精品解析：河南省南阳市西峡县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷

2020-2021学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 小明同学在做掷骰子游戏实验中，投掷了100次正方体骰子，不同点数出现的情况如下表所示： 出现点数 1 2 3 4 5 6 次数 20 15 13 19 16 17 则出现点数5的频数与频率分别是（　　） A. 15和 B. 16和 C. 16和 D. 16和100 2. 的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 3 3. 运算的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 将多项式分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则的值等于（　　） A. 8 B. 4 C. 16 D. 32 6. 已知，按下列方法作图： ①以点O为圆心，以适当长度为半径作弧分别交、于K、L； ②分别以K、L为圆心，以大于长度为半径作弧相交于点P； ③做射线； ④以点P为圆心，以适当的长度为半径作弧交于点A、B； ⑤分别以A、B为圆心，以适当长度为半径作弧相交于点Q； ⑥作直线，交于C． 若，，，设，则x的取值范围（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A. B. C. 24 D. 25 8. 已知的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足等式，则下列关于形状的判断正确的是(　　) A. 是直角三角形，是直角， B. 是直角三角形，是直角， C. 是等腰三角形，底边长为c， D. 是等腰三角形，底边长为a， 9. 在数轴上按如图的方法作点，已知点与点关于原点对称，点是线段的中点，则点表示的数是（　　） A. B. C. D. 1﹣ 10. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图，有一池塘，现要测量池塘两端A、B的距离，连接并延长到D，使，使，连接．测量出______（用字母表示）的长度就知道了A、B之间的距离． 13. 已知．则______． 14. 我们知道：任何一个无限循环小数都可以化为分数．根据下列方法解答后面的问题． 把化为分数，设①，②，得，所以，则______． 15. 已知，则______． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 全市开展的“体育、艺术”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：[某项目]，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求本次调查共抽取多少学生？ （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中B所对的圆心角的度数． 18. 如图，已知线段a、h． （1）作等腰，使底边长边上的高（不写作法，保留作图痕迹）． （2）当时，求所作的等腰腰上的高． 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 如图，，，，证明． 21. (1)已知，求的值． (2)已知，求a、b的值． 22. 阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； （2）如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 23. （1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年河南省南阳市西峡县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 小明同学在做掷骰子游戏实验中，投掷了100次正方体骰子，不同点数出现的情况如下表所示： 出现点数 1 2 3 4 5 6 次数 20 15 13 19 16 17 则出现点数5的频数与频率分别是（　　） A. 15和 B. 16和 C. 16和 D. 16和100 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，频数是指每个对象出现的次数，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．根据频数和频率的定义求解． 【详解】解：出现点数5的频数是：16， 出现点数5的频率是：． 故选：B． 2. 的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】∵，而9的平方根是， ∴的平方根是. 故选D. 3. 运算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的除法，积的乘方和幂的乘方．先计算积的乘方，幂的乘方，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选C． 4. 将多项式分解因式的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 5. 已知，则的值等于（　　） A. 8 B. 4 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．由题意可得，再利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的运算法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 6. 已知，按下列方法作图： ①以点O为圆心，以适当长度为半径作弧分别交、于K、L； ②分别以K、L为圆心，以大于长度为半径作弧相交于点P； ③做射线； ④以点P为圆心，以适当的长度为半径作弧交于点A、B； ⑤分别以A、B为圆心，以适当长度为半径作弧相交于点Q； ⑥作直线，交于C． 若，，，设，则x的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理. 利用基本作图可判断平分，于C点，过P点作于H点，如图，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得到，再根据垂线段最短得到，由于D点运动到N点时最大，从而得到的范围． 【详解】解：由作法得平分，于C点， 过P点作于H点，如图， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点D是线段上的动点， ∴， 即． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A. B. C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故选：C． 8. 已知的三边长分别是a、b、c，且a、b、c满足等式，则下列关于形状的判断正确的是(　　) A. 是直角三角形，是直角， B. 是直角三角形，是直角， C. 是等腰三角形，底边长为c， D. 是等腰三角形，底边长为a， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，勾股定理及其逆定理． 先利用绝对值和偶次方的非负性可得，，从而可得，，进而可得，，然后利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而利用勾股定理可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 在数轴上按如图的方法作点，已知点与点关于原点对称，点是线段的中点，则点表示的数是（　　） A. B. C. D. 1﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 利用勾股定理确定的值，即的长，再求出B点表示的数，点D为的中点，利用线段的中点的性质确定D点表示的数． 【详解】解：根据图可求出， ∴， ∵点B与点A关于原点O对称， ∴点B表示的数为， ∵点D是线段的中点， ∴点D表示的数是． 故选：A． 10. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根的意义，算术平方根的性质和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质是解题的关键．利用立方根的意义，算术平方根的性质和绝对值的意义化简运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：5． 12. 如图，有一池塘，现要测量池塘两端A、B的距离，连接并延长到D，使，使，连接．测量出______（用字母表示）的长度就知道了A、B之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 【详解】解：在和中， ， ∴（）， ∴． 故答案为：． 13. 已知．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，立方根，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先将展开，根据，可得，求出a和b的值，进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14. 我们知道：任何一个无限循环小数都可以化为分数．根据下列方法解答后面的问题． 把化为分数，设①，②，得，所以，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解例题的解题思路是解题的关键．仿照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：设①， ∴②， 得： ， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知，则______． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值． 根据已知可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1000． 三、解答题（8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算． （1）直接利用完全平方公式化简、再利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：． 17. 全市开展的“体育、艺术”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：[某项目]，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求本次调查共抽取多少学生？ （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中B所对的圆心角的度数． 【答案】（1）100人 （2） 补全条形统计图为： ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据条形图和扇形图中给出的D的相关数据，计算出抽取的学生数； （2）根据抽取学生数、A、C、D的人数，先计算出B的人数，再补全条形统计图； （3）B的人数抽取人数B占抽取学生的百分比，B占抽取学生数的百分比所对圆心角的度数． 【小问1详解】 解：调查的人数是：（人）． 【小问2详解】 解：喜欢B的人数是：（人）； 【小问3详解】 解：B占调查学生的百分比为：． 所以B所对的圆心角为：． 答：扇形统计图中B所对的圆心角的度数为． 18. 如图，已知线段a、h． （1）作等腰，使底边长边上的高（不写作法，保留作图痕迹）． （2）当时，求所作的等腰腰上的高． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质． （1）先作，再作的垂直平分线，垂足为D，然后在垂直平分线上截取，则满足条件； （2）设等腰腰上的高为m，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，则利用面积法得到关于m的方程，求出m即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：设等腰腰上的高为m， ∵为边上的高，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即等腰腰上的高为． 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．先将中括号内的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式，即可化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，，，，证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 由，推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据“等边对等角”证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21. (1)已知，求的值． (2)已知，求a、b的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． (1)根据完全平方公式整体代入计算即可； (2)由完全平方公式求出，从而求出a、b的值． 【详解】解：(1)∵， ∴， ∴， 即； (2)∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 22. 阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； （2）如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 【答案】（1）4，如图所示，线段与直线的交点 （2）如图所示；先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换、最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长，求出的长度即可得到结论． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． 【小问2详解】 解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 故答案为：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 23. （1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由于点D，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，则是等腰三角形； （2）延长交于点E，则，得，，， ，即可推导出，得，所以． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $