4.4 等腰三角形 第3课时 等边三角形 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学上册

第4章 图形的轴对称 平面图形 轴对称 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 轴对称及其基本性质 轴对称图形 线段、角、等腰三角形的轴对称性 轴对称图形 图形的变化 温故而知新 1.等腰三角形的性质定理1 几何语言：在△ABC中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高互相重合。(简写成“三线合一”） 2.等腰三角形的性质定理2 温故而知新 几何语言：在△ABC中， ∵AB=AC，AD平分∠BAC ∴AD⊥BC,BD=CD（三线合一） 三个角都相等的三角形是等边三角形。 探究一 等腰三角形的判定 概括与表达 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“等角对等边”)。 等边三角形的判定定理： 创设情境 导入新课 什么叫作等边三角形？等边三角形的性质是什么？ 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 怎样判断一个三角形是等边三角形？ 三边都相等 ，每个角都是60°。 青岛版数学 八年级上册 第4章 图形的轴对称 4.4 等腰三角形 第3课时 等边三角形 探究一 等边三角形的性质 思考与交流 (3)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 如图，△ABC是等边三角形，它有什么性质? A B C 等边三角形的性质: (1)等边三角形三边相等:AB=AC=BC 三个内角都相等:∠A=∠B=∠C=60°； (2)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴， 三条对称轴的交点称为“中心”； O 例1.（1）如图，△ABC是等边三角形,AD⊥BC, AE= AD, 则∠ADE= 。 E 75° A B C D E 例题讲析 （2）如图,在等边△ABC中,AB=4cm,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上，且∠E=30°,则CE的长为 。 A B C D E 2cm 1.如图,△ABC是等边三角形,D是AC边上的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD，DF⊥BE,垂足是F,BF和EF相等吗？请说明理由。 A B C D E 巩固练习 如图，在△ABC中,AB=AC。再添加一个什么条件,就可判定△ABC 为等边三角形? 不论顶角还是底角,只要有一个角为60°,就可判定△ABC 为等边三角形。 如何证明？ 探究二 等边三角形的判定 思考与交流 已知，如图，在△ABC中,AB=AC，并且∠B=60°。求证△ABC 为等边三角形? 证明:∵AB=AC,∠B=60°, ∴∠C=∠B=60° ∴∠A=180°-∠C-∠B=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴AB=BC=AC ∴△ABC 为等边三角形 探究二 等边三角形的判定 已知，如图，在△ABC中,AB=AC，并且∠A=60°。求证△ABC 为等边三角形? 证明:∵AB=AC,∠A=60° ∴∠C=∠B=（180°-60°）=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴AB=BC=AC ∴△ABC 为等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 探究二 等边三角形的判定 概括与表达 等边三角形的判定定理： 几何语言：在△ABC中, ∵AB=AC，∠A=60°或∠B=60° 或∠C=60°。 ∴△ABC 为等边三角形 例2、已知,在△ABC 中，∠A=60°,( ). 请你 在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形. ∠B=60°(或∠C=60°) AB=BC、AC =BC、AB =BC=AC 例题讲析 2.下列条件中,哪些能说明△ABC 为等边三角形? (1)∠A=∠B=60°; (2)∠B+∠C=120°; (3)∠B=60°,AB=AC; (4)∠A=60°,AB=AC。 巩固练习 探究三 含30°角的直角三角形的性质 如图，等边△ABC中，AB=a.对折等边△ ABC， AD为折痕，展开铺平. ∠ADB=∠ADC= ； △ABD,△ADC是 三角形； ∠ BAD=∠CAD= ； BD= 。 发现: BD= AB. A B C D 90° 直角三角形° 30° 探究三 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么所对的直角边与斜边数量上有怎样的关系? 思考与交流 结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如何证明？ 已知，如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°。 求证：BC= AB。 探究三 含30°角的直角三角形的性质 D 证明:如图,延长BC到D,使CD=BC 连接AD. ∵∠ACB=90°，∠A=30° ∴∠ACD=∠ACB=90°, ∠B=60° 如何构造等边三角形？ 在△ABC 和△ADC 中, BC=DC, ∠ACB=∠ACD, AC=AC, ∴△ABC≌△ADC(SAS)。 ∴∠B=∠C= 60°, ∴△ABD 是等边三角形 ∴ BD=AB ∴ BC=BD=AB 在直角三角形中,30°角所对的 直角边等于斜边的一半。 探究三 含30°角的直角三角形的性质 概括与表达 含30°角的直角三角形的性质： 几何语言：在Rt△ABC中, ∵∠C=60°,∠A=30° ∴BC=AB . 例3、（1）如图,在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°, CD⊥AB,垂足为D,AB=4,则AD的长为 ( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 A C D B 例题讲析 A (2)在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分 AB，交BC 于点E,BE=6 cm,则AC的长为 cm. A B E D C 3 3.如图,∠AOB=30°,OC=6,点D 是射线OA 上一个动点,线段CD 的最小值是多少? 巩固练习 如何用一张长方形纸片折出一个等边三角形? 探究与挑战 本节课你有什么收获？ 1、下列几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为120°的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．4个     B.3个    C.2个     D.1个 2、一个等腰三角形的顶角是60°，若它的腰长为6cm，则底边长为 cm． 3、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形， 求证：BE＝DC A D B C E $