湖南省永州市第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

《数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A 0 B A AC ABD BCD 1.C【详解】因为复数：=2+ 2、i i1-i) -2- 1+i 1+-2- 1+i)0-i) 51 所以复数z在复平面内所对应的点为22 该点位于第三象限 2.A【详解】已知|a=b曰a-b1,则|a-b12=(a-万)2=a2-2a.b+2 因为ab=a-b,所以a=a,b2b12,|a-bP=aP,则可得： lap-ap-2a.b+BP, 又因为a5,所以2a-66P,即a万-b a-而.6=a6-乃2，将a.万=)代入上式可得： (a-)-6=号16-6=号6月 设ā-B与5的夹角为0,0≤0≤元，根据向量的夹角公式cos0= (a-B).B a-b1×b1 因为a6a-,a-)-6=-6,所以cos0= 6 1 1b×b12 因为0≤0≤元，且cos日=- 2,所以6=2π 3 ā-五与5的夹角为 2π 3.C 【分析】根据题意，利用余弦定理可得b,再利用三角形面积计算公式即可得出答案. 【详解】解：由c2=(a-b)+6,可得c2=d2+b2-2b+6,又c=27, 3, 由余弦定理：c2=a2+b2-2 ab cos C=a2+b2+ab, 所以：a2+b2-2ab+6=a2+b2+ab, 所以ab=2: 则se的smc2*55 22 4.D【详解】直线I,A为直线1外一点，所以过点A有且只有一条直线与1平行；过点A有无数个平面与1平行； 过点A有无数条直线与1垂直：过点A有且只有一个平面与l垂直， 所以②③错误，①④正确， 5.A【解析】由两直线平行或重合的方程系数关系，求出m,进而求出平行时m的值，即可求出结论. 答案第1页，共11页 【详解】当1Wl2或重合时，-2+(-1)=0，m2-m-2=0, m=2或=-1， 当m=2时，☑：x-y+2=0,4:x-y+2=0,此时4 当m=-1时，1：2x+y+1=0,12:2x+y+1=0,此时，12重合， 当11l2时，=2. 6.B【详解】由题意得，直线xsin0+5v+2=0的斜率为k=-sin9∈[ 33, 设直线的倾斜角为a,则tama-5,S ,又a∈[0，)， 3’3 所以ae0 6. 7【详程1银因为-a-i-行n小-2a写引令，s久，解特 =号+，ke乙，即函数的对称中心坐标为[仔+，0小，k∈乙，所以0=号+r,太eZ,把f(y的图像向右 平移9(p>0)个单位得到g()-=2mxp》,因为y=8(国为偶函数，所以e胥+k:x么e2,解得 =若-长志z,因为90，所以p君长x灰en,所以0-尽合经后k-大 6 keZ且么eN,所以当女-keN时p-4-若： 8.A【详解】因函数f(x)=xlog,(W4x2+1+2x)-cosx的定义域为R, f(-x)-f(x)=[(-x)log (4+1-2x)-cosx]-[xlog(4+1+2x)-cosx =0log.(N4r2+1-2x)-1g,(r+1+2w】=x1o3:N4r+1-2x04r2+1+2 =0, 所以函数f(x)为偶函数； 当x∈(0,2)时，因t=√4x2+1+2x单调递增，而y=log,t在定义域内也为增， 故由同增异减原则，y=log(W4x2+1+2x)也为增， y=xlog,(W4x2+1+2.x)也为增，又因y=-c0sx在x∈(0,2)上为增函数，故f(x)在(0,2)上为增函数. 又因a=f0e3=f08,3头0<091<09°-1,1<1o8,3<21<18,4<2 由l1og:3-1og,4=g3_ls4_g32-1g2-1g4 Ig2 1g3 1g2.1g3 答案第2页，共11页 因1g2:1g4<32,1g马=(g2y<0e3,故1<1og,4<1o,3<2, 2 由f(x)=xlg,(W4x2+1+2x)-c0sx在(0,2)上为增函数可得：f(0.91)<fIog,4)<f0g,3),即a>c>b 9.AC【详解】由题知， A中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中P是q的充要条件； B中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中卫是9的必要而不充分条件： C中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中P是q的充要条件： D中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中P是9的充分而不必要条件。 10.ABD【详解】由题意：事件A的样本点为：1,2,3,4，事件B的样本点为{2,4,6,8，事件C的样本点为{2,3,5,7} 所以4UB的样本点为：L234.68号，所以P(U)-g,故A正确： 因为BUC的样本点为：{2,3,4,5,6,7,8}，所以BUC的样本点为1}，又AC的样本点为{2,3}，所以事件BUC与 AC互斥，故B正确； 因为BC的样本点为，所以P®-子，P(C)-,P(BC)-日 因为P(B)P(C)≠P(BC),所以事件B,C不相互独立，故C错误： 因为P(A)ABC的样本点为2，所以P(ABC)-专又P(A)P(②PC)日所以P(BC)=P(AP(B)P(C, 故D正确， 11.BCD【详解】A:因为外接球直径为2R=+1中，所以R=5, 2 故错误： B:w=e1子11合孩正确： C:AD/IBC且4D⊥AB,BC⊥AB,dM-e=AB=V瓦，故正确： D:平面BCC/I平面ADDA,所以截面交平面BCC为BC,设截面交平面ADDA为NE,所以E//BC, 因为若N为AD的中点，所以E为DD中点，连接NE,CE,则梯形BEC,的面积即为所求， 由题意得W=5,BC=万，CB=5,西=5，所以梯形BwzC,的高为 2 2 D A B E 2 2D正确， 12.3 答案第3页，共11页 【详解】pA=(-3,-1,1),故PA=i, 所以co(②A,列 PA.i-222 p4园11x√2-11， 设直线PA与直线1所成的角为0， 则c0-(列语。可背mg: 11 因此点P4,32)到直线1的距离为P45in0=x3工-3. 11 故答案为：3 13.√2或V6/√6或√5 【详解】 E b 由已知，得阶A=2x1xcos号-1或面亚-2x1kca写}-1， 3 设AA=d,因为EA.AA=0,AA·AF=0,,而EF=EA+AA+AF, EF=(EA'+AA+AF)=EA+AA+AF2+2EA.AA+244.AF+2EA.AF 当EAAF=1时，可得1+d2+4+2=9,解得：d=√2： 当EAAF=-1时，可得1+d+4-2=9,解得d=√6 综上可知，即公垂线段AA的长为√2或√6 故答案为：√2或√6 14. [0,1]或[-1,0]或[-1,1]（三个写其中任何一个都可以） 【详解】设区间[a,b]为函数f(x)=x的共鸣区间， 因为f(x)=x3在[a,b]上单调递增，且在[a,b]上的值域也为[a,b], 所以 f(a=ama=a /b)=b,即 b=b'因为a<b, a=-1 a=-1 a=0 解得6=0，或6-1，或6=1 答案第4页，共11页 所以f(x)的共鸣区间为[0，]或[-1,0]或[-1,1]（三个写其中任何一个都可以）： 因为函数f(x)=√x+1-k在[-1，+o)上单调递增， 若存在共鸣区间ab]a≥-，则a=a. f(b)=b' 即f(x)=x,也就是方程√x+1-k=x在[-1，+)上有两个不等的实根， 令√x+1=t(t≥0)，得x=t2-1, 所以t2-t-1+k=0在[0，+o)上有两个不等的实根， 令g(t)=t2-t-1+k,所以g(t)在[0，+∞)上有两个不等的实根， A1->0,解得1sk<子 则 -1+k≥0 则实数天的取值范围是1<子》 故答案为：[0,1]或[-1,0]或[-1,1]（三个写其中任何一个都可以)： 15.【详解】(1)因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0, 转化为斜寂武片多共斜车为好· 所以直线AB的斜率为k=-2, 又VABC的顶点B(5,1),所以直线AB的方程为y-1=-2(x-5), 即2x+y-11=0. 6分 (2)若选①：角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0, 「2x+y-11=0 x=3 由 x+2-13=0,解得 =5所以点A(35). 设点B关于x+2y-13=0的对称点B(x。,), 。+5+2×。+1-13=0, 2 63 y0=5 答案第5页，共11页 又点B3729) 5、39 在直线AC上，所以ko-克= 2 5’5 3711 3- 5 所以直线AC的方程为y-5= 1x-3),即2x-1y+49=0 13分 若选②：BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0, [2x+y-11=0,6 由 (2x-y-5=0,解得 =所以点A〔4,3). x=4, 设点C(x,),则BC的中点在直线2x-y-5=0上， 所以2x5+生1+出-5=0，即2x-y-1=0, 22 所以点C在直线2x-y-1=0上， 因为AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0且AB边上的高一定过点C 所以点C在直线x-2y-5=0上， x-2y-5=0,解得 由 2x-y-1=0, x=1即点C(-13), y=-3, 所以。=3-36 -1-451 所以直线4C的方程为y-3=K-4),即6r-5y-9=0 13分 16.(1)游戏一获胜的概率为号，游戏二获胜的概率为号 (3)m的所有可能取值为5,6,7 【详解】（1)设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间 为21=1,2,3,4,5}，则n(2)=5, 国为4-机9，防以4)-2，刊-烈园-青以交京的车为 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间22={(x,y)川x,y∈1,2,3,4,5}， 则n(22)=25,因为B={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5}, 所以心列4，所以P四去所以游戏=获脂的夜字为 4 25 、4分 (2)游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为5×4=20， 21 =3时，样本的个数为2，所以所求概率为 一； 2010 7分 答案第6页，共11页 (3)设M=“先玩游戏二，获得书券”，N=“先玩游戏三，获得书券”， 则M=ABCUABCUABC,且ABC,ABC,ABC互斥，A,B,C相互独立， 所以P(M)=P(ABCUABC UABC P (ABC )P BC+PBC) =P(A)P(B)[1-P(C)]+[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) 号凯Pq]e)品品P 又N=ACBUACBUACB,且ACB,ACB,ACB互斥， 所以P(N)=P(ACBUACB UACB)=P ACB +P ACB+PACB) =P(A)P(C)1-P(B)]+[1-P(A)]P(C)P(B)+P(A)P(C)P(B) egPo)若+PO若PC 11分 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则P(N)>P(M), 所以会PqS+贵q.即P9 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 J (（12) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) 十 (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) 5 (5,) (5,2) (5,3) (5,4) 当m=189时，C=品若合士 44 当m=5,67时，P(C)=20>25,满足题意， 因此m的所有可能取值为5,6,7 15分 17.【详解】(1)根据题意可得f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.3分 (2)f(x)为奇函数，证明如下： 答案第7页，共11页 因为f(x)定义域为R,关于原点对称： 且f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),即f(x)+f(-x)=0, 故∫(x)为奇函数 7分 (3)根据题意，f(3)=f(2+1)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f()=6, 即f(1)=2,故f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=4, 又f(x)为单调性函数，故f(x)为R上的单调增函数； 则f(x2)-f(2x-1)<4等价于f(2)+f(2x+1)<f(2),f(x2+2x+1)<f(2), 故2+2x+1<2,kx2+2.x-1<0对于任意x∈ 23恒成立， .11分 即<=日-)对红[3恒废立 e[32,又y=r-2在6 单调递减，在(1,2]单调递增， 故当t=1时，y取得最小值为-1，故k<-1,即k的取值范围为(-0，-1)15分 18.【详解】(1)E,F分别为AD,BC中点， .EF //AB//CD,EAE=FB=2, 又M为AB中点，且AB⊥OE,AB⊥BF, 易得AOAM=AFBM=OA=FB=AE=2, 连接CE,DF,交于点N,连接N, D 由题设，易知四边形CDEF为平行四边形， .N为DF中点， AMI/EF,A是OE的中点， B M为OF中点， ∴.MNIIOD,又MNc平面EMC,ODt平面EMC, ∴.ODW平面EMC; 6分 (2).EF/lAB/ICD .EF⊥DE,EF⊥AE, 又DEC平面CEF,AEC平面AEF, .∠DEA即为二面角A-EF-C的平面角， D .∠DEA=60°： 答案第8页，共1] P 取AE,BF中点O,P,连接OD,OP,如图， ∠nA-60,0g号z-1, .OD2=4+1-4c0s60=3, ∴.OD2+OE2=DE2, .OD⊥AE, .OPl/EF, .OP⊥DE,OP⊥AE,又AE,DEC平面AED,AE∩DE=E, .OP⊥平面AED, :OD,AEC平面AED, .∴.OD⊥OP,AE⊥OP, 9分 则以O为坐标原点，OA,OP,OD方向为x,y,2轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， B 则D0,0,V5),E(-1,0,0),F(-1,4,0),C(0,4V3), 设M1,m,0)(0≤m≤4)，则DE=（-1,0,-5),EM=(2,m,0)，EC=(1,4,5), EM2=2x+%=0 设平面EMC的法向量乃=(X,y,乙)，则 EC.2=x+4y+V5g=0 令片=2，则5=，名="8，」 3.h=m,2,3、 12分 :直线DE与平面EMC所成的角为60°， .sim60°=cos(DE,= DE.n 8 5 D 2Vm2+4+m-8) 2,解得m=1或m=3, 3 ∴存在点M,当AM=1或AM=3时，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°： 设平面CEF的法向量=(2y,),又EC=1,4,V3),FC=(1,0,V3), ∫EC.n,=x2+4y2+V322=0 FC.2,=x2+V3z2=0 答案第9页，共11页 令2=1，则x,=-3,为=0,2=（5,0,1)： .14分 a卡 4W3 _1 2x84 4V5 时(2动小讲对同还分 3 1 3 综上所述：平面MC与平面ECF所成角的余弦值为} 17分 19. 【详解】(1)因为(B,C:D)=>0,所以点D在线段BC上，如图①所示， 2 B 6 图① 又-2，所以由(ac小-细品品台 得sin∠BAD=sin∠CAD, 因为0°<∠BAC<180°，且0<∠BAD<180°，0°<∠CAD<180°， 所以∠BAD+∠CAD=I80°（舍）或∠BAD=∠CAD, 所以AD为∠BAC的角平分线， 又∠BAC=60°，所以∠BAD=∠CAD=30°， 在△ACD中，AD=V3+1, 由余弦定理得CD'=AC+AD'-2 ACAD cos.∠CAD =4+(W5+1-4V3+cos30=2,故CDl=V2, 因为AC=AD+Dc,则AC=(AD+DC=AD+DC+2AD.DC, 即(3+1)'+2+2AD.DC=4,故AD.DC=-5-1 8分 (2)记∠CAM=,①因为(B,C,M,D)=-2<0, 所以点M在线段BC的延长线上，如图②所示， A B M 图② 答案第10页，共11页数学·练习 时间：120分钟满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意） 1.已知复数2=2+，i为虚数单位，则复数：在复平面内所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知非零向量ā，满足|a曰b曰ā-l,则a-b与i的夹角为() A.晋 B于 c牙 D. 3 3.在A4BC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若C2-(Q-b+6,C=,则AMBC的面积是() A.3 B.3 c.3v5 D.3V5 2 2 4.已知直线1，A为直线1外一点，下列叙述中正确的是（) ①过点A有且只有一条直线与1平行； ②过点A有且只有一个平面与I平行； ③过点A有且只有一条直线与I垂直； ④过点A有且只有一个平面与I垂直、 ①④ 8.①③ C.②④ D.②③ 5.已知直线：2x-my+1=0,2:(m-1)x-y+m=0,则m=-1是4川2的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.直线xsin0+√3y+2=0的倾斜角的取值范围是(） A[后 π2π B. 33 C.U) D. 61 o1ur 7.已知f(x)=sinx-3cosx的一个对称中心为(8,0)，把f(x)的图像向右平移p(p>0)个单位后，可以得到偶函数 y=g(x)的图象，则日-的最小值为（冫 A晋 B. c. D.交 6 8.已知f(x)=xog,(W4x+1+2x)-cosx,且a=f(log,b=f(0.9,c=fog,4,则a,b,c的大小关系为G A.a>b>c B.b>axc C.c>b>a D.a>c>b 二、多选题（每小题6分，共18分，每个题目至少有两个选项符合题意) 9.设计如图所示的四个电路图，卫：“开关S闭合”，9：“灯泡L亮”，则P是9的充要条件的电路图是() n3业h4 10.一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面 上的数字，得到样本空间为2={1,2,3,4,5,6,7,8，记事件A=“得到的点数不大于4”，记事件B=“得到的点数为偶 数”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是() A.P() B.事件BUC与AC互斥 C.A,B,C两两独立 P(4BC)=P(4)P(B)P(C) 11.如图，在正方体ABCD-ABGD中，棱长为1，点M为棱AD上的点，N为棱AD上的点.下列说法正确的是 D C A.正方体ABCD-ABCD外接球的半径为√5 A B.三棱维N-BCM的体积为名 C.点M到BC的距离为√2 D.若N为AD的中点，则过N,B,G三点的正方体的截的积刀8 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知直线1过定点A(1,2,3),向量n=(1,0,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线的距离为 13.如图，两条异面直线a、b所成的角为号在直线a,b上分别取点4，E和点4，下，使M1Q,且A41b.已 知AE=1,AF=2,EF=3,线段AA的长为 14.若区间[a,b]满足：①函数f(x)在[a,b]上有定义且单调；②函数f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],则称区间[a,b] 试卷第2页，共4页 为函数f(x)的共鸣区间.请完成：(1)写出函数f(x)=x的一个共鸣区间一；(2)若函数f(x)=Vx+1-k 存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 四、解答题 15.(13分)已知△ABC的顶点B(5,1),AB边上的高所在的直线方程为x-2y-5=0. (I)求直线AB的方程、 (②)在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. ①角A的平分线所在的直线方程为x+2y-13=0: ②BC边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0. ,求直线AC的方程、 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 16.（15分)为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏 各玩一次且结果互不影响连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 颜色和数量 (红球编号为“1,2,3”，白球编号为“4,5”) 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为m获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当m=3时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大 17.(15分)定义在R上的函数f(x)是单调函数，满足f3)=6,且f(x+)=f(x)+f(y),(xy∈R)、 (1)求f0)的值； (2)判断f(x)的奇偶性，并证明； (3)若对于任意x∈ 都有f(o2)-f(-2x-1)<4成立，求实数k的取值范围. 18.(17分)如图，已知正方形ABCD的边长为4，瓦F分别为AD,BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使 二面角A-EF-C的大小为60°，点M在线段AB上， D 0 (I)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O,求OA的长，并证明直线OD/1/平面EMC: (2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时平面EMC与平面ECF所成角的余弦 值，若不存在，说明理由. 19.(17分)已知s是直线P2外一点，·点MN在直线P2上（点M、N与点P、2任一点均不重合).我们称如 ©© 下操作为“由s点对P№施以视角运算”：若点M在线段P四上，记(P,Q:M)= SPsin∠PsM gsin,∠Msg； 若点M在线段P2外， 记(P,2M）= Ssin∠Ms0'并且记(P,e:M,w)=.2: SPsin∠P.SM 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c:已 (P,2;N) 知b=2,A=60°，D是射线BC上一点，现由A点对BC施以视角运算，得到(B,C:D后2 (I)若AD=V3+1,求AD.DC的值： (2)射线BC上的点M满足(B,C,M,D)=-2. ①求LCAM: ②求AM+16AD的最小值。