精品解析：云南省昆明市盘龙区财大附中（天祥中学）2025-2026学年上学期开学考九年级数学试题

初2026届九年级秋季学期假期作业反馈 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6”是必然事件 B. 调查全国中学生心理健康现状，用全面调查 C. 明天降雨的概率为，表示明天有半天都在降雨 D. 了解一批电视机的使用寿命，用抽样调查 9. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 10. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 11. 关于的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 开口向下 12. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 13. 已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 14. 下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 15. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 17. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 18. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 19. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解关于x的方程： （1）； （2）． 21. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 22. 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组时，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． （1）解方程，求m的值； （2）在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，求此抛物线的解析式． 23. 如图，在矩形中，，．为对角线，E，F分别是，的中点，交对角线于点O． （1）求证：． （2）点G是对角线上的点，，求的长． 24. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求代数式的值． 26. 已知是常数，函数，记． （1）若，，求的值； （2）若，，比较与的大小． 27. 已知二次函数（的实数） （1）二次函数图象的对称轴是______． （2）当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2026届九年级秋季学期假期作业反馈 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 4. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 5. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 6. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：A． 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后问题可求解． 【详解】解：设该方程另一个根为t，则根据题意得： ， 解得：； 故选B． 8. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6”是必然事件 B. 调查全国中学生心理健康现状，用全面调查 C. 明天降雨的概率为，表示明天有半天都在降雨 D. 了解一批电视机的使用寿命，用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，抽样调查、全面调查的概念，掌握随机事件、必然事件，抽样调查、全面调查的概念进行辨析是关键． 随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件； 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件； 抽样调查：它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法； 全面调查：对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式； 根据上述概念逐一辨析即可． 【详解】解：A、“掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是6”是随机事件，故原选项错误，不符合题意； B、调查全国中学生心理健康现状，用抽样调查，故原选项错误，不符合题意； C、明天降雨的概率为，表示明天有可能会降雨，故原选项错误，不符合题意； D、了解一批电视机的使用寿命，用抽样调查，该选项正确，符合题意； 故选：D ． 9. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 10. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 随的增大而增大 C. 它的图象与轴交于点 D. 它的图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数值，一次函数图象经过的象限，根据解析式可得增减性和函数经过的象限，再求出当时和当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴随的增大而减小，它的图象经过第二，三、四象限，故B、D结论错误； 当时，，当时，， ∴当时，，它的图象与轴交于点，故A结论错误，C结论正确； 故选：C． 11. 关于的图象，下列叙述正确的是（　　） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 开口向下 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为，对称轴直线为直线，故选项A、B错误，不符合题意； ， 抛物线的开口向上，有最小值为3，且当时，随增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意， 故选：C． 12. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 13. 已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，得出其对称轴和函数图象开口方向，然后利用二次函数的增减性即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，且二次函数的图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 14. 下列一元二次方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D. 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 15. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或；   故选： B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 由菱形的面积公式，即可计算． 【详解】解：，， 菱形的面积 故答案为：． 17. 若关于的方程是一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 18. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 19. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为 故答案为：10 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解关于x的方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： 或 解得：， 21. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】（1）的长为米． （2） 解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． 【小问2详解】 略 22. 阅读下面材料，体会其中的数学思想方法 “整体思想”是数学学习中的一种重要思想方法．解方程组时，若时，若直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，则原方程组可化简为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． 请你类比以上思想方法，解决下列问题． （1）解方程，求m的值； （2）在（1）的前提下取m的值代入，若抛物线与x轴有唯一的公共点，求此抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数与x轴交点情况，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握整体换元法． （1）令，利用整体换元法将变形为，求出的值，进而求出m的值，即可解题； （2）根据抛物线与x轴有唯一的公共点，得到，将m的值代入求出c的值，即可解题． 【小问1详解】 解：令， 则变形为， 整理得， 解得， 即， 解得； 【小问2详解】 解：抛物线与x轴有唯一的公共点， ， ， ， 解得， 抛物线的解析式为． 23. 如图，在矩形中，，．为对角线，E，F分别是，的中点，交对角线于点O． （1）求证：． （2）点G是对角线上的点，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）1或4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理： （1）先由矩形的性质得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明； （2）先由矩形的性质得到＝，，，则，证明四边形是矩形，得到，由全等三角形的性质得到，，再由直角三角形斜边中线的性质得到，则或，即的长为或． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴＝，，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴为、中点 ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴的长为或． 24. 2025年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，影片通过粒子水墨技术、动态水墨渲染引擎等技术，将传统水墨画意境融入动画，打造出兼具古典神韵与现代视觉冲击力的场景，形成独特的文化辨识度，向全球展示了“既古老又充满活力的中国形象”． 影片将封神神话中的角色（如哪吒、敖丙）赋予现代价值观，使传统文化符号与当代人民心理形成共振．某文创店果断订购了印有“哪吒”图案和“敖丙”图案的两种书签．经统计，订购30张“哪吒”书签与20张“敖丙”书签，成本共计430元；而订购45张“哪吒”书签和25张“敖丙”书签，则需花费605元． （1）求“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是多少元？ （2）该文创店计划购进“哪吒”、“敖丙”两种书签共90张， “哪吒”种书签的购进数量不超过“敖丙”种书签数量，已知“哪吒”、“敖丙”两种书签的销售单价分别为15元和12元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9、8元 （2）当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买“哪吒”书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张，设这批书签全部售出后获利W元，可以得到所获利润与购买“哪吒”书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【小问1详解】 解：设“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是x、y元， 由题意知： ， 解得， 答：“哪吒”、“敖丙”两种书签每张的进价分别是9元，8元． 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”书签m张，“敖丙”书签张， 由题意知：， 解得：， 设这批书签全部售出后获利W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，，W有最大值，元． 答：当购进“哪吒”书签40张，“敖丙”书签50张时，获得最大利润，最大利润是440元． 25. 请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）8 （3）2028 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即． ； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 26. 已知是常数，函数，记． （1）若，，求的值； （2）若，，比较与的大小． 【答案】（1）的值为； （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入函数得， ， ∴的值为； 【小问2详解】 解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 27. 已知二次函数（的实数） （1）二次函数图象的对称轴是______． （2）当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式代入可得； （2）①根据平移可得，，关于对称轴对称，可得，求出的值，再代入当时的二次函数的解析式求出的值即可； ②根据点到轴的距离小于等于，确定的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线为且开口向上，当时随值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可； 【小问1详解】 解：∵二次函数（的实数）， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 ①当时，二次函数为， ∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于， ∴抛物线的图象开口向上，， ∴顶点处有最小值：当时，， 顶点处有最大值：当时，， 当时，， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 当，时，需满足，则， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴，即， ∴或， ∴解得， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，函数的最值问题，不等式（组）的应用等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $