专题10.1 平面及其基本性质 (10大题型） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.1 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念、表示、画法 1.平面的概念 （1）平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念，平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念。 （2）几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的. 2.平面的表示 （1）通常用希腊字母α，β，7，…表示，如平面α，平面β等. （2）用平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD。 （3）用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 3.平面的画法 （1）平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。 （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用_虚线画出来. 知识点二、空间点、直线与平面位置关系的符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 1.平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 作用 公理1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 确定直线在平面内；判定点在平面内 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 2.公理2的三个推论： 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 题型01：平面的概念及表示 【例1】下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【例2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3】若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例4】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 题型02：空间位置关系的画法 【例5】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【例6】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【例7】如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由． 【例8】如图，在长方体中，P为棱的中点． （1）画出平面PAC与平面ABCD的交线； （2）画出平面与平面ABCD的交线． 题型03：平面的基本性质及辨析 【名师点拨】1.确定平面的条件： （1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线. 2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 【例9】下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 【例10】下列说法，正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【例11】下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04：平面分空间的区域数量 【名师点拨】空间n个平面最多可将空间分成多少个部分 当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1.这n个平面两相交； 2.没有三个以上的平面交于一点； 3.这n个平面的交线任两条都不平行。 当n=1时，an=2；当n=2时，an=4 ； 当n=3时，an=8；当n=4时，an=15； n个平面最多可将平面分割成（n³+5n+6）个部分。 【例12】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【例13】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例14】一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测，个平面最多将空间分成（    ）部分. A．2n B． C． D． 【例15】金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 题型05：点线确定平面数量问题 【例16】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【例17】空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【例18】下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【例19】已知分别与异面直线都相交的两条直线，则这四条直线确定的平面有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．3或4 题型06：点、线共面问题（四点共面与多线共面） 【名师点拨】基本思路： ①证明四个点在两条平行线上 ②证明四个点在两条相交线上 ③证明三个点共线 ④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内 【例20】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B．C． D． 【例21】空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例22】以下四个命题中，正确命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【例23】到空间不共面的4个点距离都相等的平面有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．个 【例24】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【例25】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 题型07：证明三点共线 【名师点拨】基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上 【例26】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【例27】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【例28】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 题型08：三线共点问题 【名师点拨】基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上 【例29】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点． 【例30】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    题型09：由平面基本性质作截面图形 【名师点拨】作图原则 （1）两点确定一条直线. （2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点. （3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点. 【例31】用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【例32】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ） A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形 题型10：平面截面图形的有关计算 【例33】如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【例34】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例35】如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 一、填空题 1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 3．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 4.（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成____________部分． 5．（2022高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 6．（2024高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 7．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 8．（2021七宝中学期中）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______. 9．（2021上海交大附中期末）给出下列说法： ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是______ ． 10．（2023徐汇中学期中）下列说法中正确的有______个. ①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面； ③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上. 11．（2024上海实验高级中学期中）下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是______ . 12．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 . 二、选择题 13.（24-25高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 14.（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 15．（2023春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B．C． D． 16.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．（2024上海高二阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A在平面内，点B在平面外； （2）直线经过平面外的一点M； （3）直线既在平面内，又在平面内. 18．（2024大同中学高二开学考试）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 19.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 20．（2024复旦附中高二开学考试）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 21.（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题10.1 平面及其基本性质 知识点一、平面的概念、表示、画法 1.平面的概念 （1）平面是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的几何概念，平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念。 （2）几何中平面的特征：平面没有厚薄，是无限延展的. 2.平面的表示 （1）通常用希腊字母α，β，7，…表示，如平面α，平面β等. （2）用平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD。 （3）用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 3.平面的画法 （1）平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。 （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用_虚线画出来. 知识点二、空间点、直线与平面位置关系的符号与图形表示 点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l在平面α外 l⊄α 直线l，m相交于点A l∩m＝A 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 知识点三、平面的基本性质 1.平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 作用 公理1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 确定直线在平面内；判定点在平面内 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 2.公理2的三个推论： 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____ A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 题型01：平面的概念及表示 【例1】下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【答案】D 【分析】 根据平面的概念，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 【例2】用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据点、线以及线、面的符号表示，即得答案. 【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”， 即，， 故选：A 【例3】若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】 根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可. 【解析】因为直线和平面都是由点形成的， 所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为， 根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为. 故选：B 【例4】“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内， 符号表达为：，， 故选：C 题型02：空间位置关系的画法 【例5】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形. 【解析】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 【例6】用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】根据点线面的关系，将文字语言转化为符号语言和图形语言． 【详解】（1）符号语言表示：, 图形表示：如图 ； （2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图 . 【例7】如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由． 【答案】答案见解析. 【分析】找到交线上的两个公共点，根据基本事实3即可得到结果. 【详解】如图所示，在平面内延长，交的延长线于一点，则平面．因为平面，所以平面，所以是平面与平面的一个公共点．又是两平面的一个公共点，所以为两平面的交线． 【例8】如图，在长方体中，P为棱的中点． （1）画出平面PAC与平面ABCD的交线； （2）画出平面与平面ABCD的交线． 【分析】 (1)平面PAC与平面ABCD的交线为AC； (2)延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线. （1） 平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图(1). （2） 延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图(2). 题型03：平面的基本性质及辨析 【名师点拨】1.确定平面的条件： （1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线. 2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 【例9】下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个互异平面和有三个不共线的交点 【解题思路】根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误； 对于B，空间四边形不是平面图形，B错误； 对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确； 对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误. 故选：C. 【例10】下列说法，正确的有（    ） A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误， 对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误， 对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确， 故选：D 【例11】下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 题型04：平面分空间的区域数量 【名师点拨】空间n个平面最多可将空间分成多少个部分 当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。 1.这n个平面两相交； 2.没有三个以上的平面交于一点； 3.这n个平面的交线任两条都不平行。 当n=1时，an=2；当n=2时，an=4 ； 当n=3时，an=8；当n=4时，an=15； n个平面最多可将平面分割成（n³+5n+6）个部分。 【例12】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【解析】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 【例13】三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B. 【例14】一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测，个平面最多将空间分成（    ）部分. A．2n B． C． D． 【答案】D 【解析】由一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，可以排除两个选项.四个平面时，可以考虑在三个平面最多将空间分成八部分的情况下再加一个平面，则第四个平面最多可以将该八部分中的七个分为两部分，所以四个平面最多将空间分成十五部分，可以排除C选项. 故选：D. 【例15】金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 【解题思路】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交分析求解. 【解答过程】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块， 把四面进行极限倾斜相交，如图所示， 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样， 多出来的空间是交叉的切割出来的空间， 在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面， 如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间， 即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间， 但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个， 即标记“×”的位置， 所以在的基础上加减，即结果是. 故答案为：. 题型05：点线确定平面数量问题 【例16】空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 【例17】空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定 个平面． 【答案】11 【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解. 【详解】记5个共面的点分别为 ，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有 共有10 个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面， 故答案为：11 【例18】下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 【例19】已知分别与异面直线都相交的两条直线，则这四条直线确定的平面有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．3或4 【答案】D 【分析】与异面直线都相交的两条直线中，；；；分别相交，可确定4个平面，但不能相交，也不平行，不能确定一个平面，故知可确定4个平面. 【详解】根据两条相交直线可确定一个平面知，；；；分别确定一个平面， 若平行或相交时，四线共面，与是异面直线矛盾，故是异面直线， 所以这四条直线确定的平面有4个. 当b为正方体底面对角线 a为正方体竖直侧棱 c，d为两条底面的棱时 确定三个平面 故选:D 【点睛】本题主要考查了异面直线的概念，两条相交直线确定一个平面，属于容易题. 题型06：点、线共面问题（四点共面与多线共面） 【名师点拨】基本思路： ①证明四个点在两条平行线上 ②证明四个点在两条相交线上 ③证明三个点共线 ④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内 【例20】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可. 【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 【例21】空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】在正方体中，举例即可. 【解析】如图，在正方体中， 三条直线两两相交，但不共面； ，都在平面中，但不相交. 所以空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 【例22】以下四个命题中，正确命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】A 【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【解析】A选项，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，所以A选项正确. B选项，如下图，共面，共面，但不共面，所以B选项错误. C选项，如下图，共面，共面，但异面，所以C选项错误. D选项，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，所以D选项错误. 故选：A 【例23】到空间不共面的4个点距离都相等的平面有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．个 【答案】A 【分析】将空间不共面的四个点看作四面体的顶点，分两类情况即可求解. 【解析】将空间不共面的四个点看作四面体的顶点， 第一类：平行于底面，且过测棱的中点，此时由4种情况符合要求，如图：      第二类：一条棱的中点于底面的一条中位线所成的平面，此时有3种情况符合要求，如图：    故总共有7种情况符合要求. 故选：A 【例24】在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】C 【分析】 由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误. 【解析】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: C. 【例25】如图，多面体ABCGDEF中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 【答案】B，C，F，G四点共面，证明见解析 【分析】要判断四点共面，只要判断三点共面，再证明第四个点在平面上，或者是证明四点在两条平行的直线上，选择后者，进行证明． 【详解】【证明】取DG中点P，连接PA，PF，如图示： 在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE． 又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF ∴四边形ABFP为平行四边形， ∴AP∥BF 在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG， ∴B，C，F，G四点共面． 题型07：证明三点共线 【名师点拨】基本思路：寻找一条特殊线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上 【例26】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【解析】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 【例27】如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是 ．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论. 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 【例28】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 【证明】如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1， ∴B，Q，D1三点共线． 题型08：三线共点问题 【名师点拨】基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上 【例29】如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行关系可判断四边形BCQP为梯形，进而可证梯形的腰交于一点，根据两平面相交，可判断交点在交线上，即可说明三线共点. 【详解】如图，连接PQ． 由，，得，且． 又， ∴，且， ∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，． 又平面，且平面， ∴平面，且平面， ∴R在平面与平面的交线上，即， ∴直线，BP，CQ相交于一点． 【例30】如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【分析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 【详解】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面平面， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 题型09：由平面基本性质作截面图形 【名师点拨】作图原则 （1）两点确定一条直线. （2）只有同一个平面的两条直线的才会相交，作出的交点才是实际的交点. （3）如果已知两个不重合平面有一个共公点，则该两个平面的交线必过此公共点. 【例31】用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】B 【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案． 【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条． 故选：B． 【例32】如下图所示，在正方体中，如果点E是的中点，那么过点、B、E的截面图形为（     ） A．三角形   B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可. 【详解】分别取的中点，连接， 如图即为过点、B、E截正方体所得的截面图形， 由题意可知：且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以, 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为菱形， 故选：. 题型10：平面截面图形的有关计算 【例33】如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点，连接，然后利用平面的性质可得过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形，从而可求出截面的面积. 【详解】连接，取的中点，连接， 因为是的中点，所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以过B、D、N的平面截该正方体所得截面为梯形， 连接交于，连接交于，连接， 因为， 所以，所以梯形为等腰梯形， 所以， 所以梯形的面积为， 故选：B    【例34】如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长. 【解析】延长，与直线相交于， 连接与分别交于点，连接， 则五边形即为截面， 正方体的棱长为2，点分别是的中点， 所以， 由得， ，， 所以分别为靠近的三等分点，故， 所以由勾股定理得， ， ， 所以的周长为. 故选：C. 【例35】如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 一、填空题 1．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【详解】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【分析】根据确定平面的依据，即可求解. 【解析】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 3．（22-23高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点 直线l（用集合符号表示）． 【答案】 【分析】利用点线面的位置关系判断即可得出结论. 【解析】因为既在平面内又在平面内，所以在两平面的交线上，即; 因为点平面，点平面，平面平面直线l，所以 故答案为： 4.（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成____________部分． 【解题思路】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【解答过程】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    5．（2022高二下·上海闵行·开学考试）在空间四点中，三点共线是四点共面的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分不必要条件的概念，结合空间点面位置关系判断即可. 【详解】空间四点中，若有三点共线，则第四点不论在线上，还是在线外，四点一定共面；反之，若空间四点共面，不一定有三点共线， 所以，在空间四点中，三点共线是四点共面的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 6．（2024高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定 平面． 【答案】1 【分析】根据平面的事实1即可判定. 【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上， 根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 故答案为：1. 7．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面基本性质即得答案. 【详解】由，得，而，，则，又， 所以. 故答案为： 8．（2021七宝中学期中）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______. 【答案】1或4 【分析】利用三个不共线的点可以确定一个平面，对第四个点分类为：（1）第四个点在此平面内；（2）第四个点不在此平面内；分为这两种情况讨论即可 【详解】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面. 故答案为：1或4 9．（2021上海交大附中期末）给出下列说法： ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面． 其中正确说法的序号是______ ． 【答案】④ 【分析】利用正方体可判断①②的正误，利用公理3及其推论可判断③④的正误. 【详解】如图，在正方体中，，， 但是异面，故①错误. 又交于点，但不共面，故②错误. 如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误. 如图，因为，故共面于， 因为，故，故即， 而，故，故即即共面，故④正确. 故答案为：④ 10．（2023徐汇中学期中）下列说法中正确的有______个. ①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面； ②一个平行四边形确定一个平面； ③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上. 【答案】2 【分析】对于①举出反例，正方体的一个顶点处的3条棱；根据两条平行线可以确定一个面可判断②；根据等角定理可判断③；直接根据公理可判断④. 【详解】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确； 由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确； 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确； ，，且，则A在上，满足平面的基本性质，所以④正确， 即正确的个数有2个， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平面的基本性质的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查. 11．（2024上海实验高级中学期中）下列四个命题： ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是______ . 【答案】③ 【分析】由平面的基本性质及推论可判断①②③，根据空间线线关系，可判断④. 【详解】①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误； ②经过空间不共线三点，有且只有一个平面，故错误； ③过两平行直线有且只有一个平面，故正确； ④在空间两两相交，且交点不重合的三条直线必共面；当三线共点时，三线可能不共面，故错误. 故正确命题的序号是③. 故答案为：③. 【点睛】本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，空间线线关系，难度不大，属于基础题 12．（22-23高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 . 【答案】 【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长. 【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.    故答案为： 二、选择题 13.（24-25高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（    ） A．四边形一定是平面图形 B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面 C．四边形四边上的中点可以确定一个平面 D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面 【解题思路】利用平面的基本性质逐一判断即可． 【解答过程】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误； 对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误； 对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确； 下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形． 证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点， 连接，，， 由，为，，则，且，同理，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形． 对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误． 故选：C． 14.（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【解题思路】根据平面基本事实可得正确的选项. 【解答过程】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 15．（2023春·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面． 故选：D 16.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【解答过程】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D. 三、解答题 17．（2024上海高二阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A在平面内，点B在平面外； （2）直线经过平面外的一点M； （3）直线既在平面内，又在平面内. 【答案】（1），如图.（2），如图.（3），如图. 【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可. 【详解】（1）， 如图： （2）， 如图： （3）或， 如图： 【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题. 18．（2024大同中学高二开学考试）如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点． 【答案】证明见解析 【分析】连接EF，GH，先证明，且，从而得到EH与FG相交，设交点为P，再证明，进而即可结论． 【详解】如图所示，连接EF，GH， 由H，G分别是AD，CD的中点，则，且， 又，则，且， 所以，且，所以EH与FG相交，设交点为P， 又，平面ABD，则平面ABD， 同理平面BCD， 又平面平面，则， 所以直线相交于一点． 19.（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【解题思路】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【解答过程】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴ . ∵四边形为平行四边形，∴ ， ∴ ， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴ ，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 20．（2024复旦附中高二开学考试）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点 ，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面 ，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 21.（24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【解题思路】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【解答过程】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $