13.1第3课时　直角三角形的判定课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第13章　勾股定理 13.1　勾股定理及其逆定理 第3课时　直角三角形的判定 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 你想知道这是什么道理吗? 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个 工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住 第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处. 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角? 导入新课 讲授新课 直角三角形的判定 一 问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. 试一试 可以发现，按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角三角形. 3 这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？ B′ C′ 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°. A B C A′ 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90° A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²， 即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. 典例精析 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方. 例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 解:(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625， b2=252 =625， ∴a2+c2=b2. ∴以7, 25, 24为边长的 三角形是直角三角形. (2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92 =121+81 =202， a2=132 =169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的 三角形不是直角三角形. 例 3 一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 7 在△BCD中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于 1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 先确定AB、BC、AC、 的大小 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n²-1,2n,n²+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数. 勾股数 二 例5 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 一定是直角三角形 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 课堂小结 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 1. 下列各组数中,是勾股数的为 (　B　) A. 0.5、1.2、1.3 B. 9、12、15 C. 、 、 D. 32、42、52 2. 在△ABC中,BC2-AC2=AB2.若∠B=25°,则∠C的度数为 (　B　) A. 35° B. 65° C. 75° D. 90° B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 木工师傅要做一块直角三角形木材,做完后他测得三边的长分别为60cm、25cm、65cm,则这块木材 　合格　(填“合格”或“不合格”).  4. 如图,以△ABC的三边为边向外作正方形,依次得到的正方形的面积为36、64、100,则△ABC的面积是 　24　.  合格　 24　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图,在锐角三角形ABC中,AB=13,AC=15,D是边BC上一点,BD=5,AD=12,求BC的长. (第5题) 解:在△ABD中,AB=13,BD=5,AD=12,∴ BD2+AD2=52+122=169, AB2=132=169.∴ BD2+AD2=AB2.∴ △ABD是直角三角形,且∠ADB=90°.∵ D是边BC上一点,∴ ∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD= =9,∴ BC=BD+CD=5+9=14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. ★在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列说法错误的是(　B　) A. 若∠A-∠B=∠C,则△ABC是直角三角形 B. 若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90° C. 若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90° D. 若(a-8)2+(c-6)2+|10-b|=0,则△ABC是直角三角形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,在由边长为1的小正方形组成的6×6的网格纸上,有A、B、C、D、E、F、G七个点(均在格点上),则在下列各组方案中可以构成直角三角形的是(　C　) A. 点A、B、C B. 点A、D、G C. 点B、E、F D. 点B、G、E C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图所示为一块三角形空地,现在空地的三条边上栽上树苗.已知三边上的树苗数分别为35、17、31,三个顶点上均栽有一棵树苗,且每条边上的树苗间距均为1m,则这块三角形空地的面积是 　240　m2.  9. 若正整数a、n满足a2+n2=(n+1)2,则我们称这样的三个正整数a、n、n+1为一组“完美勾股数”.当n<150时,这样的“完美勾股数”共有 　8　组.  240　 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且a+b=4,ab= ,c=3,试判断△ABC是否为直角三角形,并说明理由. 解:△ABC是直角三角形.　理由:∵ a+b=4,∴ (a+b)2=16.∴ a2+2ab+b2=16. 又∵ ab= =9.∵ c=3,∴ c2=9.∴ a2+b2=c2. ∴ △ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=3,点E、F分别在边BC、CD上,且DF=BE=1,试判断△AEF的形状,并求∠EAF的度数. (第11题) 解:△AEF为等腰直角三角形.∵ 在长方形ABCD中,AB=2, AD=3,∴ ∠B=∠C=∠D=90°,CD=2,BC=3.∵ DF=BE=1,∴ CE=2,CF=1.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2= 22+12=5;在Rt△ECF中,由勾股定理,得EF2=CE2+CF2=22+12=5;在Rt△ADF中,由勾股定理,得AF2=AD2+DF2=32+12=10.∴ AE=EF,AE2+EF2=AF2.∴ △AEF为等腰直角三角形,且∠AEF=90°.∴ ∠EAF=45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $