11.3 乘法公式 易错重难点同步备课-2025-2026学年八年级上册数学（华东师大版2024）

11.3乘法公式 【题型1】判断能否用平方差公式计算 1. 知识点 平方差公式的结构特征:两个二项式相乘,需满足“一项完全相同,另一项互为相反数”,即形式为(为相同项,与为相反项)。 公式中、可表示具体数字、单项式(如、)或多项式(如、)。 2. 考点 识别符合平方差公式结构的多项式乘法(如判断、是否可用公式)。 排除不符合结构的式子(如、,无完全相同项或相反项)。 3. 易错点 忽略符号判断:误将认为可用平方差公式(实际两项均为相反项,应为)。 忽略系数差异:误将认为可用平方差公式(相同项系数不同,无完全相同项)。 4. 解题技巧 第一步:将两个二项式的各项按同一字母降幂排列(如整理为)。 第二步:标记“相同项”(如)和“相反项”(如与),若仅存在一组相同项和一组相反项,则可用平方差公式。 【例题1】.(2024-2025•惠山区期中)下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( ) A.(x+y)( y﹣x) B.(﹣a+b)(a﹣b) C.( x+2)(2+x) D.( x﹣2)( x+1) 【变式题1-1】.(2024-2025•巨野县期末)下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( ) A.(﹣x+3)(﹣x﹣3) B. C.(﹣x+y)(x﹣y) D.(a2﹣b)(a+b2) 【变式题1-2】.(2024-2025•榆中县期中)下列整式乘法中,可以运用平方差公式计算的是( ) A.(a+b)(b﹣a) B.(a﹣b)(b﹣a) C.(a+b)(﹣a﹣b) D.(2a+b)(a﹣2b) 【变式题1-3】.(2024-2025•江阴市期末)下列各式中,可以用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)2 B.(x﹣1)(x﹣2) C.(x+1)(x﹣1) D.(﹣x+1)(x﹣1) 【题型2】利用平方差公式进行简便运算 1. 知识点 平方差公式的凑整应用:将接近整十、整百、整千的数变形为的形式(如)。 连续平方差的应用:如。 2. 考点 整数的简便计算 含字母的凑整计算 3.易错点 凑整时数值错误:如误凑为(正确应为)。 连续运算时漏步骤:如误算为后停止,需按题目要求计算最终结果。 4. 解题技巧 观察式子特征:若两个数的和与差可凑整,优先用平方差(如)。 连续应用公式:当式子出现、等时,可多次套用平方差公式简化(如)。 【例题2】.(2024-2025•青白江区期末)用简便方法计算202 198,变形正确的是( ) A.2002+2 200 2+22 B.2002﹣2 200 2+22 C.2022﹣22 D.2002﹣22 【变式题2-1】.(2024-2025•渭城区校级月考)用乘法公式进行简便运算: (1)1012+992; (2)30002﹣2998 3002. 【变式题2-2】.(2024-2025•太康县期中)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“102 98”的讨论片段,请你仔细阅读,并完成相应的任务. 小明:102 98=(100+2) 98=100 98+2 98=9800+196=9996; 小军:我认为小明的计算方法比直接计算简便,但是计算量还是有些大,可以改进如下: 102 98=(100+2) (100﹣2)=1002﹣22=10000﹣4=9996. 张老师认为,小明和小军的做法都正确且简便,但计算原理不同. 任务:(1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律:a(b+c)= ;小军进行简便计算的原理为乘法公式: . (2)选择一种较为简便的方法,完成下列计算: ①29 31; ②20232﹣2022 2024. 【变式题2-3】.(2024-2025•莘县校级月考)如图所示:从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形,然后将剩余部分拼成一个长方形. (1)上述操作能验证的等式是 . A.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2 B.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) C.a2+ab=a(a+b) (2)已知4a2﹣b2=24,2a+b=6,则2a﹣b= . (3)应用所得的公式计算:20252﹣2024 2026. (4)应用所得的公式计算:. 【题型3】判断能否用完全平方公式计算 1. 知识点 完全平方公式的结构特征:左边为“两数和(或差)的平方”,即或;右边为“三项式”,即(首平方、尾平方,二倍乘积放中央)。 公式中、可表示单项式或多项式(如、,需将多项式视为一个整体)。 2. 考点 识别符合完全平方公式的式子(如、)。 排除不符合结构的式子(如、,非两数和/差的平方)。 3. 易错点 混淆“和平方”与“差平方”:误将认为是(忽略中间项)。 忽略多项式整体:误将拆分为(正确应为)。 4. 解题技巧 看左边形式:若式子为“(单项式/多项式)\pm (单项式/多项式)”的平方,则可用完全平方公式。 验右边结构:展开后需有三项,且首尾两项为平方项(均为正),中间项为二倍乘积(符号与左边一致)。 【例题3】.(2024-2025•普陀区校级月考)下列多项式中可以用完全平方公式计算的是( ) A.(a﹣2b)(2a﹣b) B.(a﹣2b)(﹣2b﹣a) C.(﹣a﹣2b)(﹣2b+a) D.(a﹣2b)(2b﹣a) 【变式题3-1】.(2024-2025•道县期中)(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.运用完全平方公式计算(2x﹣1)2,则公式中的2ab是( ) A.﹣4x B.4x C.﹣2x D.2x 【变式题3-2】.自编两个可以利用完全平方公式计算的题,并与同学交流解题过程. 【变式题3-3】.(2024-2025•山亭区期中)下列各式利用完全平方公式计算正确的是( ) A.(x+3)2=x2+9 B.(﹣2a+b)2=4a2+4ab+b2 C.(a﹣2b)2=a2﹣2ab+4b2 D.(x)2=x2﹣x 【题型4】利用完全平方公式进行计算 1. 知识点 完全平方和公式:;完全平方差公式:。 含负号和系数的展开:如,。 2. 考点 直接应用公式展开(如、)。 含多层括号的完全平方计算(如)。 3. 易错点 中间项漏乘2:如误算为(正确应为)。 系数平方错误:如误算为(正确应为)。 负号处理错误:如误算为(正确应为,平方后结果为正)。 4. 解题技巧 口诀辅助:“首平方,尾平方,二倍乘积放中央,符号跟着和差走”(和为正,差为负)。 分步展开:若含多项式,先将其视为一个整体(如),再继续展开。 【例题4】.(2024-2025•磁县期末)小江将(2021x+2022)2展开后得到,小华将(2022x﹣2021)2展开后得到,若两人计算过程无误,则c1﹣c2的值为 . 【变式题4-1】.(2024-2025•吉林月考)用简便算法计算. (1)20242﹣2025 2023; (2)4+4 196+982. 【变式题4-2】.(2024-2025•高州市期中)应用完全平方公式进行简便计算:1.232+2 1.23 2.77+2.772. 【变式题4-3】.(2024-2025•安徽月考)用简便方法计算: (1)2.1 31.4+62 3.14+0.17 314; (2)20232﹣4046 2022+20222. 【题型5】完全平方式中的字母系数问题 1. 知识点 完全平方式的结构:多项式()是完全平方式,需满足:①是完全平方数(如);②是完全平方数(如);③(中间项为二倍乘积)。 常见形式:如是完全平方式,求;是完全平方式,求。 2. 考点 根据完全平方式的结构特征求字母系数(含正负两种情况)。 多项式含两个字母时的系数求解(如)。 3. 易错点 漏考虑正负情况:如是完全平方式,误算(忽略,正确应为)。 系数平方错误:如是完全平方式,误算(正确应为)。 4. 解题技巧 三步法:①将多项式的首项化为“(某式) ”(如);②将尾项化为“(某式) ”(如);③根据中间项=首项底数尾项底数,列方程求系数(如,验证符号后求)。 【例题5】.(2024-2025•章丘区期中)若4y2﹣(m+2)y+16可以配成一个完全平方公式,则m的值为( ) A.﹣18 B. 18 C.14 D.14或﹣18 【变式题5-1】.(2024-2025•宣城期末)若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式,则m的值为 . 【变式题5-2】.(2024-2025•滑县期末)在多项式16x2+1添加一个单项式,使得到的多项式能运用完全平方公式,则这个单项式为 . 【变式题5-3】.(2024-2025•新郑市月考)若多项式9x2﹣(a+1)xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式,则a的值是( ) A.25 B.23 C.25或﹣23 D.﹣25或23 【题型6】利用乘法公式求代数式的最值 1. 知识点 原理:完全平方数具有非负性(),通过配方将代数式化为“完全平方+常数”的形式,当完全平方项为0时,代数式取得最值(常数项)。 常见形式:如,最小值为1;,最大值为4。 2. 考点 对代数式进行配方(结合完全平方公式)。 求代数式的最大/最小值及对应自变量的值。 3. 易错点 配方时常数项计算错误:如配方时,误算为(正确应为)。 符号错误:如配方时,误提系数为(正确,但若漏加1则错误)。 4. 解题技巧 配方步骤:①将二次项系数化为1(若不为1,提取系数,如);②在括号内加“一次项系数一半的平方”,同时减回该值(如);③整理为“完全平方+常数”形式,判断最值(二次项系数正,有最小值;负,有最大值)。 【例题6】.(2024-2025•张店区期中)如图,爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道: 形如a2 2ab+b2的式子称为完全平方式 小颖思考,如果一个多项式不是完全平方式,我们对其作如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,那么是否可以由此解决一些新的问题.若借助小颖的思考,可以求得多项式﹣2x2﹣8x+5的最大值,则该最大值为( ) A.﹣13 B.﹣5 C.5 D.13 【变式题6-1】.(2024-2025•北京校级开学)当x= 时,﹣(x+2)2+2012有最 值(填“大”或“小”)是 . 【变式题6-2】.(2024-2025•宁波校级自主招生)已知实数x、y满足x2+xy+y2=1,则x2﹣xy+y2的最大值是 ,最小值是 . 【变式题6-3】.(2024-2025•巴中期末)把代数式通过配方得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性解决问题,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用,如利用配方法,求a2+6a+8的最小值. 解:a2+6a+8=a2+6a+32﹣32+8=(a+3)2﹣1,因为不论a取何值,(a+3)2总是非负数,即(a+3)2≥0,所以当a=﹣3时,(a+3)2取最小值0,(a+3)2﹣1有最小值﹣1. 所以当a=﹣3时,a2+6a+8有最小值﹣1. 根据上述材料,解答下列问题: (1)将x2﹣4x+5变形为(x﹣m)2+n的形式 ,则x2﹣4x+5的最小值为 ; (2)已知a2+b2﹣6a﹣8b+25=0,求2a﹣b的值. 【题型7】完全平方公式“知二求一” 1. 知识点 完全平方公式的核心变形: ① ; ② ; ③ 。 已知“与ab”“与ab”“与”中的任意两项,可求第三项。 2. 考点 已知,,求或。 已知,,求mn 3.易错点 变形公式记错 代入数值计算错误 4. 解题技巧 明确“已知量”和“未知量”:先列出已知条件,再根据未知量选择对应变形公式(如求,已知和$ab$,选)。 验证结果:计算后可反向代入公式验证(如求出,可验证是否与已知一致)。 【例题7】.(2024-2025•淮阳区期末)图①是一个长为2m,宽为2n的长方形纸片,将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形,然后拼成图②所示的一个大正方形. (1)用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积: 方法一:S 小正方形= ; 方法二:S小正方形= ; (2)(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系为 ; (3)应用(2)中发现的关系式解决问题:若x+y=8,xy=15,求x﹣y的值. 【变式题7-1】.(2024-2025•太谷区期末)图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能有效地表现一些代数中数的关系,而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题,“以数解形”、“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合. 【知识生成】 用两种不同方法计算同一图形的面积,可以得到一个等式,如图1,由大正方形的面积可得等量关系式为(a+b)2=a2+2ab+b2;如图2是用长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按照图3拼成一个正方形. (1)观察图2和图3,可得(a﹣b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式: ; 【知识迁移】 (2)已知a+b=7,,求(a﹣b)2的值; (3)若a+b=25,a2+b2=337,求ab的值; 【拓展应用】 (4)若x满足(2025﹣x)2+(x﹣2015)2=72,则(2025﹣x)(x﹣2015)的值为 . 【变式题7-2】.(2024-2025•本溪期末)数学课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片.A种纸片是边长为a的正方形,b纸片是边长为b的正方形,c种纸片是长为a宽为b的长方形.现在用a种纸片一张,b纸片一张,c纸片两张拼成如图2的正方形,观察图2可得出三个代数式:(a+b)2,a2+b2,ab. (1)写出三个代数式之间的等量关系; (2)根据(1)中的等量关系解决如下问题: ①已知:a+b=6,a2+b2=14,求ab的值; ②已知(x﹣2024)2+(x﹣2026)2=10,求(x﹣2025)2的值. 【变式题7-3】.(2024-2025•包河区校级期末)用两种不同方法计算同一图形的面积,可以得到一个等式,如图1,是用长为a,宽为b(a>b)的四个相同的长方形拼成的一个大正方形. (1)用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积,可以得到(a﹣b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式: ; 利用上面所得的结论解答:已知a﹣b=5,,求a+b的值. (2)类似地,用两种不同的方法计算同一个几何体的体积,也可以得到一个等式, ①如图2,观察大正方体分割,可以得到等式:(a+b)3= . ②利用上面所得的结论解答:a+b=6,ab=7,求a3+b3的值. 【题型8】平方差公式的几何背景(面积验证) 1. 知识点 几何意义:边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积(),可拼成一个长为、宽为的长方形(面积),故。 常见图形:大正方形挖去小正方形后剪拼成长方形(参考文档中图1、图2形式)。 2. 考点 通过图形面积推导平方差公式(如写出两种阴影面积表达式,建立等式)。 利用图形边长关系计算面积(如已知拼成长方形的长和宽,求原正方形边长)。 3. 易错点 图形边长识别错误:如误将拼成长方形的长认为是(正确应为)。 面积计算漏项:如计算大正方形面积时,漏加或漏减小正方形面积。 4. 解题技巧 两种方法算面积:第一步,计算原图形(大正方形减小小正方形)的面积;第二步,计算剪拼后图形(长方形)的面积;第三步,令两者相等,得出平方差公式。 结合已知求边长:若已知面积关系(如,),可利用公式求,再联立求、。 【例题8】.(2024-2025•北票市期末)如图①,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形,通过计算图①、图②中阴影部分的面积,可以得到的代数恒等式为( ) A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) B.a(a﹣b)=a2﹣ab C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 【变式题8-1】.(2024-2025•雅安期末)如图,大正方形与小正方形的面积之差是8,则阴影部分的面积是( ) A.8 B.4 C.2 D.1 【变式题8-2】.(2024-2025•竞秀区期中)某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后,构造了如图的四种图形,想用“等面积法”来验证“平方差公式”: (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 ;(填序号) (2)【应用】利用“平方差公式”计算:20262﹣2022 2030; (3)【拓展】计算:. 【变式题8-3】.(2024-2025•锦江区期末)【基于教材】 (1)如图1,在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形,分别表示图1、图2中阴影部分的面积,可以得到的等式是 ; 【知识迁移】 (2)为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神,成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案,其中阴影部分种植番茄.若a+b,ab,求种植番茄的面积; 【拓展应用】 (3)将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等.若四边形EFGH和四边形PGND的面积之和为20,阴影部分的面积为16,求长方形纸片AMHP的面积. 【题型9】完全平方公式的几何背景(面积验证) 1. 知识点 几何意义1(和平方):边长为的大正方形面积,可拆分为边长为的正方形、边长为的正方形,以及两个长宽的长方形,面积和为,故。 几何意义2(差平方):边长为的小正方形面积,可表示为边长为的正方形减去两个长宽的长方形,再加上边长为的正方形(补回多减的部分),即,故。 2. 考点 通过大正方形面积的两种表示推导完全平方公式。 利用图形面积关系求未知量(如已知大正方形面积和小正方形面积,求长方形面积)。 3. 易错点 拆分图形漏项:如计算时,漏加两个长方形的面积(误算为)。 差平方图形理解错误:误将的面积表示为(忽略中间重叠部分)。 4. 解题技巧 画图辅助:根据题意画出大正方形、小正方形和长方形,标注边长,再分别计算总面积和各部分面积和。 建立等式:若图形面积有等量关系(如阴影部分面积=大正方形面积-空白部分面积),可通过等式求解未知量(如已知,,求)。 【例题9】.(2024-2025•青阳县期末)现有甲、乙两个正方形纸片,将甲、乙并列放置后得到图1,已知点H为AE的中点,连接DH、FH,将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为8,图2的阴影部分面积为6,则图1的阴影部分面积为( ) A.3 B.19 C.21 D.28 【变式题9-1】.(2024-2025•淮阳区期末)如图,两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=8,ab=12,则阴影部分的面积为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 【变式题9-2】.(2024-2025•崂山区校级月考)现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图1的图形,用四个相同的小长方形拼成图2的图形,请认真观察图形,解答下列问题: (1)根据图中条件,请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式:(用含a、b的代数式表示出来); 图1表示: ;图2表示: ; (2)根据上面的解题思路与方法,解决下列问题: ①若x+y=8,x2+y2=40,求xy的值; ②请直接写出下列问题答案:若2m+3n=5,mn=1,则2m﹣3n= ; (3)如图3,点C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,设AB=7,两正方形的面积和S1+S2=16,求图中阴影部分面积. 【变式题9-3】.(2024-2025•渠县校级三模)【探索发现】 数学活动课上,老师准备了如图1的一个长为4b,宽为a(a>b)的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形. (1)图2中的阴影部分正方形的边长是 (用含a,b的代数式表示); (2)观察图1,图2,请写出(a+b)2,(a﹣b)2,ab之间的等量关系是: ; 【解决问题】 (3)若(x+y)2=28,xy=3,且x>y,则x﹣y= ; 【实际应用】 (4)学校计划用一块梯形区域开展科技节活动,如图3所示.已知AC⊥BD于点O,AO=OB,DO=OC.计划在 AOD和 BOC区域内展示无人机和机器人表演,在 AOB和 DOC区域内分别是主舞台和观众,经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米,AC=20米,求主舞台和观众区的面积和. 【题型10】乘法公式与新定义问题 1. 知识点 新定义本质:以平方差公式或完全平方公式为基础,定义新数(如“和谐数”:能表示为两个连续奇数平方差的数,)。 解题关键:将新定义转化为乘法公式的形式,再结合公式计算。 2. 考点 理解新定义并转化为数学式子(如判断某数是否为“神秘数”,计算“和谐数”的和)。 结合不等式求范围(如求不超过2024的“和谐数”个数)。 3. 易错点 新定义理解错误:如误将“连续偶数平方差”认为是“和谐数”(需严格按定义中的“连续奇数”)。 公式应用错误:如计算时,漏算中间项(正确应为)。 4. 解题技巧 第一步:精读定义,写出新数的数学表达式(如“神秘数”:,即4的奇数倍)。 第二步:结合公式计算或判断(如判断24是否为“神秘数”,令,看是否为整数)。 第三步:按题目要求求解(如求范围、求和、计数)。 【例题10】.(2024-2025•金溪县校级期中)定义:对于依次排列的多项式x+a,x+b,x+c,(a,b,c,是常数),当它们满足(x+b)2﹣(x+a)(x+c)=M,且M为常数时,则称a,b,c是一组完美数,M是该组完美数的完美因子.例如:对于多项式x+1,x+3,x+5,因为(x+3)2﹣(x+1)(x+5)=4,所以1,3,5是一组完美数,4是该组完美数的完美因子. (1)已知2,4,6是一组完美数,求该组完美数的完美因子M; (2)当a,b,c之间满足什么数量关系时,它们是一组完美数,并说明理由. 【变式题10-1】.(2024-2025•新吴区期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义一种新运算:.. (1) ; (2)对于有理数x、y,若x+y=10,xy=22. ①求的值; ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置,其中点B、C、G在同一条直线上,点E在边CD上,连接BD、BF.若AD=x,AB=nx,FG=y,EF=ny,图中阴影部分的面积为45,求n的值. 【变式题10-2】.(2024-2025•成安县期末)如果一个正整数能够表示为两个连续的偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42.因此4,12,20这三个数都是神秘数. (1)28和2012都是“神秘数”吗?为什么? (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k为非负整数).由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么? (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是4的倍数吗?为什么? 【变式题10-3】.(2024-2025•慈利县期末)定义:若多项式mx+a,mx+b,mx+c满足(mx+b)2﹣(mx+a)(mx+c)=n(其中a<b<c,m,n是常数,且m≠0),则称多项式mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”,常数n叫做多项式mx+a,mx+b,mx+c的“和谐值”.例如多项式3x+1,3x+2,3x+3满足(3x+2)2﹣(3x+1)(3x+3)=1,那么多项式3x+1,3x+2,3x+3 叫做“和谐多项式群”,常数1叫做多项式3x+1,3x+2,3x+3的“和谐值”. (1)试判定多项式2x﹣3,2x+1,2x+4是否是“和谐多项式群”?若是,求出“和谐值”;若不是,请说明理由; (2)若多项式mx+a,mx+b,mx+c为“和谐多项式群”(其中a<b<c,m,n是常数,且m≠0),“和谐值”为n. ①试说明a,b,c满足的数量关系; ②设S=4n,试说明:S=a2﹣2ac+c2; (3)x﹣3,x﹣p,x﹣q为“和谐多项式群”,p,q满足p>q且p>3(p,q为常数),“和谐值”为q2﹣6,求出所有符合条件的p,q的值. 【题型11】乘法公式有关的阅读理解题 【例题11】.(2024-2025•赣榆区校级月考)有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答下面的问题. 例:若x=6789 6786,y=6788 6787,试比较x,y的大小. 解:设6788=a, 则x=(a+1)(a﹣2)=a2﹣a﹣2,y=a(a﹣1)=a2﹣a, ∵x﹣y=(a2﹣a﹣2)﹣(a2﹣a)=﹣2<0, ∴x<y. 请利用上面的方法解答下列问题: 若x=2024 2028﹣2025 2027,y=2025 2029﹣2026 2028,试比较x,y的大小. 【变式题11-1】.(2024-2025•洪泽区校级月考)阅读材料后解决问题: 小明遇到下面一个问题: 计算(2+1)(22+1)(24+1). 经过观察,小明发现如果将原式进行适当变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题,具体解法如下:(2+1)(22+1)(24+1)(24﹣1)(24+1)=28﹣1; 请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题: (1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)= . (2)(3+1)(32+1)(34+1)= . (3)化简:(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8). 【变式题11-2】.(2024-2025•市南区校级期中)【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中,任意交换其中两个字母的位置,当字母的取值均不相等,且都不为0时,代数式的值不变,这样的式子叫做对称式. 【特例感知】 代数式m+n+p中任意两个字母交换位置,可得到代数式n+m+p,p+n+m,m+p+n,因为n+m+p=p+n+m=m+p+n,所以m+n+p是对称式.而交换式子m﹣n中字母m,n的位置,得到代数式n﹣m,因为m﹣n≠n﹣m,所以m﹣n不是对称式. 【问题解决】阅读以上材料,解答下面的问题: (1)下列代数式中是对称式的有 (填序号); ①2m•2n•2p;②[(﹣2)m]n;③;④(2m﹣n)2;⑤﹣(m﹣n)2. (2)若关于m,n的代数式k(m﹣n)2﹣km2+n2为对称式,则k的值为 ; (3)在(2)的条件下,已知对称式k(m﹣n)2+km2﹣n2=﹣10,且mn=1,求m﹣n的值. 【变式题11-3】.(2024-2025•南山区校级期末)阅读材料:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部. 它有如下特点: ①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似,例如计算: (2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i;(3+i)i=3i+i2=3i﹣1. ②若两个复数,它们的实部和虚部分别相等,则称这两个复数相等;若它们的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数共轭;如1+2i的共轭复数为1﹣2i. (1)填空:①(2+i)(2﹣i)= ;②(2+i)2= ; (2)若a+bi是(1+2i)2的共轭复数,求(b﹣a)2的值; (3)已知(a+i)(b+i)=1﹣3i,求(a2+b2)(i+i2+i3+i4+…+i2025)的值. 同步练习 一.选择题(共4小题) 1.因式分解“16m2﹣ ”得(4m+5n)(4m﹣5n),则“ ”是( ) A.16 B.﹣16n2 C.25n2 D.﹣25n2 2.已知实数a、b、c,满足a2+b2=3ab=c,则下列结论中错误的是( ) A.若c=0,则a=b=c B.若a=b=c,则c=0 C.若c=3,则a+b D.若c≠0,则3 3.下列计算结果正确的是( ) A.x2+x2=x4 B.(x﹣1)2=x2﹣1 C.(﹣n2)3=﹣n6 D.a12 a6=a2 4.现有甲、乙两个正方形纸片,将甲、乙并列放置后得到图1,已知点H为AE的中点,连接DH、FH,将乙纸片放到甲的内部得到图2,已知甲、乙两个正方形边长之和为8,图2的阴影部分面积为6,则图1的阴影部分面积为( ) A.3 B.19 C.21 D.28 二.填空题(共4小题) 5.若m2+n2=12,mn=3,则(m﹣n)2的值为 . 6.已知x+y=5,xy=3,则x2+y2= . 7.已知实数a,b满足a2=2b+7,b2=2a+7,且a≠b,则a+b的值为 . 8.如图,由4个完全相同的小长方形围成一个大正方形.大正方形的面积为64,中间空缺小正方形的面积为16,则1个小长方形的面积为 . 三.解答题(共7小题) 9.4(x+1)2﹣(2x+5)(2x﹣5) 10.简便计算: (1)1022; (2)5002﹣498 502. 11.若x+y=6,且(x+2)(y+2)=23. (1)求xy的值; (2)求x2+6xy+y2的值. 12.如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形(如图2所示). (1)上述操作能验证的公式是 (请选择正确的一个). A.a2+ab=a(a+b) B.a2﹣b2=(a﹣b)(a+b) C.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2 (2)请应用上面的公式完成下列各题: ①若4a2﹣b2=24,2a+b=6,求2a﹣b的值. ②计算:162﹣152+142﹣132+122﹣112+…+22﹣1. 13.综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2进行适当的变形,可以解决很多的数学问题,例如:若a+b=2,ab=1,求a2+b2的值. 解:因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=(a+b)2﹣2ab. 又因为a+b=2,ab=1,所以a2+b2=22﹣2=2. 【探究实践】 (1)若a﹣b=5,a2+b2=53,求ab的值; 【拓展应用】 (2)为构建“五育并举”的教育体系,培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人,某学校在校园内开辟了劳动教育基地.如图,校园内有两块相邻的正方形场地ABCD、CEFG(DC>GC,B、C、E三点在一条直线上,边GC与边DC在一条直线上),它们的面积和为208m2,边长和(BC+CE)为20m,学校计划在阴影部分( DBG和 DGF)处摆放花卉,其余地方分配给各班作为种植基地,请求出摆放花卉场地的面积. 14.有一系列等式: 1 2 3 4+1=52=(12+3 1+1)2 2 3 4 5+1=112=(22+3 2+1)2 3 4 5 6+1=192=(32+3 3+1)2 4 5 6 7+1=292=(42+3 4+1)2 … (1)根据你的观察、归纳、发现的规律,写出8 9 10 11+1的结果 (2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一个数的平方,并予以证明. 15.学习整式乘法时,老师拿出三种型号卡片,如图1. (1)利用多项式与多项式相乘的法则,计算:(a+2b)(a+b)= ; (2)选取1张A型卡片,4张C型卡片,则应取 张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形,此新的正方形的边长是 (用含a,b的代数式表示); (3)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图,并剪出中间正方形作为第四种D型卡片,由此可检验的等量关系为 ; (4)选取1张D型卡片,3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内,已知NP的长度固定不变,MN的长度可以变化,且MN≠0.图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为S1,S2,若S1﹣S2=3b2,则a与b有什么关系?请说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $ 11.3乘法公式 【题型1】判断能否用平方差公式计算 1. 知识点 平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，需满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，即形式为（为相同项，与为相反项）。 公式中、可表示具体数字、单项式（如、）或多项式（如、）。 2. 考点 识别符合平方差公式结构的多项式乘法（如判断、是否可用公式）。 排除不符合结构的式子（如、，无完全相同项或相反项）。 3. 易错点 忽略符号判断：误将认为可用平方差公式（实际两项均为相反项，应为）。 忽略系数差异：误将认为可用平方差公式（相同项系数不同，无完全相同项）。 4. 解题技巧 第一步：将两个二项式的各项按同一字母降幂排列（如整理为）。 第二步：标记“相同项”（如）和“相反项”（如与），若仅存在一组相同项和一组相反项，则可用平方差公式。 【例题1】．（2024-2025•惠山区期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（ y﹣x） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（ x+2）（2+x） D．（ x﹣2）（ x+1） 【答案】A 【分析】关键平方差公式逐个判断即可． 【解答】解：A、（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、（x+2）（2+x）＝（x+2）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、（x﹣2）（x+1）不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 【变式题1-1】．（2024-2025•巨野县期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B． C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 【答案】A 【分析】用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，能理解公式的特点是解此题的关键，此题是一道基础题，难度不是很大． 【变式题1-2】．（2024-2025•榆中县期中）下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（b﹣a） B．（a﹣b）（b﹣a） C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（2a+b）（a﹣2b） 【答案】A 【分析】根据平方差公式对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，能利用平方差公式进行计算，故选项A符合题意； B．（a﹣b）（b﹣a）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2，不能利用平方差公式进行计算，故选项B不符合题意； C．（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）＝﹣（a+b）2，不能利用平方差公式进行计算，故选项C不符合题意； D．（2a+b）（a﹣2b）利用平方差公式进行计算，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•江阴市期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）2 B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x﹣1） D．（﹣x+1）（x﹣1） 【答案】C 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【解答】解：（x+1）2不是两个数的和与这两个数的差相乘，则A不符合题意， （x﹣1）（x﹣2）不是两个数的和与这两个数的差相乘，则B不符合题意， （x+1）（x﹣1）是两个数的和与这两个数的差相乘，则C符合题意， （﹣x+1）（x﹣1）＝﹣（x﹣1）（x﹣1），它不是两个数的和与这两个数的差相乘，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键． 【题型2】利用平方差公式进行简便运算 1. 知识点 平方差公式的凑整应用：将接近整十、整百、整千的数变形为的形式（如）。 连续平方差的应用：如。 2. 考点 整数的简便计算 含字母的凑整计算 3.易错点 凑整时数值错误：如误凑为（正确应为）。 连续运算时漏步骤：如误算为后停止，需按题目要求计算最终结果。 4. 解题技巧 观察式子特征：若两个数的和与差可凑整，优先用平方差（如）。 连续应用公式：当式子出现、等时，可多次套用平方差公式简化（如）。 【例题2】．（2024-2025•青白江区期末）用简便方法计算202×198，变形正确的是（　　） A．2002+2×200×2+22 B．2002﹣2×200×2+22 C．2022﹣22 D．2002﹣22 【答案】D 【分析】根据平方差公式进行变形即可． 【解答】解：202×198 ＝（200+2）×（200﹣2） ＝2002﹣22． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•渭城区校级月考）用乘法公式进行简便运算： （1）1012+992； （2）30002﹣2998×3002． 【答案】（1）20002； （2）4． 【分析】（1）将原式变形为（100+1）2+（100﹣1）2，利用完全平方公式展开计算； （2）将原式变形为30002﹣（3000﹣2）×（3000+2），利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）1012+992 ＝（100+1）2+（100﹣1）2 ＝1002+2×1×100+12+1002﹣2×1×100+12 ＝10000+200+1+10000﹣200+1 ＝20002． （2）30002﹣2998×3002 ＝30002﹣（3000﹣2）×（3000+2） ＝30002﹣（30002﹣4） ＝30002﹣30002+4 ＝4． 【点评】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025••太康县期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“102×98”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：102×98＝（100+2）×98＝100×98+2×98＝9800+196＝9996； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： 102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务：（1）小明进行简便计算的原理为乘法分配律：a（b+c）＝　ab+ac　 ；小军进行简便计算的原理为乘法公式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 ． （2）选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①29×31； ②20232﹣2022×2024． 【答案】（1）ab+ac，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）①899；②1． 【分析】（1）根据乘法分配律和平方差公式填空即可；（2）分别利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）小明进行简便计算的原理为乘法分配律：a（b+c）＝ab+ac；小军进行简便计算的原理为乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：ab+ac，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）①29×31 ＝（30﹣1）×（30+1） ＝302﹣12 ＝900﹣1 ＝899； ②20232﹣2022×2024 ＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1） ＝20232﹣（20232﹣12） ＝20232﹣20232+1 ＝1． 【点评】本题考查了平方差公式和单项式乘多项式，熟练掌握整式的相关性质和公式是关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•莘县校级月考）如图所示：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． （1）上述操作能验证的等式是 　B　 ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 　4　 ． （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． （4）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）B； （2）4； （3）1； （4）． 【分析】（1）因为图1的面积＝a2﹣b2，图2的面积＝（a+b）（a﹣b），得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即可得到答案； （2）根据平方差公式得到（2a+b）（2a﹣b）＝24，继而得到2a﹣b＝24÷6＝4； （3）利用平方差公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）∵图1的面积＝a2﹣b2，图2的面积＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）∵4a2﹣b2＝24， ∴（2a+b）（2a﹣b）＝24， ∵2a+b＝6， ∴2a﹣b＝24÷6＝4， 故答案为：4； （3）20252﹣2024×2026 ＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1； （4） ． 【点评】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【题型3】判断能否用完全平方公式计算 1. 知识点 完全平方公式的结构特征：左边为“两数和（或差）的平方”，即或；右边为“三项式”，即（首平方、尾平方，二倍乘积放中央）。 公式中、可表示单项式或多项式（如、，需将多项式视为一个整体）。 2. 考点 识别符合完全平方公式的式子（如、）。 排除不符合结构的式子（如、，非两数和/差的平方）。 3. 易错点 混淆“和平方”与“差平方”：误将认为是（忽略中间项）。 忽略多项式整体：误将拆分为（正确应为）。 4. 解题技巧 看左边形式：若式子为“（单项式/多项式）\pm （单项式/多项式）”的平方，则可用完全平方公式。 验右边结构：展开后需有三项，且首尾两项为平方项（均为正），中间项为二倍乘积（符号与左边一致）。 【例题3】．（2024-2025•普陀区校级月考）下列多项式中可以用完全平方公式计算的是（　　） A．（a﹣2b）（2a﹣b） B．（a﹣2b）（﹣2b﹣a） C．（﹣a﹣2b）（﹣2b+a） D．（a﹣2b）（2b﹣a） 【答案】D 【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，得出能用完全平方公式计算必须两式相等，分别观察得出即可． 【解答】解：A．（a﹣2b）（2a﹣b），两个多项式不相等，所以不能利用完全平方公式计算，故此选项错误； B．（a﹣2b）（﹣2b﹣a）＝﹣（a﹣2b）（a+2b）＝﹣（a2﹣4b2），两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误； C．（﹣a﹣2b）（﹣2b+a）＝﹣（a+2b）（a﹣2b）＝﹣（a2﹣4b2），两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误； D．（a﹣2b）（2b﹣a）＝﹣（a﹣2b）（a﹣2b），两式可以利用完全平方公式计算，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式的应用，正确应用两公式是解题关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•道县期中）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．运用完全平方公式计算（2x﹣1）2，则公式中的2ab是（　　） A．﹣4x B．4x C．﹣2x D．2x 【答案】B 【分析】将（2x﹣1）2展开，然后对照（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即可得到2ab对应的代数式． 【解答】解：∵（2x﹣1）2＝4x2﹣2×2x+1，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴2ab＝4x， 故选：B． 【点评】本题考查完全平方公式，解答本题的关键是明确完全平方公式的形式． 【变式题3-2】．自编两个可以利用完全平方公式计算的题，并与同学交流解题过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】①编一个直接利于完全平方公式计算的题目； ②已知两数之和与两数之积，求它们的平方和，可以使用完全平方公式公式和整体代入的方法计算． 【解答】①计算（a﹣2b）2． 解：原式＝a2﹣2×a×2b+（2b）2 ＝a2﹣4ab+4b2； ②已知a+b＝5，ab＝1，计算a2+b2的值． 解：∵a+b＝5，ab＝1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×1＝23． 【点评】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2）． 【变式题3-3】．（2024-2025•山亭区期中）下列各式利用完全平方公式计算正确的是（　　） A．（x+3）2＝x2+9 B．（﹣2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）2＝a2﹣2ab+4b2 D．（x）2＝x2﹣x 【答案】D 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【解答】解：A、原式＝x2+6x+9，不符合题意； B、原式＝4a2﹣4ab+b2，不符合题意； C、原式＝a2﹣4ab+4b2，不符合题意； D、原式＝x2﹣x，符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【题型4】利用完全平方公式进行计算 1. 知识点 完全平方和公式：；完全平方差公式：。 含负号和系数的展开：如，。 2. 考点 直接应用公式展开（如、）。 含多层括号的完全平方计算（如）。 3. 易错点 中间项漏乘2：如误算为（正确应为）。 系数平方错误：如误算为（正确应为）。 负号处理错误：如误算为（正确应为，平方后结果为正）。 4. 解题技巧 口诀辅助：“首平方，尾平方，二倍乘积放中央，符号跟着和差走”（和为正，差为负）。 分步展开：若含多项式，先将其视为一个整体（如），再继续展开。 【例题4】．（2024-2025••磁县期末）小江将（2021x+2022）2展开后得到，小华将（2022x﹣2021）2展开后得到，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为　4043　 ． 【答案】4043． 【分析】根据完全平方公式展开求出c1，c2，根据平方差公式求值即可． 【解答】解：∵（2021x+2022）2根据完全平方公式展开得到， ∴； ∵（2022x﹣2021）2根据完全平方公式展开得到， ∴， ∴ ＝（2022+2021）×（2022﹣2021） ＝4043． 故答案为：4043． 【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉公式的结构特点是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025••吉林月考）用简便算法计算． （1）20242﹣2025×2023； （2）4+4×196+982． 【答案】（1）1； （2）10392． 【分析】（1）先把原式变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先把原式变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1） ＝20242﹣（20242﹣12） ＝20242﹣20242+1 ＝1； （2）原式＝22+2×2×2×98+982 ＝22+2×2×98+982+2×2×98 ＝（2+98）2+2×2×98 ＝1002+4×（100﹣2） ＝10000+400﹣8 ＝10392． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•高州市期中）应用完全平方公式进行简便计算：1.232+2×1.23×2.77+2.772． 【答案】16． 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝（1.23+2.77）2 ＝42 ＝16． 【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•安徽月考）用简便方法计算： （1）2.1×31.4+62×3.14+0.17×314； （2）20232﹣4046×2022+20222． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）先将原式变形成含公因式3.14，再通过提公因式进行求解； （2）先将4046×2022变形成2×2023×2022，再运用完全平方公式进行计算． 【解答】解：（1）原式＝3.14×21+3.14×62+3.14×17 ＝3.14×（21+62+17） ＝3.14×100 ＝314； （2）原式＝20232﹣2×2023×2022+20222 ＝（2023﹣2022）2 ＝1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． 【题型5】完全平方式中的字母系数问题 1. 知识点 完全平方式的结构：多项式（）是完全平方式，需满足：①是完全平方数（如）；②是完全平方数（如）；③（中间项为二倍乘积）。 常见形式：如是完全平方式，求；是完全平方式，求。 2. 考点 根据完全平方式的结构特征求字母系数（含正负两种情况）。 多项式含两个字母时的系数求解（如）。 3. 易错点 漏考虑正负情况：如是完全平方式，误算（忽略，正确应为）。 系数平方错误：如是完全平方式，误算（正确应为）。 4. 解题技巧 三步法：①将多项式的首项化为“（某式）²”（如）；②将尾项化为“（某式）²”（如）；③根据中间项=首项底数尾项底数，列方程求系数（如，验证符号后求）。 【例题5】．（2024-2025•章丘区期中）若4y2﹣（m+2）y+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣18 B．±18 C．14 D．14或﹣18 【答案】D 【分析】根据完全平方公式可得﹣（m+2）y＝±2×2y×4，解得m的值即可． 【解答】解：∵4y2﹣（m+2）y+16可以配成一个完全平方公式， ∴﹣（m+2）y＝±2×2y×4， ∴m+2＝±16， 解得：m＝14或m＝﹣18， 故选：D． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•宣城期末）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　±16　 ． 【答案】±16． 【分析】根据完全平方公式的特征求解． 【解答】解：∵4y2﹣my+16＝（2y±4）2， ∴m＝±16， 故答案为：±16． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•滑县期末）在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 　±8x或64x4　 ． 【答案】±8x或64x4． 【分析】由16x2±8x+1＝（4x±1）2，64x4+16x2+1＝（8x2+1）2，作答即可． 【解答】解：∵16x2±8x+1＝（4x±1）2， ∴单项式为±8x； ∵64x4+16x2+1＝（8x2+1）2， ∴单项式为64x4； ∵，不是单项式； 故答案为：±8x或64x4． 【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式题5-3】．（2024-2025•新郑市月考）若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 【答案】D 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【解答】解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy， ∴a+1＝±24， ∴a＝﹣25或23． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方式．熟练掌握该知识点是关键． 【题型6】利用乘法公式求代数式的最值 1. 知识点 原理：完全平方数具有非负性（），通过配方将代数式化为“完全平方+常数”的形式，当完全平方项为0时，代数式取得最值（常数项）。 常见形式：如，最小值为1；，最大值为4。 2. 考点 对代数式进行配方（结合完全平方公式）。 求代数式的最大/最小值及对应自变量的值。 3. 易错点 配方时常数项计算错误：如配方时，误算为（正确应为）。 符号错误：如配方时，误提系数为（正确，但若漏加1则错误）。 4. 解题技巧 配方步骤：①将二次项系数化为1（若不为1，提取系数，如）；②在括号内加“一次项系数一半的平方”，同时减回该值（如）；③整理为“完全平方+常数”形式，判断最值（二次项系数正，有最小值；负，有最大值）。 【例题6】．（2024-2025••张店区期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式﹣2x2﹣8x+5的最大值，则该最大值为（　　） A．﹣13 B．﹣5 C．5 D．13 【答案】D 【分析】将﹣2x2﹣8x+5化为﹣2（x+2）2+13，即可求解． 【解答】解：原式＝﹣2（x2+4x+4）+13 ＝﹣2（x+2）2+13， ∴﹣2（x+2）2+13≤13，即﹣2x2﹣8x+5的最大值为13． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，正确进行计算是解题关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•北京校级开学）当x＝　﹣2　 时，﹣（x+2）2+2012有最　大　 值（填“大”或“小”）是　2012　 ． 【答案】﹣2；大；2012． 【分析】由（x+2）2≥0得到﹣（x+2）2+2012≤2012，即可解答． 【解答】解：∵﹣（x+2）2≤0， ∴﹣（x+2）2+2012≤2012， ∴当x+2＝0时，﹣（x+2）2+2012有最大值是2012， 此时，x＝﹣2， 故答案为：﹣2；大；2012． 【点评】本题考查完全平方公式，偶次幂的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•宁波校级自主招生）已知实数x、y满足x2+xy+y2＝1，则x2﹣xy+y2的最大值是　3　 ，最小值是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察可看出未知数的值没有直接给出，而是隐含在题中，我们需要对所求代数式进行整理然后求解． 【解答】解：设x2﹣xy+y2＝A x2﹣xy+y2＝A与x2+xy+y2＝1相加可以得到： 2（x2+y2）＝1+A （1） x2﹣xy+y2＝A与x2+xy+y2＝1相减得到： 2xy＝1﹣A （2） （1）+（2）×2得： 2（x2+2xy+y2）＝2（x+y）2＝3﹣A≥0 ∴A≤3， （1）﹣（2）×2得： 2（x﹣y）2＝3A﹣1≥0， ∴A． 综上：A≤3． 【点评】本题考查了完全平方公式，关键是设一个未知数，然后利用完全平方公式相加或相减，再根据平方数非负数的性质得出它的最大值和最小值． 【变式题6-3】．（2024-2025•巴中期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以当a＝﹣3时，（a+3）2取最小值0，（a+3）2﹣1有最小值﹣1． 所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将x2﹣4x+5变形为（x﹣m）2+n的形式　（x﹣2）2+1　 ，则x2﹣4x+5的最小值为　1　 ； （2）已知a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求2a﹣b的值． 【答案】（1）（x﹣2）2+1；1； （2）2． 【分析】（1）仿照题干所给示例作答即可； （2）a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0可化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，根据题意可知当a＝3时，a﹣3取最小值0，当b＝4时，b﹣4取最小值0，代入2a﹣b计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，x2﹣4x+5＝x2﹣4x+22﹣22+5＝（x﹣2）2+1， ∵不论x取何值，（x﹣2）2总是非负数，即（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2取最小值0，（x﹣2）2+1有最小值1． 故答案为：（x﹣2）2+1，1； （2）原式＝a2﹣6a+32﹣32+b2﹣8b+42﹣42+25 ＝（a﹣3）2+（b﹣4）2﹣32﹣42+25 ＝（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴（a﹣3）2＝0，（b﹣4）2＝0， ∵当a＝3时，a﹣3取最小值0，当b＝4时，b﹣4取最小值0， ∴a＝3，b＝4， ∴2a﹣b＝6﹣4＝2． 【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的定义是关键． 【题型7】完全平方公式“知二求一” 1. 知识点 完全平方公式的核心变形： ① ； ② ； ③ 。 已知“与ab”“与ab”“与”中的任意两项，可求第三项。 2. 考点 已知，，求或。 已知，，求mn 3.易错点 变形公式记错 代入数值计算错误 4. 解题技巧 明确“已知量”和“未知量”：先列出已知条件，再根据未知量选择对应变形公式（如求，已知和$ab$，选）。 验证结果：计算后可反向代入公式验证（如求出，可验证是否与已知一致）。 【例题7】．25．（2024-2025•淮阳区期末）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：S 小正方形＝　（m+n）2﹣4mn　 ； 方法二：S小正方形＝　（m﹣n）2　 ； （2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　 ； （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y＝8，xy＝15，求x﹣y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S＝（m+n）2﹣4mn； 方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2． （2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． （3）根据（2）的关系式代入计算即可求解． 【解答】解：（1）方法一：S小正方形＝（m+n）2﹣4mn． 方法二：S小正方形＝（m﹣n）2． （2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． （3）∵x+y＝8，xy＝15， ∴x﹣y＝±±2． 故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． 【点评】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形． 【变式题7-1】．（2024-2025•太谷区期末）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”、“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 【知识生成】 用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，由大正方形的面积可得等量关系式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2是用长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图3拼成一个正方形． （1）观察图2和图3，可得（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　 ； 【知识迁移】 （2）已知a+b＝7，，求（a﹣b）2的值； （3）若a+b＝25，a2+b2＝337，求ab的值； 【拓展应用】 （4）若x满足（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，则（2025﹣x）（x﹣2015）的值为　14　 ． 【答案】（1）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（2）36；（3）144；（4）14． 【分析】（1）一种方法是表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用a、b表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示即可得出答案； （2）把a+b＝7，代入（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，即可得到答案； （3）由a+b＝25，a2+b2＝337，（a+b）2＝a2+b2+2ab，进一步求解即可； （4）由（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，2025﹣x+x﹣2015＝10，再根据完全平方公式可得答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，阴影部分边长为：a﹣b， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，即（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． ∴它们的关系是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）由（1）题得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴； （3）∵a+b＝25，a2+b2＝337，（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴252＝337+2ab， 625＝337+2ab，． 2ab＝625﹣337， 解得：ab＝144； （4）∵（2025﹣x）2+（x﹣2015）2＝72，2025﹣x+x﹣2015＝10， ∴（2025﹣x+x﹣2015）2＝100， ∴（2025﹣x）2+（x﹣2015）2+2（2025﹣x）（x﹣2015）＝100， ∴（2025﹣x）（x﹣2015）＝14． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•本溪期末）数学课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片．A种纸片是边长为a的正方形，b纸片是边长为b的正方形，c种纸片是长为a宽为b的长方形．现在用a种纸片一张，b纸片一张，c纸片两张拼成如图2的正方形，观察图2可得出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab． （1）写出三个代数式之间的等量关系； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题： ①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值； ②已知（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝10，求（x﹣2025）2的值． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）①ab＝11；②（x﹣2025）2＝4． 【分析】（1）图2的面积可以表示为一个边长为（a+b）的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）①根据a+b＝6可得（a+b）2＝36，再根据（1）中的结论计算即可； ②设x﹣2025＝a，则x﹣2026＝a﹣1，x﹣2024＝a+1，根据（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝10，得出（a﹣1）2+（a+1）2＝10，求出a2＝4，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵图2是边长为（a+b）的正方形， ∴S＝（a+b）2， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴S＝a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）①∵a+b＝6， ∴（a+b）2＝62， 即a2+b2+2ab＝36， ∵a2+b2＝14， ∴ab＝11； ②设x﹣2025＝a， 则x﹣2026＝a﹣1，x﹣2024＝a+1， ∵（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝10， ∴（a﹣1）2+（a+1）2＝10， 解得：a2＝4， 即（x﹣2025）2＝4． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，（a±b）2＝a2±2ab+b2． 【变式题7-3】．（2024-2025•包河区校级期末）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个相同的长方形拼成的一个大正方形． （1）用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　 ； 利用上面所得的结论解答：已知a﹣b＝5，，求a+b的值． （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝　a3+3a2b+3ab2+b3　 ． ②利用上面所得的结论解答：a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值． 【答案】（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，6； （2）①a3+3a2b+3ab2+b3； ②90． 【分析】（1）根据题意，用两种不同方法计算出阴影部分的面积即可解决问题． （2）①用两种不同的方法计算出大正方体的体积即可解决问题． ②根据①中发现的结论即可解决问题． 【解答】解：（1）由图1可知， 小正方形的边长为a﹣b， 所以图1中阴影部分的面积可表示为：（a﹣b）2． 图1中大正方形的面积为（a+b）2，周围四个小长方形的面积之和为4ab， 所以图1中阴影部分的面积可表示为：（a+b）2﹣4ab， 由此可得， （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 因为a﹣b＝5，， 所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+11＝36， 所以a+b＝6（舍负）． 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （2）①由图2可知， 大正方体的体积可表示为：（a+b）3． 大正方体的体积还可表示为八个小长方体的体积之和：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3＝a3+3a2b+3ab2+b3， 所以（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3． 故答案为：a3+3a2b+3ab2+b3． ②因为a+b＝6，ab＝7， 所以a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝63﹣3×7×6＝90， 故a3+b3＝90． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景及认识立体图形，能用不同的方法求出同一个图形的面积或同一个几何体的体积是解题的关键． 【题型8】平方差公式的几何背景（面积验证） 1. 知识点 几何意义：边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积（），可拼成一个长为、宽为的长方形（面积），故。 常见图形：大正方形挖去小正方形后剪拼成长方形（参考文档中图1、图2形式）。 2. 考点 通过图形面积推导平方差公式（如写出两种阴影面积表达式，建立等式）。 利用图形边长关系计算面积（如已知拼成长方形的长和宽，求原正方形边长）。 3. 易错点 图形边长识别错误：如误将拼成长方形的长认为是（正确应为）。 面积计算漏项：如计算大正方形面积时，漏加或漏减小正方形面积。 4. 解题技巧 两种方法算面积：第一步，计算原图形（大正方形减小小正方形）的面积；第二步，计算剪拼后图形（长方形）的面积；第三步，令两者相等，得出平方差公式。 结合已知求边长：若已知面积关系（如，），可利用公式求，再联立求、。 【例题8】．（2024-2025•北票市期末）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】A 【分析】根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式． 【变式题8-1】．（2024-2025•雅安期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由题意得出AB2﹣BE2＝8，表示出，即可得出答案． 【解答】解：如图， ∵大正方形与小正方形的面积之差是8， ∴AB2﹣BE2＝8， 由图可知： S阴影 ＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了利用平方差公式求面积，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•竞秀区期中）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有　①③　 ；（填序号） （2）【应用】利用“平方差公式”计算：20262﹣2022×2030； （3）【拓展】计算：． 【答案】（1）①③； （2）16； （3）2． 【分析】（1）分别用代数式表示各个图形中阴影部分的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）配上因式2（1），然后连续利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）图①中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的右图是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积为a2﹣2ab+b2，右图是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，所以有a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，因此图②可以验证完全平方公式，不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的右图是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，右图阴影部分的面积为4ab，所以有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，因此图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的图形有图①③， 故答案为：①③； （2）原式＝20262﹣（2026﹣4）（2026+4） ＝20262﹣（20262﹣42） ＝20262﹣20262+42 ＝16； （3）原式＝2×（1）． ＝2×（1）（1）（1）（1）（1）（1） ＝2×（1）（1）（1）（1）（1） ＝2×（1）（1）（1）（1） ＝2×（1）（1）（1） ＝2×（1）（1） ＝2×（1） ＝2． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结果特征是正确解答的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•锦江区期末）【基于教材】 （1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； 【知识迁移】 （2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若a+b，ab，求种植番茄的面积； 【拓展应用】 （3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形EFGH和四边形PGND的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片AMHP的面积． 【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）； （3）12． 【分析】（1）用代数式表示图1、图2的面积即可； （2）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab求出a﹣b的值，再求阴影部分的面积即可； （3）设长方形AMHP的两边分别为m、n，用含有m、n的代数式表示正方形BMEQ的边长，正方形EFGH的边长，由条件可得m2+n2＝40，m2﹣n2＝32，求出m、n的值即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）∵a+b，ab， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab41， 即a﹣b＝1（取正值）， ∴图3中阴影部分的面积为a2﹣b2a（a﹣b）b（a﹣b） （a+b）（a﹣b） 1 ； （3）设长方形AMHP的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等， ∴正方形BMEQ的边长为， ∴正方形EFGH的边长为m， 又∵四边形EFGH和四边形PGND的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴（）2+（）2＝20，（2n+m+n）+（）2＝16， 即m2+n2＝40，m2﹣n2＝32， 解得m＝6，n＝2， ∴长方形纸片AMHP的面积mn＝12． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 【题型9】完全平方公式的几何背景（面积验证） 1. 知识点 几何意义1（和平方）：边长为的大正方形面积，可拆分为边长为的正方形、边长为的正方形，以及两个长宽的长方形，面积和为，故。 几何意义2（差平方）：边长为的小正方形面积，可表示为边长为的正方形减去两个长宽的长方形，再加上边长为的正方形（补回多减的部分），即，故。 2. 考点 通过大正方形面积的两种表示推导完全平方公式。 利用图形面积关系求未知量（如已知大正方形面积和小正方形面积，求长方形面积）。 3. 易错点 拆分图形漏项：如计算时，漏加两个长方形的面积（误算为）。 差平方图形理解错误：误将的面积表示为（忽略中间重叠部分）。 4. 解题技巧 画图辅助：根据题意画出大正方形、小正方形和长方形，标注边长，再分别计算总面积和各部分面积和。 建立等式：若图形面积有等量关系（如阴影部分面积=大正方形面积-空白部分面积），可通过等式求解未知量（如已知，，求）。 【例题9】．（2024-2025•青阳县期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形． 【变式题9-1】．（2024-2025••淮阳区期末）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝8，ab＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】阴影部分面积可以用边长为a的正方形面积的一半减去底为（a﹣b），高为b的三角形的面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得： 当a+b＝8，ab＝12时， ＝14． 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•崂山区校级月考）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ；图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　 ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值； ②请直接写出下列问题答案：若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝　±1　 ； （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①12；②±1； （3）． 【分析】（1）用两种方法分别用代数式表示图1、图2的面积即可； （2）①根据（x+y）2＝x2+2xy+y2代入计算即可； ②根据（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn代入计算即可； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则a+b＝7，a2+b2＝16，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，求出ab的值即可． 【解答】解：（1）图1组合体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图1的四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 图2大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四个空白长方形的面积为4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①∵x+y＝8， ∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64， ∵x2+y2＝40， ∴2xy+40＝64， 解得xy＝12； ②∵2m+3n＝5，mn＝1， ∴（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn＝25﹣24＝1， ∴2m﹣3n＝±1； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则a+b＝AC+BC＝AB＝7，a2+b2＝S1+S2＝16， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即49＝16+2ab， ∴ab， 即阴影部分的面积为． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•渠县校级三模）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是 　a﹣b　 （用含a，b的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　 ； 【解决问题】 （3）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＞y，则x﹣y＝ 　4　 ； 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面积和． 【答案】（1）a﹣b； （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）4； （4）116． 【分析】（1）根据图形即可求解； （2）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （3）利用（2）所得的等量关系解得即可； （4）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，可得a+b＝20，ab＝84，再利用完全平方公式计算即可求解． 【解答】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的边长为a﹣b， 故答案为：a﹣b； （2）大正方形的面积为（a+b）2， 小正方形的面积为（a﹣b）2， 长方形的面积为ab， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）由（2）可得，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵（x+y）2＝28，xy＝3， ∴28﹣（x﹣y）2＝4×3， ∴（x﹣y）2＝16， ∵x＞y， ∴x﹣y＞0， ∴x﹣y＝4， 故答案为：4； （4）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b， ∵AC＝20， ∴a+b＝20， ∴（a+b）2＝400， 即a2+b2+2ab＝400， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ∴， ∴2ab＝168， ∴a2+b2＝400﹣168＝232， ∴主舞台和观众区的面积和为． 【点评】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【题型10】乘法公式与新定义问题 1. 知识点 新定义本质：以平方差公式或完全平方公式为基础，定义新数（如“和谐数”：能表示为两个连续奇数平方差的数，）。 解题关键：将新定义转化为乘法公式的形式，再结合公式计算。 2. 考点 理解新定义并转化为数学式子（如判断某数是否为“神秘数”，计算“和谐数”的和）。 结合不等式求范围（如求不超过2024的“和谐数”个数）。 3. 易错点 新定义理解错误：如误将“连续偶数平方差”认为是“和谐数”（需严格按定义中的“连续奇数”）。 公式应用错误：如计算时，漏算中间项（正确应为）。 4. 解题技巧 第一步：精读定义，写出新数的数学表达式（如“神秘数”：，即4的奇数倍）。 第二步：结合公式计算或判断（如判断24是否为“神秘数”，令，看是否为整数）。 第三步：按题目要求求解（如求范围、求和、计数）。 【例题10】．（2024-2025•金溪县校级期中）定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，（a，b，c，是常数），当它们满足（x+b）2﹣（x+a）（x+c）＝M，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式x+1，x+3，x+5，因为（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． （1）已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； （2）当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由． 【答案】（1）4；（2）2b﹣a﹣c＝0，理由见解析． 【分析】（1）直接根据定义计算M的值； （2）根据定义化简计算，可得a，b，c之间满足的数量关系式． 【解答】解：（1）根据题意，得M＝（x+4）2﹣（x+2）（x+6） ＝x2+8x+16﹣（x+8x+12） ＝4； （2）2b﹣a﹣c＝0． 理由：假设a，b，c是完美数， 则（x+b）2﹣（x+a）（x+c）结果为常数， 原式＝x2+2bx+b2﹣[x2+（a+c）x+ac] ＝（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac， ∵结果为常数， ∴2b﹣a﹣c＝0． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•新吴区期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．． （1）　﹣4　 ； （2）对于有理数x、y，若x+y＝10，xy＝22． ①求的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边CD上，连接BD、BF．若AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】（1）﹣4； （2）①56；②2． 【分析】（1）根据所提供的运算方法进行计算即可； （2）①根据所提供的运算方法得出x2+y2，再根据（x+y）2﹣2xy代入计算即可； ②用代数式表示图形中阴影部分的面积，再将x+y＝10，xy＝22代入计算即可． 【解答】解：（1）原式＝12+（﹣1）2﹣2×3＝﹣4， 故答案为：﹣4； （2）①∵x+y＝10，xy＝22， ∴原式＝12+x2﹣1×（1﹣y2） ＝x2+y2 ＝（x+y）2﹣2xy ＝100﹣44 ＝56； ②如图，连接BE， S阴影部分＝S△BDE+S△CEF＝45， 即x（nx﹣y）y•ny＝45， ∴n（x2+y2）xy＝45， 也就是n[（x+y）2﹣2xy]xy＝45， ∵x+y＝10，xy＝22， ∴n×（102﹣2×22）22＝45， 解得n＝2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•成安县期末）如果一个正整数能够表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012都是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k为非负整数）．由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是4的倍数吗？为什么？ 【答案】（1）28和2012这两个数都是神秘数，详见解析； （2）这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数，详见解析； （3）两个连续奇数的平方差是4的倍数，详见解析． 【分析】（1）根据题意计算验证即可； （2）设这两个连续偶数构成的神秘数为x，得出x＝（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），化简即可得出结果； （3）设两个奇数为2n+1和2n﹣1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022， ∴28和2012这两个数都是神秘数； （2）设这两个连续偶数构成的神秘数为x， ∴x＝（2k+2）2﹣（2k）2 ＝4k2+8k+4﹣4k2 ＝8k+4 ＝4（2k+1）， ∴这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数． （3）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1（n≥1）， ∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝4×2n． ∴两个连续奇数的平方差是4的倍数． 【点评】题目主要考查完全平方公式，有理数的乘方运算，理解新定义的运算，列出代数式是解题关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•慈利县期末）定义：若多项式mx+a，mx+b，mx+c满足（mx+b）2﹣（mx+a）（mx+c）＝n（其中a＜b＜c，m，n是常数，且m≠0），则称多项式mx+a，mx+b，mx+c为“和谐多项式群”，常数n叫做多项式mx+a，mx+b，mx+c的“和谐值”．例如多项式3x+1，3x+2，3x+3满足（3x+2）2﹣（3x+1）（3x+3）＝1，那么多项式3x+1，3x+2，3x+3 叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式3x+1，3x+2，3x+3的“和谐值”． （1）试判定多项式2x﹣3，2x+1，2x+4是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； （2）若多项式mx+a，mx+b，mx+c为“和谐多项式群”（其中a＜b＜c，m，n是常数，且m≠0），“和谐值”为n． ①试说明a，b，c满足的数量关系； ②设S＝4n，试说明：S＝a2﹣2ac+c2； （3）x﹣3，x﹣p，x﹣q为“和谐多项式群”，p，q满足p＞q且p＞3（p，q为常数），“和谐值”为q2﹣6，求出所有符合条件的p，q的值． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）①2b＝a+c；②详见解析； （3）p，q． 【分析】（1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知n＝b2﹣ac，将①中2b＝a+c代入s＝4n求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【解答】解：（1）不是；理由如下： （2x+1）2﹣（2x﹣3）（2x+4）＝2x+13， ∴不是； （2）①由题意可知： （mx+b）2﹣（mx+a）（mx+c）＝m（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac， ∵mx+a，mx+b，mx+c为“和谐多项式群”， ∴2b﹣a﹣c＝0， ∴2b＝a+c； ②∵mx+a，mx+b，mx+c为“和谐多项式群”，“和谐值”为n， ∴n＝b2﹣ac， ∵2b＝a+c， ∴S＝4n＝4（b2﹣ac）＝a2﹣2ac+c2； （3）①当p＞q＞3时， 则（x﹣q）2﹣（x﹣p）（x﹣3）＝（3+p﹣2q）x+q2﹣3p， ∴3+p﹣2q＝0，q2﹣3p＝q2﹣6， ∴3p＝6， ∴P＝2，（舍）； ②当p＞3＞q时， （x﹣3）2﹣（x﹣p）（x﹣q）＝（p+q﹣6）x+9﹣pq， ∴p+q﹣6＝0， ∴9﹣pq＝q2﹣6， ∴p＝6﹣q， ∴9﹣（6﹣q）q＝q2﹣6， ∴，； 综上，p，q． 【点评】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型11】乘法公式有关的阅读理解题 【例题11】．（2024-2025•赣榆区校级月考）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小． 解：设6788＝a， 则x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a， ∵x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0， ∴x＜y． 请利用上面的方法解答下列问题： 若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028，试比较x，y的大小． 【答案】见试题解答内容 【分析】设2024＝a，可得x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3），y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4），再计算即可判断． 【解答】解：根据题意设2024＝a，2028＝a+4，2025＝a+1，2029＝a+5，2026＝a+2，2028＝a+4， 则x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3） ＝a2+4a﹣（a2+3a+a+3） ＝a2+4a﹣a2﹣3a﹣a﹣3 ＝﹣3， y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4） ＝（a2+5a+a+5）﹣（a2+4a+2a+8） ＝a2+5a+a+5﹣a2﹣4a﹣2a﹣8 ＝﹣3， ∴x＝y． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，平方差公式，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•洪泽区校级月考）阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算（2+1）（22+1）（24+1）． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（24﹣1）（24+1）＝28﹣1； 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 　216﹣1　 ． （2）（3+1）（32+1）（34+1）＝ 　　 ． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）． 【答案】（1）216﹣1；（2）；（3）． 【分析】（1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以（2﹣1），根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （3）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可． 【解答】解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 故答案为：216﹣1； （2）（3+1）（32+1）（34+1） ． 故答案为：； （3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8） ． 【点评】本题主要考查了平方差公式，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•市南区校级期中）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p＝p+n+m＝m+p+n，所以m+n+p是对称式．而交换式子m﹣n中字母m，n的位置，得到代数式n﹣m，因为m﹣n≠n﹣m，所以m﹣n不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： （1）下列代数式中是对称式的有　①②⑤　 （填序号）； ①2m•2n•2p；②[（﹣2）m]n；③；④（2m﹣n）2；⑤﹣（m﹣n）2． （2）若关于m，n的代数式k（m﹣n）2﹣km2+n2为对称式，则k的值为　﹣1　 ； （3）在（2）的条件下，已知对称式k（m﹣n）2+km2﹣n2＝﹣10，且mn＝1，求m﹣n的值． 【答案】（1）①②⑤；（2）﹣1；（3）±2． 【分析】（1）根据新定义逐项分析判断即可； （2）根据新定义得到k（m﹣n）2﹣km2+n2＝k（n﹣m）2﹣kn2+m2，整理可得（n2﹣m2）（k+1）＝0，继而得到k值； （3）将k＝﹣1代入k（m﹣n）2+km2﹣n2＝﹣10，整理可得m2+n2＝6，继而得到m﹣n的值． 【解答】解：（1）①∵2m•2n•2p＝2p•2n•2m， ∴①是对称式； ②∵[（﹣2）m]n＝[（﹣2）n]m， ∴②是对称式； ③∵， ∴③不是对称式； ④∵（2m﹣n）2≠（2n﹣m）2， ∴④不是对称式； ⑤∵﹣（m﹣n）2＝﹣（n﹣m）2， ∴⑤是对称式； 故答案为：①②⑤； （2）∵关于m，n的代数式k（m﹣n）2﹣km2+n2为对称式， ∴k（m﹣n）2﹣km2+n2＝k（n﹣m）2﹣kn2+m2， ∴k（m﹣n）2﹣k（n﹣m）2﹣km2+kn2+n2﹣m2＝0， ∴k（n2﹣m2）+（n2﹣m2）＝0，即（n2﹣m2）（k+1）＝0， ∴k＝﹣1． 故答案为：﹣1； （3）∵k＝﹣1， ∴﹣（m﹣n）2﹣m2﹣n2＝﹣10，即﹣m2+2mn﹣n2﹣m2﹣n2＝﹣10， ∴﹣2m2﹣2n2+2mn＝﹣10， ∴﹣2（m2+n2）＝﹣10﹣2mn， ∴m2+n2＝5+mn＝6， ∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝6﹣2＝4， ∴m﹣n＝±2． 【点评】本题考查了新定义背景下的完全平方公式的应用，理解新定义及熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025••南山区校级期末）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　5　 ；②（2+i）2＝　3+4i　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 【答案】（1）①5；②3+4i（2）（b﹣a）2＝1；（3）（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5i． 【分析】（1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，4个一组，从而可得答案． 【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5， ②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 故答案为：①5；②3+4i； （2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1； （3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3， 解得：ab＝2，a+b＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5， ∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0， i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506， ∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i， ∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，数字的变化，掌握完全平方公式的定义是关键． 同步练习 一．选择题（共4小题） 1．因式分解“16m2﹣Δ”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“Δ”是（　　） A．16 B．﹣16n2 C．25n2 D．﹣25n2 【答案】C 【分析】根据对应项相等即可求解． 【解答】解：因式分解“16m2﹣Δ”得（4m+5n）（4m﹣5n）， ∵（4m+5n）（4m﹣5n）＝（4m）2﹣（5n）2＝16m2﹣25n2， ∴“Δ”是25n2， 故选：C． 【点评】此题考查了平方差公式，用平方差公式展开，解题的关键是熟悉平方差公式． 2．已知实数a、b、c，满足a2+b2＝3ab＝c，则下列结论中错误的是（　　） A．若c＝0，则a＝b＝c B．若a＝b＝c，则c＝0 C．若c＝3，则a+b D．若c≠0，则3 【答案】C 【分析】（1）若c＝0，非负数的和为0，非负数各个是0，a＝0，b＝0，a＝b＝c＝0． （2）若a＝b＝c，a2+b2＝3ab＝c，2a2＝3a2＝a，这种情况下只能是a＝0，所以a＝b＝c＝0． （3）若c＝3，a2+b2＝3ab＝c＝3，ab＝1，根据完全平方公式得到，a+b，而不是a+b． （4）若c≠0，则a、b也不可能等于0，变形得到，已知条件a2+b2＝3ab，用3ab 代替a2+b2得到3． 【解答】解：（1）若c＝0， a2+b2＝0， a＝0，b＝0． a＝b＝c＝0． （2）若a＝b＝c， a2+b2＝3ab＝c， 2a2＝3a2＝a， a＝0， a＝b＝c＝0． （3）若c＝3， a2+b2＝3ab＝c＝3，ab＝1 （a+b）2﹣2ab＝3， （a+b）2＝3+2＝5， a+b， （4）若c≠0，则a、b也不等于0， 3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了非负数和为0，非负数都为0，完全平方公式灵活运用，平方根与算术平方根定义． 3．下列计算结果正确的是（　　） A．x2+x2＝x4 B．（x﹣1）2＝x2﹣1 C．（﹣n2）3＝﹣n6 D．a12÷a6＝a2 【答案】C 【分析】根据运算法则计算即可得到答案． 【解答】A．x2+x2＝2x2，2x2≠x4，选项计算错误，不符合题意； B． （x﹣1）2＝x2﹣2x+1，x2﹣2x+1≠x2﹣1，选项计算错误，不符合题意； C． （﹣n2）3＝﹣n6，选项计算正确，符合题意； D．a12÷a6＝a6，a6≠﹣n6，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，掌握相应的运算法则是关键． 4．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 【点评】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形． 二．填空题（共4小题） 5．若m2+n2＝12，mn＝3，则（m﹣n）2的值为　6　 ． 【答案】6． 【分析】将（m﹣n）2利用完全平方公式展开，再将m2+n2＝12，mn＝3代入计算即可． 【解答】解：若m2+n2＝12，mn＝3，则： ． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 6．已知x+y＝5，xy＝3，则x2+y2＝　19　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】将x+y＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入即可求出所求式子的值． 【解答】解：将x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25， 把xy＝3代入得：x2+y2＝19． 故答案为：19． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】先根据已知条件得到关于a、b的等式，再通过变形求出a+b的值． 【解答】解：已知a2＝2b+7，b2＝2a+7， 将两式相减可得：a2﹣b2＝（2b+7）﹣（2a+7）， 去括号得：a2﹣b2＝2b+7﹣2a﹣7， 合并同类项得：a2﹣b2＝2b﹣2a， 则（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）． 因为a≠b，所以a﹣b≠0，等式（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）两边同时除以（a﹣b）， 可得：a+b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题综合考查了平方差公式、整式的加减，解决本题的关键是运用平方差公式分解因式． 8．如图，由4个完全相同的小长方形围成一个大正方形．大正方形的面积为64，中间空缺小正方形的面积为16，则1个小长方形的面积为　12　 ． 【答案】12． 【分析】根据大正方形面积得到（a+b）2＝64，根据小正方形面积得到（a﹣b）2＝16，由此利用完全平方公式的变形求解即可． 【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∵大正方形的面积为64，中间空缺小正方形的面积为16， （a﹣b）2＝16，（a+b）2＝64， ∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48， ∴ab＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了完全平方公式与几何图形面积，正确根据题意得到（a+b）2＝64，（a﹣b）2＝16是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 9．4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 【答案】见试题解答内容 【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：原式＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 10．简便计算： （1）1022； （2）5002﹣498×502． 【答案】（1）10404； （2）4． 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100+2）2 ＝1002+2×100×2+22 ＝10000+400+4 ＝10404； （2）原式＝5002﹣（500﹣2）×（500+2） ＝5002﹣5002+4 ＝4． 【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 11．若x+y＝6，且（x+2）（y+2）＝23． （1）求xy的值； （2）求x2+6xy+y2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先算乘法，再整体代入，即可求出答案； （2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 【解答】解：（1）∵（x+2）（y+2）＝23， ∴xy+2（x+y）+4＝23， ∵x+y＝6， ∴xy+12+4＝23， ∴xy＝7； （2）∵x+y＝6，xy＝7， ∴x2+6xy+y2 ＝（x+y）2+4xy ＝62+4×7 ＝64． 【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 12．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的公式是　B　 （请选择正确的一个）． A．a2+ab＝a（a+b） B．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b） C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 （2）请应用上面的公式完成下列各题： ①若4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，求2a﹣b的值． ②计算：162﹣152+142﹣132+122﹣112+…+22﹣1． 【答案】（1）B； （2）①4；②136． 【分析】（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论； （2）①利用平方差公式解答即可； ②利用平方差公式解答即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， ∴有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：B； （2）①∵4a2﹣b2＝24，即（2a+b）（2a﹣b）＝24，而2a+b＝6， ∴2a﹣b＝24÷6＝4， 故答案为：4； ②162﹣152+142﹣132+122﹣112+•••+22﹣1 ＝（16+15）•（16﹣15）+（14+13）•（14﹣13）+•••+（2+1）•（2﹣1） ＝16+15+14+13+12+11+•••+2+1＝136． 【点评】本题主要考查了平方差公式的应用，熟知公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），灵活运用是解题的关键． 13．综合与实践 【阅读材料】 将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b＝2，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 又因为a+b＝2，ab＝1，所以a2+b2＝22﹣2＝2． 【探究实践】 （1）若a﹣b＝5，a2+b2＝53，求ab的值； 【拓展应用】 （2）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了劳动教育基地．如图，校园内有两块相邻的正方形场地ABCD、CEFG（DC＞GC，B、C、E三点在一条直线上，边GC与边DC在一条直线上），它们的面积和为208m2，边长和（BC+CE）为20m，学校计划在阴影部分（△DBG和△DGF）处摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地，请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，代入计算即可； （2）设正方形场地ABCD的边长为a m、正方形CEFG的边长为b m，由题意可得a2+b2＝208，a+b＝20，由（a+b）2＝a2+b2+2ab求出ab的值，进而求出a﹣b的值，再用代数式表示阴影部分的面积，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝5，a2+b2＝53，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab， ∴25＝53﹣2ab， 解得ab＝14； （2）设正方形场地ABCD的边长为a m、正方形CEFG的边长为b m，则a2+b2＝208，a+b＝20， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即400＝208+2ab， ∴ab＝96， ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝208﹣192＝16， ∴a﹣b＝4， ∴S阴影部分＝S△DGB+S△DGF a（a﹣b）b（a﹣b） （a+b）（a﹣b） 20×4 ＝40（m2）． 即摆放花卉场地的面积是40m2． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 14．有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　892　 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据规律列式进行计算即可得解； （2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方． 【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892； 故答案为：892； （2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2， 理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1， 等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1， 左边＝右边． 【点评】此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算． 15．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝　a2+3ab+2b2　 ； （2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 　4　 张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 　a+2b　 （用含a，b的代数式表示）； （3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　 ； （4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）a2+3ab+2b2； （2）4，a+2b； （3）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （4）a＝4b． 【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算； （2）根据正方形的性质即可解决问题； （3）利用正方形的面积即可解决问题； （4）设MN＝x，根据题意可得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，根据S1﹣S2＝3b2，列出等式，整理后得a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2； 故答案为：a2+3ab+2b2； （2）根据题意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， ∴应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形， ∴此新的正方形的边长是a+2b， 故答案为：4，a+2b； （3）根据题意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （4）设MN＝x， 根据题意，得 S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2， S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab， ∵S1﹣S2＝3b2， ∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2， ∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2， ∴（a﹣4b）x﹣（a2+5ab+4b2）＝0， ∴（a﹣4b）x﹣（a﹣4b）（a﹣b）＝0， ∴（a﹣4b）[x﹣（a﹣b）]＝0 ∴（x﹣a+b）（a﹣4b）＝0， ∴a＝4b或x＝a﹣b， ∴a与b的关系为a＝4b． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． 学科网（北京）股份有限公司 $