精品解析：陕西省西安市西咸新区泾河新城中学大学区2020～2021学年九年级上学期期中考试数学试卷

泾河新城中学大学区2020-2021学年第一学期期中考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴或， 故选：C 2. 如图，、是菱形的对角线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．设、相交于点，根据菱形的性质得到是等腰三角形，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图，设、相交于点， ∵、是菱形的对角线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 故选：A 3. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A. a=6，b=4，c=10，d=5 B. a=3，b=7，c=2，d= 9 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=4，b=11，c=3，d=2 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A．6×5≠10×4，故本选项错误； B．3×7≠2×9，故本选项错误； C．4×3=2×6，故本选项正确； D．4×3≠11×2，故本选项错误； 故选C． 考点：比例线段． 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　） A. 3 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是矩形，∠AOD＝60°，可得△AOD是等边三角形，再根据勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB， ∵∠AOD＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝OD＝AD＝3， ∴BD＝2OD＝6， ∴AB＝＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质及等边三角形、勾股定理．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 5. 某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲤鱼的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率，设草鱼的数量为条，可得到关于的分式方程，求解可得到草鱼的数量，进而可求得答案． 【详解】因为通过多次捕捞试验，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，所以，可以把捕捞到草鱼的频率作为捕捞到草鱼的概率． 设草鱼的数量为条． 根据题意，得 ． 解得， 经检验是所列方程的解且符合题意， 所以鱼塘捕捞到鲫鱼的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率、实际问题与分式方程，牢记用频率估计概率的条件（对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 6. 如图，已知，若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形的性质，即可求出CD的长度． 【详解】解：∵，， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质进行解题． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换的性质，直接根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或进行解答． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，将△放大为，点， ∴点的坐标为或． 故选：D． 8. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 9. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到，，，再证明，利用相似的性质得到，证明，利用相似比得到，所以，然后计算的值． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为4，点在对角线上，且，，垂足为，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，根据正方形的对角线平分一组对角可得，根据正方形边长为4可计算的长，可得的长，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解． 【详解】解：在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】直接将x=﹣3代入已知方程中，得到关于k的方程，然后解方程即可求得k值． 【详解】解：将x=﹣3代入方程中， 得：2×9+3k﹣24=0， 解得：k=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义、解一元一次方程，理解一元二次方程的根满足方程是解答的关键． 12. 如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，从而计算出EF的值,即可得到DF的值． 【详解】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2， ∴，即， ∴=， ∴EF=2， ∵DE=2 ∴DF=DE+EF=2+2=4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 13. 自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机选择2人去支援湖北，那么乙被选中的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，先画树状图，再分析得共有6种等可能的结果，其中乙被选中的结果4种，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中乙被选中的结果4种， 乙被选中的概率为， 故答案为： 14. 如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为，，则线段的长度的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键在于连接，判断四边形是矩形． 连接，判断四边形是矩形，得到，由垂线段最短可得时线段的长度最小，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴ 由垂线段最短可得时线段的长度最小 ∵， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把原方程整理得，再运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：原方程整理得， ∴， ∴， 则，即 ， ，． 16. 如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，若AB＝10m，AC＝12m，求BD的长． 【答案】16m 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理，先求出BO的长，然后再求BD. 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝6，BD＝2OB． ∴在Rt△AOB中， ∴BD＝2OB＝16． 【点睛】熟悉菱形的性质定理和勾股定理是解题的关键． 17. 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出的值大约是多少？ 【答案】的值大约是16 【解析】 【分析】根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 经检验，是分式方程的解． 答：的值大约是16． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识．先证明四边形是平行四边形．再证明，即可得到结论． 【详解】略 19. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【解析】 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 20. 如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 【答案】15.6米． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，过点作于点，交于点，得出，进而求出的长，进而求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． 由题意可得，四边形、都是矩形，， ， 又， ， ， 由题意可得： 米，米，（米）． ， （米）， （米）． 答：旗杆的高度为15.6米． 21. 如图，在中，，为延长线上一点，，过作，交的延长线于点，．求长度． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，由平行线的性质推出，而，得到，又，即可证明，得到，代入有关数据即可求得长度． 【详解】解：， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， （负值已舍去）， 即的长度为2． 22. 已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长． 【小问1详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，方程为， 解得， 即菱形的边长为； 【小问2详解】 解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为2， ∴，2是方程的一个根， ∴， ∴解得， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为5． 23. 在甲、乙两个不透明的口袋中装有质地、大小相同的小球，甲袋中有2个白球，1个黄球和1个红球：乙袋中装有1个白球，1个黄球和若干个红球，从乙盒中任意摸取一球为红球的概率是从甲盒中任意摸取一球为红球的概率的2倍． （1）乙袋中红球的个数为　． （2）若摸到白球记1分，摸到黄球记2分，摸到红球记0分，小明从甲、乙两袋中先后分别任意摸取一球，请用树状图或列表的方法求小明摸得两个球得2分的概率． 【答案】（1）2；（2）小明摸得两个球得2分的概率为． 【解析】 【分析】(1)首先设乙袋中红球的个数为x个，根据题意可得方程：，解此方程即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明摸得两个球得2分的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】(1)甲袋中摸出红球的概率为，则乙袋中摸出红球的概率为， 设乙袋中红球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的解， ∴乙袋中红球的个数是2个， 故答案为2； (2)画树状图得： ∵共有16种等可能的结果， 又∵摸到白球记1分，摸到黄球记2分，摸到红球记0分， ∴小明摸得两个球得2分的有5种情况， ∴小明摸得两个球得2分的概率为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，列表法或树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． （1）试说明； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论； （3）若边上存在点O，使四边形是正方形，直接猜想的形状，不用证明你的结论． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可证：， ． （2） 解：当点运动到中点处时，四边形是矩形． 如图，， 四边形为平行四边形， 平分， ， 同理，， ， 四边形是矩形． （3）当是直角三角形且时，在边上存在点（为其中点），使四边形是正方形 【解析】 【分析】（1）根据平分，，找到相等的角，即，再根据等边对等角得，同理，可得． （2）利用矩形的判定解答，即“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”． （3）利用正方形判定“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可在求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当是直角三角形且时，在边上存在点（为其中点），使四边形是正方形． 证明：， ∴， 平分， ， ， ， 同理可得：， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， 矩形是正方形． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 如图1，在中，，，在斜边上取一点，过点作，交于点，现将绕点旋转一定角度到如图2所示的位置（点在的内部），使得． （1）如图2，①求证：； ②若，，求的长． （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，，求的值． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定进行解答即可；②根据相似三角形的判定和性质、勾股定理进行解答即可； （2）利用相似三角形的判定和性质、勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：①， ． 由旋转知，， ． ②在中，， ． 由①知，， ． ， ， ． ， ， ，． ， ， 在中，， 根据勾股定理得，， 在中，， ． 【小问2详解】 由旋转知，， ， ． ． ，， ，． ， ． ， ， ． 在中，， 在中，， ， （舍）或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泾河新城中学大学区2020-2021学年第一学期期中考试 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 如图，、是菱形的对角线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A. a=6，b=4，c=10，d=5 B. a=3，b=7，c=2，d= 9 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=4，b=11，c=3，d=2 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　） A. 3 B. 2 C. 3 D. 6 5. 某鱼塘里养了条鲤鱼，若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，则该鱼塘捕捞到鲤鱼的概率约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 9. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点在对角线上，且，，垂足为，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值是__________． 12. 如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________． 13. 自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机选择2人去支援湖北，那么乙被选中的概率为________． 14. 如图，在中，，，为斜边上一动点，，，垂足分别为，，则线段的长度的最小值为_____． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，若AB＝10m，AC＝12m，求BD的长． 17. 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出的值大约是多少？ 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．求证：四边形是菱形． 19. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 20. 如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 21. 如图，在中，，为延长线上一点，，过作，交的延长线于点，．求长度． 22. 已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 23. 在甲、乙两个不透明的口袋中装有质地、大小相同的小球，甲袋中有2个白球，1个黄球和1个红球：乙袋中装有1个白球，1个黄球和若干个红球，从乙盒中任意摸取一球为红球的概率是从甲盒中任意摸取一球为红球的概率的2倍． （1）乙袋中红球的个数为　． （2）若摸到白球记1分，摸到黄球记2分，摸到红球记0分，小明从甲、乙两袋中先后分别任意摸取一球，请用树状图或列表的方法求小明摸得两个球得2分的概率． 24. 如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． （1）试说明； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论； （3）若边上存在点O，使四边形是正方形，直接猜想的形状，不用证明你的结论． 25. 如图1，在中，，，在斜边上取一点，过点作，交于点，现将绕点旋转一定角度到如图2所示的位置（点在的内部），使得． （1）如图2，①求证：； ②若，，求的长． （2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $