12.3.2 等腰三角形的判定课件2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

12.3.2 等腰三角形的判定 1.能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点) 2.能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点) 学 习 目 标 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两个底角相等. （简写成“等边对等角”）； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （简写成“等腰三角形的三线合一”）． 💡思考 对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？ 除了定义法，还有没有其他的判定方法？ 复 习 导 入 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 画画看，你发现了什么？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC． 思考： （1）证明两条线段相等常用什么方法？ （2）有哪些构造全等三角形的方法？ C A B 2 1 D （ （ 合 作 探 究 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2（角平分线的定义）， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∵∠B=∠C（已知）， AD=AD（公共边）， ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)， ∴△ABC是等腰三角形. 如图，作∠BAC的平分线交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC． 想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？ 合 作 探 究 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简写成“等角对等边”）． 等角对等边 等边对等角 ∴ AC=AB( )， 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C ( ), 已知 等角对等边 在△ABC中， 应用格式： B C A ( ( 新 知 小 结 A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨析：如图,下列推理正确吗? 思 考 例1 如图,在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°. 求证： AB＝AC . 证明：∵∠A+∠B+∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)， ∠A＝40°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B ＝180°－40°－70°＝70°. ∴ ∠C＝∠B. ∴AB＝AC(等角对等边). 40° 70° ） ） C B A 典 例 精 析 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 新 知 小 结 A B C 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，∠A=∠B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A=∠B, ∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 合 作 探 究 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC , ∠A=60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC, ∠A=60°， ∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)=60°. ∴∠A=∠B=∠C. ∴AB=AC=BC. 💡思考 若AB=AC, ∠B=60°，求证AB=AC=BC. 合 作 探 究 例2 如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC. 证明：∵AB∥CD, ∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠1=∠2, ∴∠B=∠1. ∴AB=AC（等角对等边）. 1 2 A B C D ( ( 典 例 精 析 例3 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠ACB=∠A′C′B′=90°, AB=A′B′,AC=A′C′, 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. A C B B' A' C' B （A） （C） 证明：由于直角边AC=A′C′，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置 ，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A′C′的两侧，如图. 典 例 精 析 ∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°， ∴∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°, 即点B′、C′、B在同一条直线上. 在△A′B′B中，∵ A′B′＝AB＝A′B , ∴∠B＝∠B′(等边对等角). 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵∠B＝∠B′， ∠ACB＝∠A′C′B′ ， AC＝A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS). A C B B' A' C' B （A） （C） 典 例 精 析 1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60° B 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 随 堂 练 习 3.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　) A．有一个内角是60° B．有一个外角是120° C．有两个角相等 D．腰与底边相等 C 4.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 D 随 堂 练 习 5.如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形． 证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3. ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3. ∵AD⊥BD， ∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°. ∴∠B＝∠BDE. ∴△BDE是等腰三角形． 随 堂 练 习 等腰三角形的判定：等角对等边 等腰 三角形 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 课 堂 总 结 $$