12.3第2课时　等腰三角形的判定 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章　全等三角形 12.3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 讲授新课 等腰三角形的判定 一 提出问题 我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？ 画画看，你发现了什么？ 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2（角平分线的定义）， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∠B=∠C（已知）， AD=AD（公共边）， ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 画∠BAC的平分线交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ 已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC． 想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？ 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”． 总结归纳 等角对等边 等边对等角 ∴ AC=AB( ). 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C ( ), 已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： B C A ( ( 例1 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.求证：AB=AC. A B C 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， ∠A=40°，∠B=70°（已知）， ∴∠C=180°-∠A-∠B（等式的性质）， =180°-40°-70°=70°， ∴∠C=∠B（等量代换）， ∴AB=AC. 典例精析 例2 如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC. 证明：∵ AB∥CD （已知）, ∴ ∠B= ∠2 （两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠B= ∠1（等量代换）. ∴ AB=AC（等角对等边）. 1 2 A B C D ( ( 一个三角形满足什么条件才是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 二 A B C 三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A= ∠B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠B, ∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 判定1： 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC, ∠A=60°. ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠B=∠C. ∴AB=AC=BC. 1 2 动动手 若AB=AC , ∠B=60°，求证：AB=AC=BC. 例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠AED. ∵∠A+ ∠ADE+∠ AED=∠A+ 2∠ADE=180°， ∴ ∠ADE= ∠AED=60°. ∴ △ADE是等边三角形. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠AED. 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形. 求证：△ABC是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE ， AD∥BC. 证明：∵AD∥BC(已知)， ∴∠1=∠B（两直线平行,同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行,内错角相等） ∵ AD平分∠CAE， ∴ ∠1=∠2. ∴∠B=∠C. ∴△ABC是等腰三角形. A B C D E 1 2 ∵∠ACB= ∠A'C'B'=90°(已知）， ∴ ∠BC'B'= ∠ACB+∠A'C'B'=180°. 即点B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B中， AB= A'B'（已知）， ∴ ∠B= ∠B'（等边对等角）. 在△ABC和 △A'B'C'中， ∠B= ∠B'（已证）， ∠ACB= ∠ A'C'B'（已知）， AC= A'C'（已知）， ∴Rt△ABC≌Rt △A'B'C'（AAS）. 例5 如图，在Rt△ABC和Rt △A'B'C'中,∠ACB=∠A'C'B'=90°,AB= A'B',AC= A'C',求证： Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. A B' A' C B C' B 证明：由于直角边AC= A'C',我们平移和轴对称Rt△ABC使点A与点A'重合，点C与点C'重合，使点B与点B'分别位于A'C'两侧. （A） （C） 这样我们就证明了前面给出的HL的判定定理 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 课堂小结 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 在三角形中已知两个内角,能判定这个三角形是等腰三角形的为(　B　) A. 30°、60° B. 40°、70° C. 50°、60° D. 100°、30° 2. 下列推理错误的是(　B　) A. ∵ ∠A=∠B=∠C,∴ △ABC是等边三角形 B. ∵ AB=AC,且∠B=∠C,∴ △ABC是等边三角形 C. ∵ ∠A=60°,∠B=60°,∴ △ABC是等边三角形 D. ∵ AB=AC,且∠B=60°,∴ △ABC是等边三角形 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是边BC上的高,∠ABC的平分线BE分别交AD、AC于点F、E,则图中等腰三角形共有 　3　个,分别是 　△ADC、△ABF、△ABE　.  3　 △ADC、 △ABF、△ABE　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图,CD平分∠ACB,AE∥DC,AE交BC的延长线于点E,且∠ACE=60°.求证:△ACE是等边三角形. (第4题) 解:∵ ∠ACE=60°,∴ ∠ACB=180°-∠ACE=120°.∵ CD平分∠ACB,∴ ∠ACD=∠BCD= ∠ACB=60°.∵ AE∥DC,∴ ∠CAE=∠ACD=60°,∠E=∠BCD=60°.∴ ∠CAE=∠E=∠ACE=60°.∴ △ACE是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,BE交AC于点E,∠A=∠ABE. 若AC=10,BC=6,则BD的长为(　C　) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,E是等边三角形ABC的边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是(　B　) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 不等边三角形 D. 无法确定 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 易错题 在△ABC中,∠A=80°,则当∠B的度数为 　80°或20°或50°　时,△ABC是等腰三角形.  80°或20°或50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F. 求证:△ABC是等腰三角形. (第8题) 解:在△BDF和△CEF中, ∴ △BDF≌△CEF(AAS). ∴ BF=CF. ∴ ∠FBC=∠FCB. ∴ ∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB,即∠ABC=∠ACB. ∴ AB=AC. ∴ △ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. (1) 如图①,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于点E、F. 试猜想EF、BE、CF之间的数量关系,并说明理由. 解:(1) EF=BE+CF. 　理由:∵ BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴ ∠EBO= ∠OBC,∠FCO=∠OCB. ∵ EF∥BC, ∴ ∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB. ∴ ∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC. ∴ BE=OE,CF=OF. ∴ EF=OE+OF=BE+CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 如图②,点B、C、D在同一条直线上,若将∠ACB的平分线改为∠ACD的平分线,其他条件不变,则(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 解:(2) 不成立.　理由:∵ BO平分∠ABC, CO平分∠ACD,∴ ∠EBO=∠OBC, ∠FCO=∠OCD. ∵ EF∥BC,∴ ∠EOB= ∠OBC,∠FOC=∠OCD. ∴ ∠EBO= ∠EOB,∠FCO=∠FOC. ∴ BE=OE, CF=OF. ∴ EF=OE-OF=BE-CF. ∴ (1)中的结论不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $