云南省玉溪市易门县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

云南省玉溪市易门县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2．（2分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣6 3．（2分）下列事件中，为必然事件的是（　　） A．明年农历“大雪”节气那天下雪 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 5．（2分）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（　　） A．90° B．120° C．240° D．360° 6．（2分）二次函数y＝2x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x+1）2+1 7．（2分）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（2分）如图，点P在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 9．（2分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 10．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 11．（2分）如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　） A． B． C． D． 12．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的两个点，且，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 13．（2分）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（　　） A．16πcm2 B．20πcm2 C．24πcm2 D．25πcm2 14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 15．（2分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝55°，则∠BOC的度数为 　 　 °． 17．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　 　 ． 18．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝12，则的长为 　 　 ． 19．（2分）如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）用适当的方法解下列方程． （1）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （2）x2﹣6x+3＝0． 21．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，在图中画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出B1坐标； （2）请画出△ABC绕A点逆时针旋转90°的△AB2C2． 22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 23．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 　 　 ； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 24．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示． （1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式； （2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 25．（8分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式． （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 26．（8分）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．请结合所学的数学知识解决下列问题． 已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1． （1）若m＝2，求顶点坐标、对称轴、该函数与x轴的交点坐标； （2）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点； （3）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值． 27．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点B是半圆ABC的中点，点D是上一动点（不与点A、C重合），连接BD交AC于点G． （1）如图1，过点B作BF∥AC，交DA延长线于点F，求证：BF与⊙O相切； （2）如图2，过点G作GH⊥DC，垂足为点H，若AC＝10，AD＝6，，求CG的长； （3）如图3，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由． 云南省玉溪市易门县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C C A A B C B C B 题号 12 13 14 15 答案 D B C C 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2．（2分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则a+2b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣6 【分析】把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0可得a+2b的值． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2分）下列事件中，为必然事件的是（　　） A．明年农历“大雪”节气那天下雪 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D．掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪，是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是必然事件，符合题意； D、掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 4．（2分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3 【分析】根据x2﹣4x+1＝0，配方得（x﹣2）2＝3进行作答即可． 【解答】解：原方程移项配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 5．（2分）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（　　） A．90° B．120° C．240° D．360° 【分析】根据旋转对称图形的性质判断即可． 【解答】解：由图可得：该图形被平分成三部分，每份的度数为360°÷3＝120°， ∴旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， ∴n的值不可能的是90°， 故选：A． 【点评】本题考查利用旋转设计图案，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．（2分）二次函数y＝2x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数解析式是（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2+1 D．y＝2（x+1）2+1 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将二次函数y＝2x2﹣1向右平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣1， 再向下平移2个单位长度后，所得函数的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移则是解题的关键． 7．（2分）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：从A口进入，出口有B、C、D三种情况，其中从C口出的只有1种结果， ∴从B、C、D三个出口中恰好在C出口出来的概率为， 故选：B． 【点评】本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 8．（2分）如图，点P在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积＝|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可． 【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积＝|k|， 即|k|＝2， 解得，k＝±4， 由于函数图象位于第一、三象限， 故k＝4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|． 9．（2分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【分析】首先根据2月份售价为23万元，月平均降价率是x可得出3月份的售价为23（1﹣x）万元，4月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据4月份售价为18.63万元可列出方程，进而可得出答案． 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2分）如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝5，圆心O到弦AB的距离OC＝3，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】利用点到直线的距离的定义得到OC⊥AB，则根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长． 【解答】解：∵圆心O到弦AB的距离OC＝3， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 在Rt△OAC中，∵OA＝5，OC＝3， ∴AC＝＝4， ∴AB＝2AC＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 11．（2分）如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为1m，圆心角最大角度为72°， ∴扇形的最大面积为：＝（m2）， 故选：B． 【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形的面积公式． 12．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的两个点，且，则S△ADE：S△ABC的值为（　　） A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4 【分析】根据条件，和公共角相等可证明△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长． 【解答】解：∵，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，是中考常见题型，比较简单． 13．（2分）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（　　） A．16πcm2 B．20πcm2 C．24πcm2 D．25πcm2 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据扇形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：由图中的数据可知：圆锥的底面直径为8cm，圆锥的高为3cm， 则圆锥的母线长为：＝5（cm）， ∴圆锥模型的侧面积为：×π×8×5＝20π（cm2） 故选：B． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 14．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点判断a，b，c的符号即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴﹣＞0， ∴b＞0， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握． 15．（2分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】连接OD、OE、OF，OA、OB、OC，由∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，得AC＝＝10，由切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r，则×6r+×8r+×10r＝×6×8＝S△ABC，求得r＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD、OE、OF，OA、OB、OC， ∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝＝10， ∵⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD＝OE＝OF＝r， ∵AB•OD+BC•OE+AC•OD＝AB•BC＝S△ABC， ∴×6r+×8r+×10r＝×6×8， 解得r＝2， 故选：C． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线并且列出面积等式是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝55°，则∠BOC的度数为 　110　 °． 【分析】直接由圆周角定理求解即可． 【解答】解：∵∠BAC＝55°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 17．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是：　（﹣3，2）　 ． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 18．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB＝12，则的长为 　4π　 ． 【分析】连接OA、OB，证出△ABO是等边三角形，再根据弧长公式即可求解． 【解答】解：连接AO，BO，如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA＝AB＝12， ∴⊙O的半径为12， ∴＝＝4π， 故答案为：4π． 【点评】此题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正六边形的性质，证出△ABO是等边三角形是解题的关键． 19．（2分）如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 　8　 ． 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：由条件可知：图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， 而边长为4的正方形面积为16， 所以图中的阴影部分的面积是8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）用适当的方法解下列方程． （1）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （2）x2﹣6x+3＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x（x﹣4）+x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， 则x﹣4＝0或x+1＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣1； （2）x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 则x﹣3＝， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 21．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）以原点O为对称中心，在图中画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出B1坐标； （2）请画出△ABC绕A点逆时针旋转90°的△AB2C2． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 点B1坐标为（﹣1，5）． （2）如图，△AB2C2即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围． （2）利用根与系数的关系得到2m+1＝0，解关于m的方程即可求解． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0， 解得：m＞﹣． ∴m的取值范围是m＞﹣． （2）根据题意得2m+1＝0， 解得m＝﹣， 故m的值为﹣． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式． 23．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示： 某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品． （1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 　　 ； （2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）恰好抽到“冬季两项”的概率是， 故答案为：； （2）“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁， 画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果， ∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：＝． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（8分）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示． （1）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式； （2）若水温从20℃开始加热至100℃，然后下降至20℃，在这一过程中，水温不低于40℃的时间有多长？ 【分析】（1）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解； （2）分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【解答】解：（1）设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上， ∴， 解得：k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是； （2）解：在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40， 解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，， 解得：x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是用待定系数法求反比例函数解析式． 25．（8分）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式． （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 【分析】（1）月销售利润＝每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可； （2）利用二次函数性质求出最值即可． 【解答】解：（1）根据题意，月销售量为500﹣10（x﹣50）＝（1000﹣10x）千克， ∴y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000， ∴月销售利润y与售价x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+1400x﹣40000； （2）y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝70时，y有最大值，最大值为9000． ∴当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质． 26．（8分）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．请结合所学的数学知识解决下列问题． 已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1． （1）若m＝2，求顶点坐标、对称轴、该函数与x轴的交点坐标； （2）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点； （3）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值． 【分析】（1）将m＝2代入得y＝（x﹣2）2﹣1，根据二次函数的性质，即可求解； （2）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可； （3）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答． 【解答】（1）解：当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， 抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2， 令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴该函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）； （2）证明：令y＝0， 则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0， ∴该二次函数图象与x轴有两个交点； （3）函数与x轴相交，交点的纵坐标为0， 当y＝0时，根据求根公式可得方程的解为：， 若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数， 则方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解都是正整数． ∴：为正整数，即是正整数， ∴m﹣1＝1或2，解得m＝2或3， ∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 27．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点B是半圆ABC的中点，点D是上一动点（不与点A、C重合），连接BD交AC于点G． （1）如图1，过点B作BF∥AC，交DA延长线于点F，求证：BF与⊙O相切； （2）如图2，过点G作GH⊥DC，垂足为点H，若AC＝10，AD＝6，，求CG的长； （3）如图3，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）连接OB，由⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点B是半圆ABC的中点，得出∠BAC＝∠ACB＝45°，OB⊥AC，再结合平行线的性质可推出结论； （2）证明△GHC∽△ADC，由，在Rt△CGH中，设GH＝3x，则DH＝3x，CH＝4x，CD＝7x，得出，，从而得出结果； （3）作BM⊥BE，使得BM＝BE，连接EM，CM．证明△ABE≌△CBM（SAS），得出AE＝CM，推出CM2＝EM2+EC2，进而可推出结论． 【解答】解：（1）连接OB， ∵⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点B是半圆ABC的中点， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，OB⊥AC， ∴∠ABO＝45°， ∵BF∥AC， ∴∠ABF＝45°， ∴∠FBO＝90°， ∴OB⊥FB， 又∵点B在圆上，OB是⊙O的半径， ∴BF与⊙O相切； （2）∵点B是半圆ABC的中点， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDB＝45°， ∴DH＝GH， ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴∠ADC＝∠GHC＝90°， ∴GH∥AD， ∴△GHC∽△ADC， ∵， 在Rt△CGH中，设GH＝3x，则DH＝3x，CH＝4x，CD＝7x， ∴，， ∴； （3）结论：AE2＝2DB2+CD2．理由如下： 如图，作BM⊥BE，使得BM＝BE，连接EM，CM． ∵∠ABC＝∠EBM＝90°， ∴∠ABE＝∠CBM， ∵BA＝BC，BE＝BM， ∴△ABE≌△CBM（SAS）， ∴AE＝CM， ∵∠BEC＝∠BDC＝∠BEM＝45°， ∴∠CEM＝90°， ∴CM2＝EM2+EC2， ∴EM2＝2BE2＝2BD2，EC＝CD， ∴AE2＝2DB2+CD2． 【点评】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $