第21章一元二次方程 解答题专题提升训练2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》 解答题专题提升训练（附答案） 1．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3)． 2．关于的方程． (1)当取何值时，方程为一元二次方程？ (2)当取何值时，方程为一元一次方程？ 3．已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 4．已知a是方程的解，求代数式的值． 5．解方程： (1)； (2) 6．先化简，再求值：，其中x满足 7．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 8．已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 9．已知关于的一元二次方程 (1)已知方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若菱形的两条对角线恰好是该方程的两个实数根，且面积为8，求的值． 10．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)若方程有一个根为2，求的值； (2)敏敏求出，老师说敏敏的这个答案一定有误，你同意老师的观点吗？并给出理由． 11．已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 12．已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)证明：该方程一定有两个不相等的实数根． (2)已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求m的值． 14．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 15．为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 16．网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． (1)设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） (2)若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 17．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 18．2024年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 19．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边___________米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积能达到平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． (4)请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米2． 20．如图，在中，，，，若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒．    (1)_________，_________（用含有t的代数式表示） (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：方程整理得：， 则二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5； （2）方程整理得：， 则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为； （3）方程整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 2．解：（1）要使方程为一元二次方程， 则， 即时，原方程是一元二次方程； （2）要使方程为一元一次方程， 则，， 即且， 可知时，原方程是一元一次方程． 3．解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 4．解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 5．（1）解： 原方程整理得： ， ∴； （2） ， ∴或， ∴，． 6．解：原式 . ∵， 解得， ∴原式；或原式． 7．（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 8．（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，12，周长为． 9．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 整理得：， 解得． （2）解：设这个方程的两个实数根分别为， 则由一元二次方程的根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线恰好是该方程的两个实数根，且面积为8， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 所以的值为． 10．（1）解：将代入，得， 解得； （2）解：同意老师的观点．理由如下： 由题意可知，若，又， 则可解得 ，． ， ， ． 由于，故不存在这样的，使得． 11．（1）解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 12．（1）证明：在中，， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）解：和是方程的两个根， ， 矩形的对角线长， ，即， ， 整理得：， 解得：， ， ， ， 矩形的周长为：， 矩形的面积为：． 13．（1）证明：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 14．1（1）证明：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 解得  ． 15．解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为． 16．（1）解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出箱； 故答案为：； （2）解：设降价x元， 由题意，得：， 解得：， ∴元或元， 答：售价应该定为65元或61元． 17．（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 18．:解：（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得 ， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 19．（1）解：（米）； 故答案为：． （2）解：设米， 米， 根据题意，得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为米． （3）解：设米， 米， 根据题意，得：， 整理，得：， ， 该方程没有实数根， 该饲养场的面积不能达到平方米． （4）解：设米， 米， ， 当时，米， ，， 此时平方米， 当米，时，围成饲养场面积的最大值为平方米． 故答案为：． 20．（1）解：根据题意得， 则，； （2）解：设秒后，， 则，， 在中，得， 解得：，， 故经过秒或2秒后，线段的长为； （3）解：不能． 理由：设经过秒，的面积等于， 则，， ∴， 即， ， 该方程无实数解． 的面积不会等于． 学科网（北京）股份有限公司 $