椭圆专项提升卷-2026届高考数学一轮复习 （8大考点汇总与跟踪训练）

椭圆专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 （8大考点汇总与跟踪训练） 8大考点汇总 考点一：椭圆的标准方程 考点二：椭圆的焦点和焦距 考点三：椭圆的几何特征 考点四：椭圆的离心率 考点五：直线与椭圆的位置关系 考点六：椭圆的弦与弦长 考点七：椭圆与平面向量 考点八：椭圆的定点与定值问题 跟踪训练 考点一：椭圆的标准方程 1．（2025春•湖南月考）已知焦点在x轴上的椭圆，上顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线垂直平分线段MF2，且交椭圆于B，C两点，△MBC的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　） A．x2+4y2＝1 B． C． D． 2．（2025秋•江西月考）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（　　） A． B． C． D．3x2+4y2＝1 3．（2024秋•邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•武汉月考）已知椭圆的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是（　　） A． B． C． D． 考点二：椭圆的焦点和焦距 5．（2025春•静安区校级月考）已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，求实数m的值为 　 　 ． 6．（2025春•浦东新区校级月考）已知椭圆的长轴在y轴上，焦距为4，则m的值为 　 　 ． 7．（2025春•河南月考）已知M（﹣2，﹣1）为椭圆上一点，且直线y＝2与C有且仅由一个交点，则C的焦距为　 　 ． 8．（2025•山西模拟）已知P为椭圆上一动点．设点A（1，0），，则|PA|+|PB|的最小值为　 　 ． 考点三：椭圆的几何特征 9．（2025•南京校级一模）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率是，A1、A2分别为椭圆E的左、右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2．直线l过点D（1，0）且与椭圆E交于P，Q两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）求△OPQ面积的最大值； （3）设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 10．（2025春•合肥期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，△PQF1的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，点A，F1分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且∠AF1M＝∠OF1N．证明：直线m过定点，并求出该定点的坐标． 11．（2025•蚌埠模拟）如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M（0，），且椭圆T1与T2的离心率均为． （Ⅰ）求椭圆T1与椭圆T2的标准方程； （Ⅱ）过点M引两条斜率分别为k，k′的直线分别交T1，T2于点P，Q，当k′＝4k时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 12．（2024秋•荆门校级期中）如图，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，设P（x0，y0）是第一象限内椭圆C上的一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆C于点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2） （1）若PF2⊥x轴，求△F1PF2的面积； （2）若，求点P的坐标； （3）求y1﹣y2的最大值． 考点四：椭圆的离心率 13．（2025春•顺义区校级期中）在椭圆E：中，过点P（﹣3，2）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． （Ⅰ）求椭圆E的长轴长及离心率． （Ⅱ）证明：M，N两点横坐标之和为﹣6． 14．（2024秋•西城区期末）已知椭圆的左顶点为A，右顶点为B，点P（x0，y0）在椭圆C上（与点A、B不重合），过D（4，0）且与x轴垂直的直线交直线AP于点G，交直线BP于点H． （1）求椭圆C的短轴长和离心率； （2）若线段GH的中点为D，求点P坐标． 15．（2025春•上海校级期中）已知椭圆，A为Γ的上顶点，P、Q是Γ上不同于点A的两点． （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若F是椭圆Γ的右焦点，B是椭圆下顶点，R是直线AF上一点．若△ABR有一个内角为，求点R的坐标； （3）作AH⊥PQ，垂足为H．若直线AP与直线AQ的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，使得为定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 16．（2025•西城区校级开学）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且经过点，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点P（x0，y0）在椭圆C上（与点A、B不重合），过D（4，0）且与x轴垂直的直线交直线AP于点G，交直线BP于点H． （Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率； （Ⅱ）若线段GH的中点为D，求点P坐标． 考点五：直线与椭圆的位置关系 17．（2025•北京开学）已知椭圆的右顶点为A（2，0），上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形． （1）求椭圆C的方程； （2）经过点A的直线与椭圆的另一个交点为M、点M关于y轴的对称点为N（M与N不重合），直线AM，AN与y轴的交点分别为P，Q．若|MN|＝|PQ|，求线段MN的长． 18．（2025秋•湘潭月考）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（﹣2，0），B（2，0）．过点M（1，0），斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别与直线x＝1交于点E，G． （1）求椭圆T的方程； （2）求的值． 19．（2025春•河北期末）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，1），两点． （1）求E的方程． （2）直线l：y＝kx+t与E交于M，N两点． ①若k＝1，求t的取值范围； ②若，求k的取值范围． 20．（2024秋•朝阳区校级期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O：x2+y2＝a2交于与A，B不重合的M，N两点． （i）求直线AB斜率的取值范围； （ii）求|AB|•|MN|的取值范围． 考点六：椭圆的弦与弦长 21．（2025秋•小店区校级月考）已知椭圆，M为椭圆上一点，F1，F2分别为它的左右焦点，M到F1，F2距离之和为4，离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：y＝x﹣1与椭圆交于A，B两点，求三角形AOB面积． 22．（2025•扬州校级模拟）已知A（4，0）和，直线AP与椭圆切于点P． （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为，求l的方程． 23．（2024秋•湖北期末）已知椭圆C：的短轴长为2，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点F2作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积． 24．（2025春•邯郸期末）已知椭圆C上任意一点P到C的两个焦点，，0）的距离之和为． （1）求C的方程； （2）已知直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝5，求m的值． 考点七：椭圆与平面向量 25．（2024秋•富宁县校级期末）已知椭圆的左焦点为F1，上、下顶点分别为A，B，且，点在Γ上． （1）求椭圆Γ的方程； （2）过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x＝﹣2于点P，设，，证明：λ+μ为定值． 26．（2025•湖南模拟）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若，求实数k的值及△MON的面积． 27．（2025春•福州期末）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长； （3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程． 28．（2025春•靖远县校级期末）已知椭圆1，过椭圆的左焦点A的直线l与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方）与y轴交于点E． （1）若直线l的斜率为，求N点的坐标． （2）设λ，μ．求证：λ+μ为定值，并求出该值． （3）若椭圆E的右焦点为B，△MNB内切圆的半径为，求直线l的方程． 考点八：椭圆的定点与定值问题 29．（2025秋•福田区校级月考）如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （1）若，求直线AF1的斜率； （2）求证：|PF1|+|PF2|是定值． 30．（2025•汉中二模）已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆上点（x0，y0）处的切线方程是， ①过直线l：x＝2上一点M引C的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N； ②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|＝λ|PN|•|QN|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由． 31．（2025•雁塔区校级模拟）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为，过P作新直线l′⊥l， ①求直线l和直线OP的斜率之积； ②证明：新直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标． 32．（2025春•简阳市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点A（2，0），直线l与椭圆相交于不同于A点的P，Q两点，当直线l过坐标原点O时，直线AP，AQ的斜率乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线AP，AQ分别与直线x＝3相交于E，F两点，线段E，F的中点为M． ①若直线l过坐标原点，记OM的斜率为k1，直线l的斜率为k2，证明k1•k2为定值； ②若，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 椭圆专项提升卷-2026高考数学一轮复习题 （8大考点汇总与跟踪训练） 参考答案与试题解析 1．（2025春•湖南月考）已知焦点在x轴上的椭圆，上顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线垂直平分线段MF2，且交椭圆于B，C两点，△MBC的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　） A．x2+4y2＝1 B． C． D． 【解答】解：如图， 因为线段MF2的垂直平分线经过点F1，所以|MF1|＝|F1F2|，即a＝2c， 又|MB|＝|F2B|，|CM|＝|CF2|，则△MBC的周长等于△BF2C的周长4a， 即4a＝8，解得a＝2，c＝1，，故椭圆的标准方程为． 故选：D． 2．（2025秋•江西月考）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（　　） A． B． C． D．3x2+4y2＝1 【解答】解：因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为， 椭圆的方程为， 则该椭圆的长、短半轴长分别为， 离心率，解得， 四个选项中，符合的有ACD． 故选：B． 3．（2024秋•邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得b，a＞b＞0， 又离心率e， 解得a＝2， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 4．（2025秋•武汉月考）已知椭圆的上、下焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为12，则椭圆C的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 设椭圆C的半焦距为c， 由已知，△MNF2的周长为|MN|+|MF2|+|NF2|＝|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|＝4a＝12， 解得a＝3， 因为椭圆C的离心率为，所以，解得c＝2， 所以． 故椭圆C的标准方程为． 故选：D． 5．（2025春•静安区校级月考）已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，求实数m的值为 　5　 ． 【解答】解：已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为4， 所以c＝2． 可得9﹣m＝22， 解得m＝5． 故答案为：5． 6．（2025春•浦东新区校级月考）已知椭圆的长轴在y轴上，焦距为4，则m的值为 　8　 ． 【解答】解：由已知得，a2＝m﹣2，b2＝10﹣m，2c＝4， 所以c2＝4， 又c2＝a2﹣b2＝（m﹣2）﹣（10﹣m），所以（m﹣2）﹣（10﹣m）＝2m﹣12＝4， 解得m＝8． 故答案为：8． 7．（2025春•河南月考）已知M（﹣2，﹣1）为椭圆上一点，且直线y＝2与C有且仅由一个交点，则C的焦距为　　 ． 【解答】解：已知M（﹣2，﹣1）为椭圆上一点，且直线y＝2与C有且仅由一个交点， 则得到， 又因为直线y＝2与C仅有一个交点，所以b＝2， 进而解得，所以C的焦距为． 故答案为：． 8．（2025•山西模拟）已知P为椭圆上一动点．设点A（1，0），，则|PA|+|PB|的最小值为　　 ． 【解答】解：因为P为椭圆上一动点，A为椭圆的右焦点， 设F（﹣1，0）为椭圆的左焦点， 则|PA|＝4﹣|PF|， 所以|PA|+|PB|＝4﹣|PF|+|PB|≥4﹣|BF|，当P，B，F三点共线时等号成立． 又，故， 即|PA|+|PB|的最小值为． 故答案为：． 9．（2025•南京校级一模）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率是，A1、A2分别为椭圆E的左、右顶点，B为上顶点，△A1BA2的面积为2．直线l过点D（1，0）且与椭圆E交于P，Q两点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）求△OPQ面积的最大值； （3）设直线A1P与直线QA2交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 【解答】解：由题意知e， ∴，即a＝2b， ∵△A1BA2的面积为2， ∴ab＝2， 解得a＝2，b＝1， ∴椭圆E的标准方程为y2＝1， （2）PQ斜率不存在时，易知P（1，），Q（1，），此时S△OPQ， 当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 将y＝k（x﹣1）代入y2＝1，整理可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0， ∴x1+x2，x1x2， ∴|x1﹣x2|， ∴S△OPQ1×|y1﹣y2|•|x1﹣x2|， 令1+4k2＝t，t＞1， ∴S△OPQ， 故△OPQ面积的最大值 证明（3）PQ斜率不存在时，易知N（4，）， 当直线PQ的斜率存在时，直线A1P的方程为y（x+2），直线A2Q的方程为y（x﹣2）， ∴（x+2）（x﹣2）， ∴， 解得x＝4，即N点的横坐标为4， 综上所述，点N在定直线x＝4上． 10．（2025春•合肥期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，△PQF1的周长为． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，点A，F1分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N都在x轴上方）．且∠AF1M＝∠OF1N．证明：直线m过定点，并求出该定点的坐标． 【解答】解：（1）|F1F2|＝4，即2c＝4，可得c＝2， △PQF1的周长为，由椭圆的定义可得4a＝8， 即a＝2，b2， 则椭圆方程为1； （2）设直线m的方程为：y＝kx+n，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 把直线m代入椭圆方程，整理可得（2k2+1）x2+4kn+2n2﹣8＝0， Δ＝16k2n2﹣4（2k2+1）（2n2﹣8）＞0，即8k2﹣n2+4＞0， ∴x1+x2，x1x2， ∵k，k， ∵M、N都在x轴上方．且∠AF1M＝∠OF1N， ∴kk， ∴， 即（kx1+n）（x2+2）＝﹣（kx2+n）（x1+2）， 整理可得2kx1x2+（2k+n）（x1+x2）+4n＝0， ∴2k•（2k+n）（）+4n＝0， 即4kn2﹣16k﹣8k2n﹣4kn2+8k2n+4n＝0， 整理可得n＝4k， ∴直线m方程为y＝kx+4k即y＝k（x+4）， ∴直线m过定点（﹣4，0）． 11．（2025•蚌埠模拟）如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M（0，），且椭圆T1与T2的离心率均为． （Ⅰ）求椭圆T1与椭圆T2的标准方程； （Ⅱ）过点M引两条斜率分别为k，k′的直线分别交T1，T2于点P，Q，当k′＝4k时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆T1与T2的离心率e． ∴a＝b＝c ∵焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M（0，）， 故椭圆T1的b＝c，a＝2， 椭圆T2的b＝c＝1，a， 故椭圆T1与椭圆T2的标准方程分别为：，； （Ⅱ）直线MP的方程为， 联立椭圆方程得：， 消去y得，则P点的横坐标为， 则点P的坐标为（，） 同理可得点Q的坐标为：（，）， 故直线PQ的斜率kPQ， 则直线PQ的方程为：y（x）， 即yx， 即当x＝0时，y， 故直线PQ过定点（0，）． 12．（2024秋•荆门校级期中）如图，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，设P（x0，y0）是第一象限内椭圆C上的一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆C于点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2） （1）若PF2⊥x轴，求△F1PF2的面积； （2）若，求点P的坐标； （3）求y1﹣y2的最大值． 【解答】解：（1）由题意椭圆的左右焦点分别为F1、F2， P（x0，y0）是第一象限内椭圆C上的一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆C于点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）， 可设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由椭圆，得a2＝2，b2＝1， 则，b＝1，c＝1，所以F1（﹣1，0），F2（1，0）， 当x＝1时，由，得，所以， 所以△F1PF2的面积为； （2）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），Q1（x1，y1），则直线PF1的方程为， 由，消y可得，整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以（x0+1，y0）＝4（﹣1﹣x1，﹣y1），可得y0＝﹣4y1， 所以，解得，代入，得出， 所以点P的坐标为； （3）设Q2（x2，y2），由（2）得，则直线PF2的方程为， 由，消y得到， 所以，得， 得到， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号，所以y1﹣y2的最大值为． 13．（2025春•顺义区校级期中）在椭圆E：中，过点P（﹣3，2）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． （Ⅰ）求椭圆E的长轴长及离心率． （Ⅱ）证明：M，N两点横坐标之和为﹣6． 【解答】（Ⅰ）解：在椭圆E：中，可得a2＝9，b2＝4，可得c2＝a2﹣b2＝9﹣4＝5， 可得a＝3，b＝2，c， 可得椭圆的长轴长为2a＝6，离心率e； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的上顶点A（0，2）， 设直线BC的方程为y﹣2＝k（x+3），设B（x1，y1），C（x2，y2）， 联立，整理可得：（4+9k2）x2+18k（2+3k）x+81k2+108k＝0， 可得x1+x2，x1x2， 直线AB的方程为：yx+2，令y＝0，可得xM， 同理可得xN， 所以xM+xN＝﹣[]• ••6为定值． 即证得结论． 14．（2024秋•西城区期末）已知椭圆的左顶点为A，右顶点为B，点P（x0，y0）在椭圆C上（与点A、B不重合），过D（4，0）且与x轴垂直的直线交直线AP于点G，交直线BP于点H． （1）求椭圆C的短轴长和离心率； （2）若线段GH的中点为D，求点P坐标． 【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，由椭圆C的方程得， 所以椭圆的短轴长，离心率． （2）由题意知直线AP的方程为，令x＝4，得，可得． 直线BP的方程为，同理求得． 因为GH的中点为D（4，0），所以． 若y0＝0，则P（±2，0），与A、B重合，不符合题意，舍去． 若y0≠0，则3（x0﹣2）＝﹣（x0+2），解得x0＝1，代入，可得，即或． 综上所述：点P坐标为或． 15．（2025春•上海校级期中）已知椭圆，A为Γ的上顶点，P、Q是Γ上不同于点A的两点． （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若F是椭圆Γ的右焦点，B是椭圆下顶点，R是直线AF上一点．若△ABR有一个内角为，求点R的坐标； （3）作AH⊥PQ，垂足为H．若直线AP与直线AQ的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，使得为定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，，所以离心率； （2）如图， 由题意，F（1，0），A（0，1），B（0，﹣1），所以直线AF的方程为：y＝﹣x+1， 设R（x0，﹣x0+1），显然有或两种情况， ①当时，直线BR的倾斜角为，其与x轴的交点为，则， 因为， 由，得：，解得（舍去）或， 故点R的坐标是； ②当时，此时，则， 因为， 由，得：， 解得（舍去）或， 故点R的坐标是； 综上所述，点R的坐标是或． （3）假设存在定点M（m，0）满足题意， 如图， 当PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0， 由题意，Δ＝16k2b2﹣4（1+2k2）（2b2﹣2）＞0，即2k2﹣b2+1＞0①， ， ， 所以k＝b+1，代入①，得：b2+4b+3＞0， 所以b＜﹣3或b＞﹣1，即存在直线PQ使得直线AP与直线AQ的斜率之和为2 直线PQ的方程为y＝kx+k﹣1，直线AH的方程为， 由，得：，即， 所以， 所以当时，为定值， 当直线PQ斜率不存在时，设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0）， 则，x0＝﹣1，此时H（﹣1，1），满足题意， 所以存在定点，使得为定值且定值为． 16．（2025•西城区校级开学）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且经过点，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点P（x0，y0）在椭圆C上（与点A、B不重合），过D（4，0）且与x轴垂直的直线交直线AP于点G，交直线BP于点H． （Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率； （Ⅱ）若线段GH的中点为D，求点P坐标． 【解答】解：（1）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且经过点， 设椭圆的半焦距为c，c＝1， 由椭圆方程可得， 所以椭圆的短轴长，离心率； （2）由题意可知：直线AP的方程为， 令x＝4，得，即， 直线BP的方程为， 令x＝4，得，即， 因为GH的中点为D（4，0），则， 若y0＝0，则P（±2，0），与A，B重合，舍去， 若y0≠0，则3（x0﹣2）＝﹣（x0+2），解得x0＝1， 将x0＝1代入，得，即或， 综上所述：点P坐标为或． 17．（2025•北京开学）已知椭圆的右顶点为A（2，0），上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形． （1）求椭圆C的方程； （2）经过点A的直线与椭圆的另一个交点为M、点M关于y轴的对称点为N（M与N不重合），直线AM，AN与y轴的交点分别为P，Q．若|MN|＝|PQ|，求线段MN的长． 【解答】解：（1）由题设，a＝2，b＝c且b2+c2＝a2，所以b2＝c2＝2， 所以C的方程为； （2）如图， 设点M（x0，y0），N（﹣x0，y0），所以， 所以直线AM的方程为， 令x＝0，所以， 同理直线AN的方程为， 令x＝0，所以， 又|MN|＝2|x0|，|PQ|＝||＝||， 因为，所以4＝2，所以|PQ|＝||＝||， 所以2|x0|＝||，所以|y0|＝1，所以|x0|，所以． 18．（2025秋•湘潭月考）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（﹣2，0），B（2，0）．过点M（1，0），斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别与直线x＝1交于点E，G． （1）求椭圆T的方程； （2）求的值． 【解答】解：（1）由题意：， 所以椭圆T的标准方程为：． （2）如图：直线CD的方程为：y＝k（x﹣1）， 代入， 得x2+4k2（x﹣1）2＝4， 整理得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）＝0， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 则，． 又直线AC：，令x＝1，得， 直线BD：，令x＝1，得， 所以 ． 19．（2025春•河北期末）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，1），两点． （1）求E的方程． （2）直线l：y＝kx+t与E交于M，N两点． ①若k＝1，求t的取值范围； ②若，求k的取值范围． 【解答】解：（1）若椭圆E的焦点在x轴上，则设椭圆方程为（a＞b＞0）， 因为椭圆E过A（0，1），两点， 所以，解得，符合题意，则椭圆方程为； 若椭圆E的焦点在y轴上，则设椭圆方程为（a＞b＞0）， 因为椭圆E过A（0，1），两点， 所以，解得，不符合题意． 所以E的方程为． （2）联立，消去y得（4k2+1）x2+8ktx+4t2﹣4＝0． Δ＝（8kt）2﹣4（4k2+1）（4t2﹣4）＞0，化简得4k2﹣t2+1＞0． ①因为k＝1，所以4﹣t2+1＞0，解得， 所以t的取值范围为． ②设M（x1，y1），N（x2，y2），则． 所以 ， 化简得48k4﹣24k2﹣9+16t2（k2+1）＝0， 即， 即﹣48k4+24k2+9≥0，解得， 所以k的取值范围为． 20．（2024秋•朝阳区校级期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O：x2+y2＝a2交于与A，B不重合的M，N两点． （i）求直线AB斜率的取值范围； （ii）求|AB|•|MN|的取值范围． 【解答】解：（1）因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 即tan， 即ba，则c2＝b2+a2＝4a2，即c＝2a， 所以右焦点F（2a，0）到渐近线的距离为， 解得a＝2，， 所以C的方程为：； （2）（i）由（1）知，F（4，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零， 设直线AB 的方程为x＝my+4（m≠0）， 与联立得：（3m2﹣1）y2+24my+36＝0， 所以3m2﹣1≠0，Δ＝144（m2+1）＞0， 且，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以y1y2＞0， 此时3m2﹣1＞0，即， 又圆O的方程为x2+y2＝4，点O到直线AB的距离， 由d＜2得m2＞3， 由，得m2＞3，所以或； 即直线AB的斜率的范围为（0，）∪（，0）； （ii）由（i）及弦长公式|AB|， 由垂径定理得， 所以， 其中m2＞3，设t＝3m2﹣1，t＞8， 则． 所以|AB|•|MN|的取值范围是（0，16）． 21．（2025秋•小店区校级月考）已知椭圆，M为椭圆上一点，F1，F2分别为它的左右焦点，M到F1，F2距离之和为4，离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：y＝x﹣1与椭圆交于A，B两点，求三角形AOB面积． 【解答】解：（1）由已知，|MF1|+|MF2|＝2a＝4，则a＝2， 由离心率，得，解得b＝1， 所以椭圆C的方程为； （2）如图， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得5x2﹣8x＝0，解得， 则弦长， 原点O到直线l：y＝x﹣1距离， 所以三角形AOB面积． 22．（2025•扬州校级模拟）已知A（4，0）和，直线AP与椭圆切于点P． （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为，求l的方程． 【解答】解：（1）A（4，0）和， ∵直线AP与椭圆切于点P． ∴点在椭圆上，∴， ，即， 又直线AP与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得（a2+2b2）x2﹣8a2x+（16a2﹣2a2b2）＝0， 即Δ＝（﹣8a2）2﹣4（a2+2b2）（16a2﹣2a2b2）＝0， 化简可得a2+2b2﹣16＝0， 联立，解得， 则c2＝4，即，b＝2，c＝2， ∴C的离心率为； （2）过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为， 由（1）得椭圆方程为， 设B（x0，y0）， 由已知AP：yx+2，且|AP|， 则点B到直线AP的距离为d， 又△ABP的面积为， 化简可得， 又点B（x0，y0）在椭圆上，则， 联立方程组，解得，则B（﹣2，）， ∴PB：y，整理得直线l的方程为yx． 23．（2024秋•湖北期末）已知椭圆C：的短轴长为2，且过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点F2作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积． 【解答】解：（1）因为椭圆C的短轴长为2，且过点， 所以， 解得a，b＝1，c， 则椭圆C的标准方程为； （2）易知椭圆C的右焦点为， 所以直线l的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时Δ＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由韦达定理得，， 所以， 又点O（0，0）到直线l：x的距离d＝1． 则． 24．（2025春•邯郸期末）已知椭圆C上任意一点P到C的两个焦点，，0）的距离之和为． （1）求C的方程； （2）已知直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝5，求m的值． 【解答】解：（1）由已知得，，a2＝b2+c2，，解得a2＝12，b2＝4， 故C的方程为； （2）联立，得， ，解得， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， 解得，即m的值为． 25．（2024秋•富宁县校级期末）已知椭圆的左焦点为F1，上、下顶点分别为A，B，且，点在Γ上． （1）求椭圆Γ的方程； （2）过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x＝﹣2于点P，设，，证明：λ+μ为定值． 【解答】解：（1）根据题意可知，，所以， 由于点在Γ上，因此， 即2b2＝2， 解得b＝1，所以， 因此椭圆Γ的方程为． （2）根据已知得直线MN的斜率必存在，所以设直线MN的方程为y＝k（x+1）， 代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，Δ＞0， 设N（x2，y2），M（x1，y1）， 所以， 又因为F1（﹣1，0），P（﹣2，﹣k），则根据， 可得，． 因此， 又由于， 因此λ+μ＝0为定值．证明完毕． 26．（2025•湖南模拟）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）过定点Q（1，0）斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，若，求实数k的值及△MON的面积． 【解答】解：（1）已知椭圆C的离心率， 所以， 即，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E与直线相切， 所以，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆C的方程为； （2）不妨设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 又韦达定理得， 此时， 因为， 整理得k2＝2， 解得， 此时， 则， 又点O到直线的距离， 故△MON的面积． 27．（2025春•福州期末）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长； （3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程． 【解答】解：（1）由焦距为2可得2c＝2，再由△PF1F2为正三角形，P为左顶点，可得b•2c， 所以a2＝b2+c2＝3+1＝4， 所以椭圆的方程为：1； （2）由（1）可得上焦点F1（0，1）， 由题意可设直线MN的方程为：yx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立整理可得5x2+2x﹣9＝0， 可得Δ＞0，x1+2，x1x2， 所以弦长|MN|•； （3）当直线AB的斜率不存在时，则过F1的直线为x轴，可得A，B为短轴的顶点， 因为，设A（0，），B（0，），F1（0，1），则（0，1），（0，1）， 显然2，所以直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0， 可得x1+x2，x1x2， 因为，即（﹣x1，1﹣y1）＝2（x2，y2﹣1）， 可得﹣x1＝2x2，即x1＝﹣2x2，代入x1+x2，可得x2，x1， 再代入x1x2，可得•（）， 解得：k2， 可得k＝±， 所以直线AB的方程为y＝±x+1． 28．（2025春•靖远县校级期末）已知椭圆1，过椭圆的左焦点A的直线l与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方）与y轴交于点E． （1）若直线l的斜率为，求N点的坐标． （2）设λ，μ．求证：λ+μ为定值，并求出该值． （3）若椭圆E的右焦点为B，△MNB内切圆的半径为，求直线l的方程． 【解答】（1）解：易知椭圆左焦点坐标为 （﹣1，0），则直线 l 方程 为 ， 联立 ，解得 或， 则点N的坐标为． （2）证明：易知直线 l 的斜率存在且不为 0，且设为 k， 则联立 ， 消去 y 得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则， 由 ， 且点 E 的横坐标为 0， 得 x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1）， 从而： ， ∴λ+μ 为定值，且 λ+μ＝3． （3）解：假设存在直线 l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNB 的内切圆的半径为 ， 又 A（﹣1，0）、B（1，0）为椭圆的焦点， 故△MNB 的周长为 ， 从而， 设 M（x1，y1）、N（x2，y2）， 则， 即 ． 由 （2）两方程联立得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0， 得， 化简得 45k4+33k2﹣16＝0， 解得 或 舍去 ）， 故 ，即存在直线 满足题意． 29．（2025秋•福田区校级月考）如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （1）若，求直线AF1的斜率； （2）求证：|PF1|+|PF2|是定值． 【解答】解：（1）因为椭圆的方程为，左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）， 且直线AF1与直线BF2平行，即AF1∥BF2， 所以设直线AF1，BF2的方程分别为my＝x+1，my＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0， 联立方程 可得， 求得， 所以 ，① 同理可得，，② 由①②两式得，， 因为， 得，故m2＝2， 注意到m＞0，所以， 所以直线AF1的斜率为． （2）证明：因为AF1∥BF2，所以， 即， 即， 所以， 由点B在椭圆上知，， 所以， 同理可得，， 所以 ， 由①②两式得，，， 所以， 所以|PF1|+|PF2|是定值． 30．（2025•汉中二模）已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆上点（x0，y0）处的切线方程是， ①过直线l：x＝2上一点M引C的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N； ②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|＝λ|PN|•|QN|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的方程为； （2）①证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（2，m）， 由题设可知：， 又因为lPM，lQM经过点M（2，m）， 所以，所以P，Q均在直线x+my﹣1＝0上， 即lPQ：x+my﹣1＝0， 由，解得， 所以直线PQ过定点N（1，0）； ②设实数λ存在，因为|PN|+|QN|＝λ|PN|•|QN|，所以， 当直线PQ斜率不存在时，此时PQ：x＝1， 由， 解得， 所以， 所以， 当直线PQ斜率k存在时，， 所以， 联立， 可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0， 所以， 所以， 综上可知，存在λ满足条件． 31．（2025•雁塔区校级模拟）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交椭圆C于M，N两点，且线段MN的中点P的横坐标为，过P作新直线l′⊥l， ①求直线l和直线OP的斜率之积； ②证明：新直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标． 【解答】（1）解：由题可知，一定在椭圆上，A1（0，﹣2），A3（0，1）其中一个在椭圆上， 当椭圆过点，有， 所以椭圆C的方程为； 当椭圆过点，有，该方程组无解， 综上，椭圆C的方程为． （2）①解：设P（﹣2，y0）， 当y0＝0时，直线l垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 所以y0≠0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），显然x1≠x2， 联立，两式相减整理得，即， 因为P为线段MN的中点，所以， 又kl＝kMN，kOP， 所以，即直线l和直线OP的斜率之积为． ②证明：当y0≠0时，由①知直线l的斜率为， 因为l′⊥l， 所以直线l′的斜率为，其方程为，即， 显然l′恒过定点（，0）， 当y0＝0时，直线l的方程为，此时l′为x轴，也过点（，0）， 综上所述，l′恒过定点（，0）． 32．（2025春•简阳市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点A（2，0），直线l与椭圆相交于不同于A点的P，Q两点，当直线l过坐标原点O时，直线AP，AQ的斜率乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线AP，AQ分别与直线x＝3相交于E，F两点，线段E，F的中点为M． ①若直线l过坐标原点，记OM的斜率为k1，直线l的斜率为k2，证明k1•k2为定值； ②若，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 【解答】解：（1）依题意，a＝2，设P（t，s），由直线l过坐标原点交椭圆于P，Q两点，得Q（﹣t，﹣s）， 因此，整理得，而，因此b2＝1， 因此椭圆方程为． （2）①证明：直线l过坐标原点，设P（x0，y0），Q（﹣x0，﹣y0）， 直线AP：，因此点，同理得， 由，得点，因此， 又，因此． ②当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， Δ＝64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）＞0，， 由①知，由，得， 整理得y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，因此（kx1+m）（kx2+m）+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0， 整理得， 因此，整理得12k2+16km+5m2＝0， 因此（2k+m）（6k+5m）＝0，若2k+m＝0，直线l方程为y＝kx﹣2k过点A（2，0），不符合题意， 若6k+5m＝0，直线l方程为，过定点； 当直线l的斜率不存在时，设直线l方程为x＝x3，P（x3，y3），Q（x3，﹣y3）， 因此，，而， 联立解得，此时直线l过点， 因此直线l过定点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $