13.1.第一课时直角三角形三边的关系课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

13.1　勾股定理及其逆定理 第1课时　勾股定理 第13章　勾股定理 （图中每一格代表一平方厘米） （1）正方形P的面积是 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 平方厘米； （3）正方形R的面积是 平方厘米. 1 2 1 SP+SQ=SR P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 直角三角形三边的关系 讲授新课 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 观察正方形瓷砖铺成的地面. R Q 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 想一想 P的面积(单位长度) Q的面积(单位长度) R的面积(单位长度) 图2 图3 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 (每一小方格表示1平方厘米) 试一试 BC2+AC2=AB2 Q P R Q P R 把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积. Q P R Q P R 把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. S正方形R 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C 做一做 由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 归 纳 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. a b c S大正方形＝c2 S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形 赵爽弦图 证明： b-a a a a a b b b b c c c c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 (a+b)2 c2 +4ab/2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. 做一做 10 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 练一练 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 课堂小结 利用勾股定理进行计算 1. 若a、b、c是△ABC的三边长,则下列说法正确的是(　D　) A. 总有a2+b2=c2 B. 当△ABC是直角三角形时,a2+b2=c2 C. 当∠A=90°时,a2+b2=c2 D. 当∠C=90°时,a2+b2=c2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,在正方形ABCD中,AE⊥BE于点E,AE=3,BE=4,则涂色部分的面积是(　C) A. 16 B. 18 C. 19 D. 21 3. 已知一个直角三角形三边的平方和是50,则斜边的长为(　B　) A. 4 B. 5 C. 10 D. 25 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线.若AB=13,BC=10,则AD的长为 　12　.  12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 已知在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b. (1) 若a=15,c=25,求b的值. 解:(1) 由题意,得b= =20. (2) 若c=61,b=60,求a的值. 解:(2) 由题意,得a= =11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 若实数m、n满足|m-3|+(n-4)2=0,且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长,则△ABC的周长是(　A　) A. 12或7+ B. 5 C. 12 D. 5或 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 有一个面积为1的正方形,经过1次“生长”后,在它的左右肩上“生”出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过1次“生长”后,变成了如图所示的图形.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,那么“生长”2025次后形成的图形中所有正方形的面积之和是(　D　) A. 1 B. 2024 C. 2025 D. 2026 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,E是AC上一点,且ED=AD,连结BE. 若AB=15,BC=20,则EC的长为(　B　) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP长的最小值 是 　 　　.  　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 新考向·数学文化 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b.若(a+b)2=24,大正方形的面积为15,则小正方形的面积为 　6　.  6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于点M. 若CM=5,求CE2+CF2的值. (第11题) 解:∵ CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴ ∠ACE=∠BCE= (∠ACB+∠ACD)=90°.∴ △EFC为直角三角形.又∵ EF∥BC,∴ ∠BCE=∠MEC,∠DCF=∠F. ∴ ∠ACE=∠MEC,∠ACF=∠F. ∴ CM=EM=MF=5.∴ EF=10.在Rt△ECF中,由勾股定理,得CE2+CF2=EF2=102=100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即c2=4× EQ \F(1,2) ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2 $