第21章 一元二次方程 单元练习题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章 一元二次方程单元综合练习题 一．选择题 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+x＝y2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1） 2．一元二次方程3x2+1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣6，1 B．3，1，6 C．3，6，1 D．3，1，﹣6 3．若方程x2﹣4x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 4．已知方程（k+1）x|k|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则k的值为（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．0 5．以和为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣10x﹣1＝0 B．x2+10x﹣1＝0 C．x2+10x+1＝0 D．x2﹣10x+1＝0 6．某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则x满足的方程是（　　） A．2500（1﹣x2）＝2025 B．2500（1﹣x）2＝2025 C．2500（1﹣2x）＝2025 D．2500（1﹣2x）2＝2025 7．小明在水平桌面上放置了一个圆柱形容器，容器内装有某种液体，小明用弹簧测力计竖直吊住一个圆柱物块，缓慢将其竖直放入液体中（圆柱物块可完全浸没）如图1所示．弹簧测力计示数F与圆柱物块底面浸入深度h的关系如图2所示，设圆柱物块的重力为G，受到的浮力为F浮，已知当h＝0时，G＝F；当h＞0时，G＝F+F浮．则下列说法中，错误的是（　　） A．G＝10N B．在A→B阶段，F浮随着h的增大而减小 C．在B→C阶段，F浮不变 D．当h＝6时，F浮＝3N 8．已知α是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则代数式的值为（　　） A． B． C．﹣2024 D．2023 9．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题 11．若关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的两个根分别为﹣1，a，则a﹣1＝　 　 ． 12．设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝　 　 ． 13．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0没有实数解，则m的取值范围是 　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 15．已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　 　 ． 16．用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于t的一元二次方程的形式是　 　 ． 17．定义新运算：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac+b．如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+m】★（x+1）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　 ． 18．已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则a2﹣3b+2025的值是 　 　 ． 三．解答题 19．解方程： （1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2； （2）． 20．关于x的方程为x2+（m﹣3）x+m﹣7＝0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2．且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围． 21．设关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0．现有如下两组条件：①b＝﹣2，c＝﹣4；②b＝2，c＝4．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 22．根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 23．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm，若画心的面积为15200cm2，求隔水的宽度x． 24．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 25．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； （2）当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长． 26．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2； 第2个方程：x2﹣5x+6＝0，方程的两个根分别是x1＝2，x2＝3； 第3个方程：x2﹣7x+12＝0；方程的两个根分别是x1＝3，x2＝4； 第4个方程：x2﹣9x+20＝0；方程的两个根分别是x1＝4，x2＝5； … （1）请按照此规律写出两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程　 　 ． （2）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程x2x+1＝0是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C D B B D B C 二．填空题 11．解：由条件可知（﹣1）2+m+3＝0， 解得m＝﹣4， ∴一元二次方程为x2+4x+3＝0， ∴， 故答案为：﹣4． 12．解：∵设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m， ∴x1+x2﹣x1•x2＝﹣4﹣m＝2． ∴m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 13．解：由题意可知：Δ＜0， ∴36﹣4m＜0， ∴m＞9． 故答案为：m＞9． 14．解：根据题意得a+1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a+1）＞0， 解得a＜3且a≠﹣1． 故答案为a＜3且a≠﹣1． 15．解：由条件可知x1x2＝1，， ∴， ∴， 故答案为：﹣1． 16．解：已知方程， 设， 原方程化为3t3＝0， 整理得：3t2+3t+2＝0， 故答案为：3t2+3t+2＝0． 17．解：根据题意得x（x+1）+x+m＝0，整理得x2+2x+m＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4m＞0， 解得m＜1． 故答案为：m＜1． 18．解：因为a，b是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根， 所以a2+3a﹣5＝0，a+b＝﹣3， 则a2+3a＝5， 所以a2﹣3b+2025＝a2+3a﹣3（a+b）+2025＝5﹣3×（﹣3）+2025＝2039． 故答案为：2039． 三．解答题（共8小题） 19．解：（1）[（x﹣4）﹣（5﹣2x）][（x﹣4）+（5﹣2x）]＝0， （3x﹣9）（1﹣x）＝0， 3x﹣9＝0或1﹣x＝0， 解得：x1＝3，x2＝1； （2）∵2x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， 则x﹣1＝0， ∴x1＝x2． 20．解：（1）∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣7）＝（m﹣5）2+12＞0， ∴无论m取何值方程总有两个不相等的实数根． （2）根据题意得x1+x2＝3﹣m，x1x2＝m﹣7， ∵2（x1+x2）+x1x2＞0， ∴2（3﹣m）+m﹣7＞0， ∴m＜﹣1， ∴m的取值范围为m＜﹣1． 21．解：∵方程2x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞8c． ∵选择①时，（﹣2）2＝4，8×（﹣4）＝﹣32，4＞﹣32，符合题意； 选择②时，22＝4，42＝16，4＜16，不符合题意， ∴选条件①， 此时方程为2x2﹣2x﹣4＝0， 整理，得x2﹣x﹣2＝0， 则（x+1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1． 22．解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得，100（1+x）2＝144， 整理得，100x2+200x﹣44＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%； 任务2：设该零件的实际售价应定为y元， 由题意列一元二次方程得，（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000， 整理得，y2﹣130y+4000＝0， 解得y1＝50，y2＝80， ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴y＝50， 答：该零件的实际售价应定为50元． 23．解：由题意可知，隔水的宽度为x cm，则画心的长为（1000﹣2×100﹣4x）cm，宽为（40﹣2x）cm， 由题意得：（1000﹣2×100﹣4x）（40﹣2x）＝15200， 整理得：x2﹣220x+2100＝0， 解得：x1＝10，x2＝210（不符合题意，舍去）， 答：隔水的宽度x为10cm． 24．解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米， 根据题意可得x（80﹣4x）＝300， 解得x1＝5，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440， 整理，得 x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 25．解：（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是，宽为x， 由题意得30﹣x＝4x， 解得x＝6， ∴长为24，宽为6，高为40﹣2×6＝28， ∴体积为：24×6×28＝4032（cm3）； （2）设小正方形的边长为m，根据题意可得一元二次方程为： （30﹣m）（40﹣2m）＝750， 整理得m2﹣50m+225＝0， 解得m＝5或m＝45（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为5cm． 26．解：（1）两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程为x2﹣（8+9）x+8×9＝0，即x2﹣17x+72＝0， 故答案为：x2﹣17x+72＝0； （2）解x2x+1＝0得：x1，x2， ∵x1﹣x21， ∴方程x2x+1＝0是“邻根方程”； （3）设关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的两个根为t，t+1， ∴， 解得：或， 当时，关于x的方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3，4， ∴直角三角形两边为3，4， ∴第三边为5或； 当时，关于x的方程x2﹣9x+20＝0的两个根为4，5， ∴直角三角形两边为4，5， ∴第三边为或3； 综上所述，直角三角形第三边为5或或或3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/8 23:10:44；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $