．正确进行计算是解题关键． 13．（2024秋•汾阳市期中）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2023的值为 　2025　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；代数式求值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】2025． 【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到m2﹣m＝1，再把2m2﹣2m+2023变形为2（m2﹣m）+2023，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， 即m2﹣m＝1， ∴2m2﹣2m+2020＝2（m2﹣m）+2023＝2×1+2023＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，反过来，通过抛物线与x轴的交点坐标确定关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解． 14．（2024秋•滨城区期中）如果点A（3，m）、B（5，n）是抛物线y＝2023（x﹣1）2+2024上的两个点，那么m和n的大小关系是m　＜　 n（填“＞”或“＜”或“＝”）． 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】＜． 【分析】利用二次函数图象的增减性，得到m与n的大小关系即可． 【解答】解：由题意可得：抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上， 即：当x＞1时，y随x增大而增大， ∵5＞3＞1， ∴m＜n． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．（2024秋•新荣区期中）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+4上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　y1＞y2＞y3　 ．（用“＞”连接） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】y1＞y2＞y3． 【分析】根据函数解析式的可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，根据A，B，C3点与对称轴的距离求解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， ∴点A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1）． ∵﹣1＜0， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． ∵0＜1＜2， ∴y1＞y2＞y3， 故答案为：y1＞y2＞y3． 【点评】二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2024秋•运城期末）为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为x（万元/吨），每天获得的利润为y（万元），请解答下列问题： （1）用含x的代数式表示每天大蒜的销售量为 　（﹣5x+25）　 （吨），并求出每天获得的利润y（万元）与批发价x（万元/吨）之间的函数关系式：　y＝﹣5x2+30x﹣25　 ． （2）若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨？ （3）当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润． 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】（1）（﹣5x+25），y＝﹣5x2+30x﹣25；（2）定为4万元/吨； （3）当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元． 【分析】（1）根据“批发价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨”用含x的代数式表示每天大蒜的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y （万元）与批发价x（万元/吨）之间的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式可得﹣5x2+30x﹣25＝15，解方程后根据2.4≤x≤4.5即可得到答案； （3）由题意得到y＝﹣5x2+30x﹣25＝﹣5（x﹣3）2+20，根据2.4≤x≤4.5和二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）每天大蒜的销售量为（吨）， 故答案为：（﹣5x+25）； 根据题意得y＝（﹣5x+25）（x﹣1）＝﹣5x2+30x﹣25， ∴每天获得的利润y（万元）与批发价x（万元/吨）之间的函数关系式为y＝﹣5x2+30x﹣25， 故答案为：y＝﹣5x2+30x﹣25； （2）根据题意可得﹣5x2+30x﹣25＝15， 解得x＝2或x＝4． ∵2.4≤x≤4.5， ∴x＝4， 答：若该村每天批发大蒜要盈利15万元，大蒜的批发价应定为4万元/吨； （3）y＝﹣5x2+30x﹣25＝﹣5（x﹣3）2+20， ∵2.4≤x≤4.5，﹣5＜0即抛物线开口向下， ∴当x＝3时，y有最大值， 最大值为﹣5×（3﹣3）2+20＝20， ∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元． 【点评】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 17．（2024秋•临清市期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （3）点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】（1）平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣1，y＝x2+2x﹣3； （2）平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣1，顶点为（﹣2，﹣1）； （3）存在，或． 【分析】（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）当y＝0时，（x+2）2﹣1＝0，求出C（﹣3，0），D（﹣1，0），根据，得出|yp|＝4，再得出（x+2）2﹣1＝4，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， 由平移规律得平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣1， ∴顶点为（﹣2，﹣1）； （3）当y＝0时，（x+2）2﹣1＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1， ∴C（﹣3，0），D（﹣1，0）， ∴CD＝2， ∵， ∴|yp|＝4， ∵顶点为（﹣2，﹣1）， ∴点P在x轴的上方，纵坐标为4， ∴（x+2）2﹣1＝4， 解得，或， ∴或． 【点评】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键． 18．（2024秋•淮滨县期末）某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【专题】二次函数的应用． 【答案】（1）y＝﹣2x+160； （2）50； （3）定为54元时，每天销售毛绒玩具所获利润W最大，最大利润是1248元． 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）利润为1200元，求x的值； （3）求出利润W函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 【解答】解：（1）根据题意，得y＝80﹣2（x﹣40）＝﹣2x+160， ∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+160； （2）根据题意，得（x﹣30）（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝60，x2＝50， ∵尽可能让利于顾客， ∴x＝50， 答：每个毛绒玩具售价应定为50元； （3）∵W＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵获利不得高于进价的80%，30×（1+80%）＝54， ∴30≤x≤54， ∵﹣2＜0， ∴当x＜55时，W随着x的增大而增大， ∴当x＝54时，W最大，此时W＝﹣2（54﹣55）2+1250＝1248． 答：每个售价定为54元时，每天销售毛绒玩具所获利润W最大，最大利润是1248元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 19．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若c＝2，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式． （2）当c＝b﹣2时，判断函数y＝x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由． （3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】（1）y＝x2﹣x+2； （2）两个，理由见解析； （3）． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）求出根的判别式即可判断； （3）分3种情况求解：当时；当时；当m≤﹣3时． 【解答】解：（1）把c＝2代入得，y＝x2+bx+2， ∵当x＝﹣1时，y＝4， ∴4＝1﹣b+2， ∴b＝﹣1， ∴二次函数的关系式为y＝x2﹣x+2； （2）∵c＝b﹣2， ∴Δ＝b2﹣4c ＝b2﹣4（b﹣2） ＝b2﹣4b+8＝（b﹣2）2+4＞0， ∴函数y＝x2+bx+c的图象与x轴有两个交点； （3）∵的对称轴为直线：， 当时， ∴函数最大值为：y＝22+2+2＝8， 函数最小值为y＝m2+m+2， ∴8﹣m2﹣m﹣2＝5，即m2+m﹣1＝0， 解得：（舍去）， ∴； 当时， ∴函数最大值为：y＝22+2+2＝8， 函数最小值为， ∴，不符合题意； 当m≤﹣3时， ∴函数最大值为：y＝m2+m+2， 函数最小值为， ∴，即， ∴（两个都不符合题意，舍去）； ∴m的值为． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，掌握以上性质是解题的关键． 20．（2025•西湖区校级开学）已知二次函数y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0）和点B（0，﹣3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当y≥1时，请直接写出x的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）或． 【分析】（1）代入A（3，0）、B（0，﹣3）到y＝ax2﹣2x+c，利用待定系数法即可求解； （2）由a＝1＞0可知二次函数图象开口向上，令y＝1求出对应x的值，再结合二次函数的性质即可求出当y≥1时x的取值范围． 【解答】解：（1）代入A（3，0）、B（0，﹣3）到y＝ax2﹣2x+c，得， ∴， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵a＝1＞0， ∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上， 令y＝1，则x2﹣2x﹣3＝1， 解得：，， ∴当y≥1时，x的取值范围为或． 【点评】本题考查了二次函数的解析式，图象法解不等式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 21．（2025•管城区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）． （1）当b＝2，c＝4时， ①该函数图象的顶点坐标是 　（1，5）　 ； ②若0≤x≤3，则y的取值范围是 　1≤y≤5　 ； （2）当该函数的图象经过点（1，﹣3）时，设该二次函数图象的顶点坐标是（m，n），求n关于m的函数表达式 （3）若当x≤0时，y的最大值为3；当x＞0时，y的最大值为4．求二次函数的表达式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】（1）（1，5），1≤y≤5； （2）n＝m2﹣2m﹣2； （3）y＝﹣x2+2x+3． 【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解，待定系数法求函数解析式； （3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解． 【解答】解：（1）①当b＝2，c＝4时，y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴该函数图象的顶点坐标为（1，5）， ②∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， 由①知抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当0≤x≤3时，y在x＝1时取最大值5，在x＝3时取最小值1， ∴当0≤x≤3，y的取值范围是1≤y≤5， 故答案为：（1，5），1≤y≤5； （2）∵该函数的图象经过点（1，﹣3）， ∴﹣1+b+c＝﹣3， ∴c＝﹣2﹣b， ∴， ∴，， ∴n＝m2﹣2m﹣2； （3）∵当x≤0时，y的最大值为3，当x＞0时，y的最大值为4，3＜4， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴当x＝0时，y＝3， ∴c＝3， ∴当时，， ∴， ∴b1＝2，b2＝﹣2（负值舍去）， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，掌握数形结合思想是解题的关键． 22．（2024秋•桥西区期末）已知抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x+2，求抛物线的该顶点坐标． 下面是嘉琪同学用配方法求顶点坐标的过程： 解：y＝2x2﹣4x+2 y＝x2﹣2x+1 y＝（x﹣1）2 ∴顶点坐标为（1，0）． 判断嘉琪的解答过程是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”；如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】×，过程见解析． 【分析】用配方法把二次函数变成顶点式，求出顶点即可． 【解答】解：嘉琪的解答不正确．故在方框内打“×”； 正确的解答过程为： y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2， ∴顶点坐标为（1，0）． 【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，解决的关键是要正确的配方． 23．（2025•仓山区校级开学）已知抛物线过点（4，0），顶点为Q，抛物线． （1）求a的值和点Q的坐标． （2）求证：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；非负数的性质：偶次方． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】（1），Q（2，﹣2）； （2）见解析． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线C1的解析式，再化为顶点式即可得解； （2）求出平移后的坐标为（0，﹣2），再求出当x＝0时，y的值，即可得证． 【解答】（1）解：∵抛物线过点（4，0）， ∴a×42﹣2×4＝0， ∴， ∴抛物线， ∴Q（2，﹣2）； （2）证明：将Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，， ∴（0，﹣2）在抛物线C2上． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $