精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高三上学期9月考试数学试卷

北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高三上学期9月考试数学试卷 2025.09 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 3. 复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2i D. 4i 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 是所在平面内的一点，满足，则（ ） A. 点P在线段BC上 B. 点P在线段BC的延长线上 C. 点P在线段AC上 D. 点P在线段AC的延长线上 7. 对于定义域为的连续函数，“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级计算方式为：，其中是声音强度（单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源B单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且.当声源同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级（ ） A. 0.47 B. 1.7 C. 3 D. 4.7 9. 在平面直角坐标xOy中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 10. 数集，其中，若，且，求（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 复数所对应的点在第______象限. 12. ，若，则______. 13. 对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______. 14. 集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则______；______. 15. 数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论： ①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1； ②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2； ③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”； ④若满足，则数列为“完备数列”； 其中正确结论的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求： （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）数列中最大项是第几项？（直接写出答案） 17. 已知，且的解集为. （1）求t，m的值； （2）若在上恒成立，求的最大值. 18. 数列满足，且 （1）写出数列的第二项及第三项； （2）判断数列是否为等差数列并说明理由； （3）证明：是数列为单调递减数列的充分不必要条件. 19. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线过原点，求的值. （2）当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 21. 已知集合是的非空子集.对于任意元素，.定义与之间的距离为，记为子集的特征值，其中表示有限集中的最小数. （1）当时，直接写出集合和的特征值； （2）令，且为奇数，分别求出集合中元素个数和的特征值，并说明理由； （3）设，并且，求证：（其中表示集合中元素个数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高三上学期9月考试数学试卷 2025.09 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】集合，若，则. 故选：A 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式得恒成立，结合各项命题的描述判断其真假，即可得. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立，A、B、D为假命题，C为真命题； 故选：C 3. 复数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2i D. 4i 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数及复数乘法运算化简，最后应用模长公式计算求解. 【详解】复数，则. 故选：B. 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：若，则，错； B：若时，，错； C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对； D：若，则，错. 故选：C 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性进行求解． 【详解】因为函数在定义域内均单调递增， 所以函数在定义域单调递增， 又， 所以不等式,即不等式的解集为． 故选：A 6. 是所在平面内的一点，满足，则（ ） A. 点P在线段BC上 B. 点P在线段BC的延长线上 C. 点P在线段AC上 D. 点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 7. 对于定义域为的连续函数，“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用特殊函数举反例结合充分性定义判断不充分条件，应用单调性及值域性质结合必要性定义判断必要性. 【详解】当时，函数在上的值域为即，但是函数在上不是单调递增， 所以“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的不充分条件； 若函数在上单调递增，则函数在上的值域为， 所以“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的必要条件； “函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件； 故选：B. 8. 在声学中，声音的强度级（单位：dB）常用于描述声音的强弱.强度级计算方式为：，其中是声音强度（单位：），是常数，表示人耳可听到的最小强度.设声源A单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源B单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且.当声源同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级（ ） A. 0.47 B. 1.7 C. 3 D. 4.7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，且，代入的表达式，化简整理，可得，即可得答案. 【详解】由题意，且， 所以 ， 所以. 故选：D 9. 在平面直角坐标xOy中，已知三点，若向量在上的投影向量相同，则的值为（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义得，再用向量的坐标运算可得． 【详解】∵向量，在向量上的投影向量相同， ∴， 得， 而，得， 得， 得， 得． 故选：B 10. 数集，其中，若，且，求（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，结合集合描述推得，进而有求得，即可求. 【详解】由题设，又且， 若，则，，， 此时中不存在元素，不合题设； 若，则，，， 此时中存在一个大于的元素，不合题设； 所以，则，，， 所以，可得且且， 所以，则. 故选：D 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 复数所对应的点在第______象限. 【答案】二 【解析】 【分析】 先求出复数，即可判断对应点所在象限. 【详解】∵， ∴复数所对应的点的坐标为，在第二象限. 故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数对应点的象限，属于基础题. 12. ，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由进行求解． 【详解】， 则， 而，得， 故答案为： 13. 对于定义域为D的函数及满足条件：对任意且，写出一个满足条件的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可得，在定义域内单调递减，在定义域内单调递增，分析即可得一个满足条件的函数. 【详解】取函数， 则， 所以，满足题意. 所以一个满足条件的函数. 故答案为：（答案不唯一） 14. 集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使.记符合要求的P的个数为.则______；______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据定义确定中元素的性质，应用列举法确定，进而分析时满足要求的元素个数，再应用组合数的性质求. 【详解】由题设，则中元素是中满足且的元素， 对于，则，则满足要求的元素有共3个，故有三种情况，即， 对于，则，则满足要求的元素有共个， 所以在不考虑顺序情况下共有对，故. 故答案为：3， 15. 数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”.给出下列四个结论： ①若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为1； ②若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为2； ③若满足，则对任意，数列均为“完备数列”； ④若满足，则数列为“完备数列”； 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据数列定义，结合得到矛盾判断①；应用特殊数列、判断②③；根据数列递推式及数列新定义判断④. 【详解】若正项等差数列为“完备数列”，则，公差，又为非负整数数列， 对任意，均存在，且，使， 若，则必有，故不成立，矛盾， 所以，①对； 若正项等比数列为“完备数列”，如，此时公比为1， 显然满足对任意，均存在，且，使，②错； 当，则，，，，，， 所以是以3为周期，即项周期性出现， 显然为奇数时，不可能成立，③错； 由，则数列为， 该数列中，相邻两项间缺失的自然数都可以由前项选出其中的项相加(同一项不重复相加)得到， 所以对任意，均存在，且，使，④对. 故答案为：①④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求： （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）数列中最大项是第几项？（直接写出答案） 【答案】（1）； （2）； （3）第3项最大. 【解析】 【分析】（1）由已知求公比，进而写出等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差数列前n项和公式求和； （3）由，分析得第项最大为奇数且，则，求出参数范围，即可得. 【小问1详解】 由题设且，则，则； 【小问2详解】 由题设，则； 【小问3详解】 由，其中为奇数时，为偶数时， 又，若第项最大为奇数且，则， 所以，整理得，则， 所以. 17. 已知，且的解集为. （1）求t，m的值； （2）若在上恒成立，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【小问1详解】 由题设方程的两个根为，且，则，可得； 【小问2详解】 由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上，， 故，即的最大值为. 18. 数列满足，且 （1）写出数列的第二项及第三项； （2）判断数列是否为等差数列并说明理由； （3）证明：是数列为单调递减数列的充分不必要条件. 【答案】（1）；； （2）数列不是等差数列；理由如下： 若数列为等差数列，则，且， 所以， 当时，， ，，不符合，所以数列不是等差数列； （3）证明： 当时，，所以数列是单调递减数列， 所以是数列为单调递减数列的充分条件； 当数列是单调递减数列，，所以，不一定满足， 所以是数列为单调递减数列的不必要条件； 所以是数列为单调递减数列的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）赋值法计算数列中的项； （2）应用反证法证明数列不是等差数列； （3）根据时得出单调性判断充分性，根据数列的单调性列式计算得出判断不必要条件即可证明. 【小问1详解】 数列满足，且， 令时，， 令时，； 【小问2详解】 数列不是等差数列，理由略； 【小问3详解】 略. 19. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线过原点，求的值. （2）当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【答案】（1）； （2）①过点的切线分别有1条、0条； ②2条，理由： 切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上有2个零点，即过点的切线有2条. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值； （2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得. 【小问1详解】 由题设，则，且， 所以曲线在处的切线为， 由切线过原点，则，可得， 所以； 【小问2详解】 由题设，则，设切点为且， 所以切线方程为，则， ①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条； 若切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上无零点，即没有过点的切线； ②略 20. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】（1）的极大值为0，无极小值． （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案； （2）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案. 【小问1详解】 当时，， 则， 由得，即，得， 由得，即，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 得在处取得极大值，，无极小值． 故的极大值为0，无极小值． 【小问2详解】 ， 当时，因为，所以， 在区间上单调递增，且， 因为在区间上有零点， 所以， 解得 ， 所以； 当时， 由，得， 当时，即，得函数在上单调递减， 而， 则在区间上没有零点， 当时，即， 由得，即，得， 由得，即，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而，     因为在区间上有零点， ， 得 令， 因为函数，在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又，所以， 综上所述，的取值范围是. 21. 已知集合是的非空子集.对于任意元素，.定义与之间的距离为，记为子集的特征值，其中表示有限集中的最小数. （1）当时，直接写出集合和的特征值； （2）令，且为奇数，分别求出集合中元素个数和的特征值，并说明理由； （3）设，并且，求证：（其中表示集合中元素个数）. 【答案】（1）； （2）中元素的个数为，理由如下： 由于集合中元素的每个分量取值有两种可能，所以集合中共有个元素， 对于任意，其分量和可能是奇数也可能是偶数， 由于每个分量都独立取值，所以分量和为奇数和偶数的个数相同， 因为中元素的分量和为奇数，所以中元素的个数为； 因为中元素的分量和为奇数，所以其两元素间的距离必为偶数， 因为，所以， 取（分量和为1），（分量和为1）， 此时，所以； （3）证明：任取，定义以为中心，半径为的“球”为与距离的元素的集合， 这个集合包括①本身，②与距离为的2025个元素（将的一个分量改变，其他分量不动，得到一个元素）， 共包含个元素. 如此得到个球，因为，所以这个球的球心距，两两不相交，这些球包含的元素都在中， 所以，又，所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据给出的定义求出距离； （2）因为集合中元素的每个分量取值有两种可能，所以其分量和是奇数还是偶数是等可能的，所以中元素个数是中元素个数的一半，分析其特征值的特点，由特例确定其特征值； （3）利用所有与中元素距离的元素的个数不大于集合中元素的个数证明. 【小问1详解】 对集合，， ，， 故； 对集合，， ，， ，， ， 故； 【小问2详解】 中元素的个数为，理由略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $