11.3 乘法公式 寒假巩固 2025--2026学年华东师大版八年级数学上册

华师大版（2024）八年级上册 11.3 乘法公式 寒假巩固 【题型1】平方差公式的结构特征 【典型例题】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【举一反三1】下列各式：①(a﹣4)(a+4)，②(﹣x﹣3)(﹣x+3)，③(m﹣5)(﹣5﹣m)，④(﹣x+y)(﹣y+x)，其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三2】等式(﹣x﹣y)_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的(　　) A.x﹣y B.y﹣x C.﹣x﹣y D.x+y 【举一反三3】等式(﹣x﹣y)_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的(　　) A.x﹣y B.y﹣x C.﹣x﹣y D.x+y 【举一反三4】下列各式，能用平方差公式计算的是(　　) A.(x+2y)(2x﹣y) B.(x+y)(x﹣2y) C.(x+2y)(2y﹣x) D.(x﹣2y)(2y﹣x) 【举一反三5】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【举一反三6】(a+b)(            )＝b2﹣a2． 【举一反三7】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【举一反三8】(﹣5x﹣3y)(        )＝9y2﹣25x2． 【题型2】用平方差公式计算 【典型例题】计算：(x+2y)(x﹣2y)＝(　　) A.x2﹣2y2 B.x2+2y2 C.x2+4y2 D.x2﹣4y2 【举一反三1】(a﹣b+c)(a+b﹣c)等于(　　) A.﹣(a﹣b+c)2 B.a2﹣(b﹣c)2 C.(a﹣b)2﹣c2 D.c2﹣a2+b2 【举一反三2】计算：(2+3x)(﹣2+3x)＝　        　． 【举一反三3】计算(2m+1)(2m﹣1)﹣4m2的结果等于　    　． 【举一反三4】计算：(x+2y)(2x﹣y)﹣2(x+y)(x﹣y)． 【题型3】平方差公式的几何意义 【典型例题】如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的等式是(　　) A.(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(a+b)(a﹣b)＝a2+b2 【举一反三1】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝a2+2ab+b2 【举一反三2】如图(1)，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个长方形，如图(2)，此过程可以验证(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab 【举一反三3】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 【举一反三4】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分)，通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是(　　) A.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B.a(a﹣b)＝a2﹣ab C.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 D.a(a+b)＝a2+ab 【举一反三5】(材料阅读)小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： (1)；(2)；(3)； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： (1) ； (2) ； (3). 观察上述解法，你能发现什么规律． (1)[问题解决] 用你发现的规律直接写出______． (2)[拓展探究] 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． (3)[拓展延伸] 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 【举一反三6】(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是_______(写成平方差的形式) (2)将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　        　.(写成多项式相乘的形式) (3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　                ． (4)利用所得公式计算：2(1)(1)(1)(1． 【题型4】用平方差公式进行简便计算 【典型例题】计算20232﹣2026×2020的结果是(　　) A.﹣9 B.9 C.0 D.4520 【举一反三1】的个位数字为(    ) A.5 B.1 C.2 D.4 【举一反三2】计算：399×401+1＝　      　． 【举一反三3】运用乘法公式简便计算：       ． 【举一反三4】(1)请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？ ，，，…， (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； (3)利用你发现的规律计算：． 【举一反三5】先化简，再求值，已知，，求多项式的值． 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 【典型例题】已知，那么的结果是(   ) A.32 B.16 C.8 D.4 【举一反三1】若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为(　　) A.9 B.﹣9 C.27 D.﹣27 【举一反三2】已知，则是________． 【举一反三3】黄老师在黑板上布置了一道题目，针对这道题目嘉嘉和淇淇展开下面的讨论： 根据上述情景，解答下列问题： (1)你认为谁的说法正确？并说明理由； (2)当，时，求代数式的值． 【举一反三4】已知，求的值． 【题型6】平方差公式的实际应用 【典型例题】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【举一反三2】某校把一个边长为a米的正方形花坛改建成长为米，宽为米的长方形花坛，则长方形花坛与正方形花坛相比面积(    ) A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 【举一反三3】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【举一反三4】如果两个连续奇数的积为，那么这两个连续奇数的和为(    ) A. B.或 C. D.或 【举一反三5】某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，小长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少棵樱桃树苗？ (2)当，时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 【举一反三6】如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（2025＝452），上一个“平方年”是1936年（1936＝442）． （1）2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ （2）数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和n+1，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【题型7】用两数和（差）的平方公式计算 【典型例题】计算(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示(a+b)n，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么(a+b)6展开式中第四项的系数为(　　) A.8 B.10 C.18 D.20 【举一反三2】下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】计算：(﹣x﹣3y)2＝           ． 【举一反三4】计算：． 【题型8】两数和（差）的平方公式的几何意义 【典型例题】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长()，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是(　　)    A. B. C. D. 【举一反三3】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是(    )    A. B. C. D. 【举一反三4】(1)图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法表示图中②的阴影部分的面积． 方法1：________，方法2：________． 从而得到了一个等量关系：________． (2)利用上面的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【举一反三5】[知识生成] 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．    例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积： 方法1：____________；方法2：____________； 由此可以得出之间的等量关系是____________； [知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (2)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (3)已知，利用(2)的结论求的值． 【题型9】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 【典型例题】如果，那么代数式的值为(    ) A. B. C.6 D.13 【举一反三1】的计算结果是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】化简正确的结果是(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】已知，则代数式的值为         ． 【举一反三4】若m与n互为倒数，则的值为         ． 【举一反三5】已知代数式：． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 【举一反三6】先化简，再求值：，其中 ， ． 【题型10】用两数和（差）的平方公式求字母的值 【典型例题】若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为(    ) A. B. C.或 D.或 【举一反三1】已知是完全平方式，则m的值为(    ) A.2 B.4 C.8 D.16 【举一反三2】若是完全平方式，则的值是(    ) A.或 B.7或 C.或 D.7或 【举一反三3】若多项式是关于的完全平方式，则的值为      ． 【举一反三4】如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M. 【题型11】利用两数和（差）的平方公式变形求值 【典型例题】若，，则(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】若，则的值(    ) A.1 B.9 C.16 D.21 【举一反三2】已知，且，计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】若，则的值是      ． 【举一反三4】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，则______． (2)若，求的值． 【题型12】两数和（差）的平方公式的实际应用 【典型例题】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板(阴影部分)的面积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】设一个正方形的边长为，若其边长增加了，则新正方形的面积增加了：(   ) A. B. C. D. 【举一反三2】为增加学生课外活动空间，某校打算将图一块边长为(a﹣1)米(a＞1)的正方形操场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长3米，则扩建后操场面积增大了(　　) A.(2a2+a)平方米 B.(3a+3)平方米 C.(6a+3)平方米 D.(2a+1)平方米 【举一反三3】如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭，用含有，的式子表示绿化总面积为     ． 【举一反三4】一个底面是正方形的长方体，高为 ，底面边长为，如果它的高不变，底面边长增加了，那么它的体积增加了       ． 【举一反三5】如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长(不含直径)之和为，面积之和为． (1)求长方形的周长？ (2)求长方形的面积？ 【举一反三6】观察图形，解决问题： (1)[观察分析]如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)[阅读理解]若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)[问题解决]如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 华师大版（2024）八年级上册 11.3 乘法公式 寒假巩固（参考答案） 【题型1】平方差公式的结构特征 【典型例题】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【答案】C 【解析】A．(a﹣1)(a+1)＝a2﹣1，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．(b+a)(a﹣b)＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．(a+2b)(b﹣2a)不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．(a+mn)(a﹣mn)＝a2﹣(mn)2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】下列各式：①(a﹣4)(a+4)，②(﹣x﹣3)(﹣x+3)，③(m﹣5)(﹣5﹣m)，④(﹣x+y)(﹣y+x)，其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】(a﹣4)(a+4)，(﹣x﹣3)(﹣x+3)，(m﹣5)(﹣5﹣m)均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而(﹣x+y)(﹣y+x)中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算； 故选：B． 【举一反三2】等式(﹣x﹣y)_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的(　　) A.x﹣y B.y﹣x C.﹣x﹣y D.x+y 【答案】A 【解析】∵(﹣x﹣y)(x﹣y)＝y2﹣x2， ∴括号内应填入x﹣y， 故选：A． 【举一反三3】等式(﹣x﹣y)_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的(　　) A.x﹣y B.y﹣x C.﹣x﹣y D.x+y 【答案】A 【解析】∵(﹣x﹣y)(x﹣y)＝y2﹣x2， ∴括号内应填入x﹣y， 故选：A． 【举一反三4】下列各式，能用平方差公式计算的是(　　) A.(x+2y)(2x﹣y) B.(x+y)(x﹣2y) C.(x+2y)(2y﹣x) D.(x﹣2y)(2y﹣x) 【答案】C 【解析】A、(x+2y)(2x﹣y)不符合平方差公式的形式，故本选项错误； B、(x+y)(x﹣2y)不符合平方差公式的形式，故本选项错误； C、(x+2y)(2y﹣x)＝﹣(x+2y)(x﹣2y)＝﹣x2+4y2，正确； D、(x﹣2y)(2y﹣x)＝﹣(x﹣2y)2，故本选项错误． 故选：C． 【举一反三5】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【答案】x+z 【解析】∵(x+y+z)(x﹣y+z)＝(x+z+y)(x+z﹣y)＝[(x+z)+y][(x+z)﹣y]＝(A+B)(A﹣B)， ∵B＝y， ∴A＝x+z． 【举一反三6】(a+b)(            )＝b2﹣a2． 【答案】b﹣a 【解析】∵b2﹣a2＝(a+b)(b﹣a)． 故答案为：b﹣a． 【举一反三7】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【答案】x+z 【解析】∵(x+y+z)(x﹣y+z)＝(x+z+y)(x+z﹣y)＝[(x+z)+y][(x+z)﹣y]＝(A+B)(A﹣B)， ∵B＝y， ∴A＝x+z． 【举一反三8】(﹣5x﹣3y)(        )＝9y2﹣25x2． 【答案】5x﹣3y 【解析】(﹣5x﹣3y)(5x﹣3y)＝9y2﹣25x2． 故答案为：5x﹣3y． 【题型2】用平方差公式计算 【典型例题】计算：(x+2y)(x﹣2y)＝(　　) A.x2﹣2y2 B.x2+2y2 C.x2+4y2 D.x2﹣4y2 【答案】D 【解析】原式＝x2﹣4y2． 故选：D． 【举一反三1】(a﹣b+c)(a+b﹣c)等于(　　) A.﹣(a﹣b+c)2 B.a2﹣(b﹣c)2 C.(a﹣b)2﹣c2 D.c2﹣a2+b2 【答案】B 【解析】(a﹣b+c)(a+b﹣c) ＝[a﹣(b﹣c)][a+(b﹣c)] ＝a2﹣(b﹣c)2． 故选：B． 【举一反三2】计算：(2+3x)(﹣2+3x)＝　        　． 【答案】9x2﹣4 【解析】原式＝9x2﹣4． 故答案为：9x2﹣4． 【举一反三3】计算(2m+1)(2m﹣1)﹣4m2的结果等于　    　． 【答案】﹣1 【解析】(2m+1)(2m﹣1)﹣4m2＝4m2﹣1﹣4m2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【举一反三4】计算：(x+2y)(2x﹣y)﹣2(x+y)(x﹣y)． 【答案】解：原式＝2x2﹣xy+4xy﹣2y2﹣2(x2﹣y2) ＝2x2+3xy﹣2y2﹣2x2+2y2 ＝2x2﹣2x2+2y2﹣2y2+3xy ＝3xy． 【题型3】平方差公式的几何意义 【典型例题】如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的等式是(　　) A.(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.(a+b)2＝a2+2ab+b2 D.(a+b)(a﹣b)＝a2+b2 【答案】A 【解析】将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，通过裁剪可以拼成长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为(a+b)(a﹣b)，所以有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：A． 【举一反三1】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝a2+2ab+b2 【答案】A 【解析】图1中(1)(2)两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2是由(1)(2)两部分拼成的底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a﹣b)， 因此有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)． 故选：A． 【举一反三2】如图(1)，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个长方形，如图(2)，此过程可以验证(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab 【答案】C 【解析】图(1)中阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图(2)中阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 因此有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：C． 【举一反三3】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 【答案】C 【解析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴a2﹣b2＝48， 根据图示可得，AE＝a﹣b， ∴，， ∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED ＝24， 故选：C． 【举一反三4】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形(无重叠部分)，通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是(　　) A.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B.a(a﹣b)＝a2﹣ab C.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 D.a(a+b)＝a2+ab 【答案】A 【解析】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 即a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：A． 【举一反三5】(材料阅读)小刚的家庭作业其中一道题要用计算器计算： (1)；(2)；(3)； 但小刚身边并没有计算器，并且直接计算量大．通过思考，他发现可以巧用乘法分配律：，按如下解法去完成： (1) ； (2) ； (3). 观察上述解法，你能发现什么规律． (1)[问题解决] 用你发现的规律直接写出______． (2)[拓展探究] 请你用含字母a、b的等式表示你发现的规律：______． (3)[拓展延伸] 下图将一个边长为a的正方形ABCD分割成一个边长为b的正方形和两个长方形，根据你上述观察规律，判断你发现的规律是否正确，若正确，写出过程，如不正确，请说明理由． 【答案】解：(1)由题意得， ， 故答案为：6396； (2)由题意得，， 故答案为：； (3)规律正确， ∵， 又∵， ∴规律正确． 【举一反三6】(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是_______(写成平方差的形式) (2)将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　        　.(写成多项式相乘的形式) (3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　                ． (4)利用所得公式计算：2(1)(1)(1)(1． 【答案】解：(1)根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2； (2)根据题意得：阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)； (3)可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2； (4)原式＝4(1)(1)(1)(1)(1 ＝4(1))(1)(1)(1 ＝4(1)(1)(1 ＝4(1)(1 ＝4(1 ＝4 ＝4． 故答案为：(1)a2﹣b2；(2)(a+b)(a﹣b)；(3)(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2. 【题型4】用平方差公式进行简便计算 【典型例题】计算20232﹣2026×2020的结果是(　　) A.﹣9 B.9 C.0 D.4520 【答案】B 【解析】原式＝20232﹣(2023+3)×(2023﹣3)＝20232﹣20232+9＝9． 故选：B． 【举一反三1】的个位数字为(    ) A.5 B.1 C.2 D.4 【答案】B 【解析】解： ， ∵，，，，……， ∴可知这一列数的个位数字每4个数为一个循环，3，9，7，1依次出现， ∴的个位数为1， ∴的个位数字为1， 故选B． 【举一反三2】计算：399×401+1＝　      　． 【答案】160000 【解析】399×401+1＝(400﹣1)×(400+1)+1＝4002﹣1+1＝160000， 故答案为：160000． 【举一反三3】运用乘法公式简便计算：       ． 【答案】1 【解析】 ． 故答案为：． 【举一反三4】(1)请计算下列各式的值，你发现结果有什么规律？ ，，，…， (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； (3)利用你发现的规律计算：． 【答案】解：(1)∵，，，…， ∴， (2)， (3)由(2)知． 【举一反三5】先化简，再求值，已知，，求多项式的值． 【答案】解： ， 当，时， 原式 ． 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 【典型例题】已知，那么的结果是(   ) A.32 B.16 C.8 D.4 【答案】B 【解析】 ， ∵， ∴原式， 故选：B． 【举一反三1】若a﹣b＝8，a2﹣b2＝72，则a+b的值为(　　) A.9 B.﹣9 C.27 D.﹣27 【答案】A 【解析】∵a﹣b＝8，a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝72， ∴a+b＝9， 故选：A． 【举一反三2】已知，则是________． 【答案】64 【解析】∵， ∴. 【举一反三3】黄老师在黑板上布置了一道题目，针对这道题目嘉嘉和淇淇展开下面的讨论： 根据上述情景，解答下列问题： (1)你认为谁的说法正确？并说明理由； (2)当，时，求代数式的值． 【答案】解：(1)原式， 琪琪正确，因为化简结果与的值无关； (2)将，代入，原式． 【举一反三4】已知，求的值． 【答案】解： ， ， ， ， 的值为． 【题型6】平方差公式的实际应用 【典型例题】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，得， 故选：B． 【举一反三1】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【答案】C 【解析】设正方形草坪的原边长为a，则面积为：， 将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m后，长方形草坪面积为： ， ∴， 所以改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比减少了． 故选：C． 【举一反三2】某校把一个边长为a米的正方形花坛改建成长为米，宽为米的长方形花坛，则长方形花坛与正方形花坛相比面积(    ) A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 【答案】C 【解析】边长为a米的正方形的面积为平方米，长为米，宽为米的长方形的面积为平方米， ∵(平方米)， ∴长方形花坛与正方形花坛相比面积减少了9平方米． 故选：C． 【举一反三3】为了美化城市，经统一规划，将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m改造成一块长方形草坪，则改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比，结果(    ) A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.增加了 【答案】C 【解析】设正方形草坪的原边长为a，则面积为：， 将一块正方形草坪的一边增加2 m，另一边减少2 m后，长方形草坪面积为： ， ∴， 所以改造后得到长方形草坪与原正方形草坪面积相比减少了． 故选：C． 【举一反三4】如果两个连续奇数的积为，那么这两个连续奇数的和为(    ) A. B.或 C. D.或 【答案】B 【解析】依题意，设较小的奇数为，则较大的奇数为， 因为两个连续奇数的积为， 所以， 即， 解得， 因为这两个连续奇数的和为， 所以或. 故选：B. 【举一反三5】某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，小长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少棵樱桃树苗？ (2)当，时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 【答案】解：(1)由题意得， (棵)， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植棵樱桃树苗． (2) (棵)， 当，时，(棵)， 即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗． 【举一反三6】如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（2025＝452），上一个“平方年”是1936年（1936＝442）． （1）2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ （2）数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和n+1，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【答案】解：（1）由条件可知2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是： 462﹣452＝（46+45）×（46﹣45）＝91． （2）能够被2整除． 理由如下： 由题意，得（n+1）2﹣n2﹣1＝（n+1+n）（n+1﹣n）﹣1＝2n+1﹣1＝2n． ∴由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除． 【题型7】用两数和（差）的平方公式计算 【典型例题】计算(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】， 故选：D． 【举一反三1】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示(a+b)n，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么(a+b)6展开式中第四项的系数为(　　) A.8 B.10 C.18 D.20 【答案】D 【解析】根据杨辉三角中的系数规律可得： (a+b)4的各项系数为1，4，6，4，1， (a+b)5的各项系数为1，5，10，10，5，1， (a+b)6的各项系数为1，6，15，20，15，6，1， 则(a+b)6展开式中的第四项系数为20． 故选：D． 【举一反三2】下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 【举一反三3】计算：(﹣x﹣3y)2＝           ． 【答案】x2+9y2+6xy 【解析】(﹣x﹣3y)2＝[﹣(x+3y)]2＝(x+3y)2＝x2+9y2+6xy． 故答案为：x2+9y2+6xy． 【举一反三4】计算：． 【答案】解： ． 【题型8】两数和（差）的平方公式的几何意义 【典型例题】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积， 根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得． 故选：C. 【举一反三1】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长()，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.∵该图案的面积为49，∴，故该选项正确； B.∵该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4． ∴， ∴， ∴，故该项错误，符合题意； C.∵该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4． ∴，故该项正确； D.∵小正方形(阴影部分)的面积为4， ∴小正方形的边长为2，即，故该项正确. 故选：B． 【举一反三2】如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】图1阴影的面积为：， 图2阴影的面积为：， ， 故选：D． 【举一反三3】下列等式不能用如图所示的方形网格验证的是(    )    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】等式是由边长为的正方形推导而出，故A可验证，不符合题意； 等式是由长为，宽为的长方形推导而出，故B可验证，不符合题意； 等式是由边长为的正方形推导而出，故C可验证，不符合题意； 等式，图中找不到有关于的面积，故D不可验证，符合题意． 故选D． 【举一反三4】(1)图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法表示图中②的阴影部分的面积． 方法1：________，方法2：________． 从而得到了一个等量关系：________． (2)利用上面的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】解：(1)方法1：， 方法2：， 故答案：，； (2)①， 当，时，原式； ， 当，时，原式， ②， 当时，原式． 【举一反三5】[知识生成] 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．    例如：如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示如图②中阴影部分的面积： 方法1：____________；方法2：____________； 由此可以得出之间的等量关系是____________； [知识迁移] 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． (2)如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； (3)已知，利用(2)的结论求的值． 【答案】解：(1)方法一：根据图②知阴影边长为的正方形， 面积为：， 方法二：根据图②知阴影面积是边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积， 面积为：， ，，之间的等量关系是； (2)根据图③看作棱长为的正方体，则体积为：， 图③又可以看作长方体与正方体的体积的和， 则该正方体体积为：， ； (3)由(2)知：， ， ，， ， ． 【题型9】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 【典型例题】如果，那么代数式的值为(    ) A. B. C.6 D.13 【答案】D 【解析】， ， ， 故选：D． 【举一反三1】的计算结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ． 故选：D． 【举一反三2】化简正确的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， 故选：C． 【举一反三3】已知，则代数式的值为         ． 【答案】 【解析】 ． 当时，原式． 【举一反三4】若m与n互为倒数，则的值为         ． 【答案】4 【解析】∵m与n互为倒数， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 【举一反三5】已知代数式：． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 【答案】解：(1) ． (2)∵， ∴， ∴． 【举一反三6】先化简，再求值：，其中 ， ． 【答案】解：原式， 当 ， 时，原式 ． 【题型10】用两数和（差）的平方公式求字母的值 【典型例题】若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为(    ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故选：D． 【举一反三1】已知是完全平方式，则m的值为(    ) A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【解析】∵是完全平方式， ∴． 故选：D． 【举一反三2】若是完全平方式，则的值是(    ) A.或 B.7或 C.或 D.7或 【答案】D 【解析】∵是完全平方式， ∴， 即或， 解得，或， 故选：D． 【举一反三3】若多项式是关于的完全平方式，则的值为      ． 【答案】13或 【解析】∵是关于x的完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或． 【举一反三4】如果多项式9x2＋1加上一个单项式M后能成为一个完全平方式，求这个单项式M. 【答案】解：①当这个完全平方式是一个单项式的平方时， 则9x2＋1＋M是一个单项式，所以M＝－1或M＝－9x2. ②当这个完全平方式是一个二项式的平方时, a.当这个完全平方式形如M＋9x2＋1时，即9x2为两数乘积为2倍， 因为9x2＝2·x2·1，所以M＝＝x4, b.当这个完全平方式形如9x2＋M＋1时，即M为两数乘积的2倍， 因为9x2＝(3x)2，所以M＝±2·3x·1＝±6x, c. 当这个完全平方式形如9x2＋1＋M时，即1为两数乘积的2倍， 此时M不是一个整式，所以这种情况不存在． 综上所述，M＝－1或M＝－9x2或M＝±6x或M＝x4. 【题型11】利用两数和（差）的平方公式变形求值 【典型例题】若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ， ∴， 故选：C． 【举一反三1】若，则的值(    ) A.1 B.9 C.16 D.21 【答案】D 【解析】∵， ∴， 故选：D． 【举一反三2】已知，且，计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴当，时， ． 故选：C． 【举一反三3】若，则的值是      ． 【答案】7 【解析】， 故， 故答案为：7． 【举一反三4】完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，则______． (2)若，求的值． 【答案】解：(1)∵， ∴，， ∴，即， ∴． 故答案为：31. (2)∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【题型12】两数和（差）的平方公式的实际应用 【典型例题】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板(阴影部分)的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意得：． 故选：A． 【举一反三1】设一个正方形的边长为，若其边长增加了，则新正方形的面积增加了：(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，新正方形的边长为：， 增加面积为：． 故选：A． 【举一反三2】为增加学生课外活动空间，某校打算将图一块边长为(a﹣1)米(a＞1)的正方形操场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长3米，则扩建后操场面积增大了(　　) A.(2a2+a)平方米 B.(3a+3)平方米 C.(6a+3)平方米 D.(2a+1)平方米 【答案】C 【解析】扩建前，正方形的边长为(a﹣1)米，因此面积为(a﹣1)2平方米， 扩建后，正方形的边长为(a﹣1+3)＝(a+2)米，因此面积为(a+2)2平方米， 所以扩建后面积比扩建前增加(a+2)2﹣(a﹣1)2＝(6a+3)平方米． 故选：C． 【举一反三3】如图，某区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为米的空白的正方形地块将修建一个凉亭，用含有，的式子表示绿化总面积为     ． 【答案】 【解析】根据题意得：长方形地块的面积， 正方形凉亭的面积为：， 则绿化面积， 故答案为：． 【举一反三4】一个底面是正方形的长方体，高为 ，底面边长为，如果它的高不变，底面边长增加了，那么它的体积增加了       ． 【答案】 【解析】底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为， ∴该长方体的体积为：， 高不变，底面正方形边长增加了，则底面正方形的边长为， ∴该长方体的体积为：， ∴体积增加了， 故答案为：． 【举一反三5】如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长(不含直径)之和为，面积之和为． (1)求长方形的周长？ (2)求长方形的面积？ 【答案】解：(1)设长方形的长为a，宽为b， 由题意得，，即：， ∴长方形的周长为， (2)∵， ∴， ∵， ∴ ∴长方形的面积为60． 【举一反三6】观察图形，解决问题： (1)[观察分析]如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)[阅读理解]若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)[问题解决]如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， ∵， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $