12.3 第1课时　等腰三角形的性质 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章　全等三角形 12.3　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？ 讲授新课 做一做 D A B C 等腰三角形的性质 一 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论： A C B D 折痕AD所在的直线就是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗？ ∠B，∠C 是等腰三角形的 . 底角 ∠B ＝∠C 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. 探究归纳 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C . 证明：作顶角∠BAC的平分线AD. 在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. A B C D ( ( 1 2 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平 分线AD，然后证明△ABD ≌ △ACD. 从这里你还可以得到什么结论? 例1 已知：在△ABC中 ，AB=AC，∠B=80 °，求∠C和∠A的大小. 解： 典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C ∠BAD ＝ ∠CAD ∠ADB ＝∠ADC =90° 性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合，简写成“等腰三角形的三线合一”. A B C D ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形的性质完成下列填空. 在△ABC中， AB=AC时， （1）∵AD是底边上的高， ∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线， ∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线， ∴____ ⊥____ ，_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 7 例2 在△ABC中 ，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°. 求：（1）∠ ADC的度数；（2）∠1的度数. A D C 1 2 (2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180° （三角形内角和等于180°），∠B=30°（已知）， ∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°. ∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”). ∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义). 解：(1) ∵AB = AC，BD=DC（已知）， B 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝∠C， 同理可得 ∠A＝∠B， 所以 ∠A＝∠B＝∠C， 又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°. 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ A C B 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 三条对称轴 等边三角形的性质 二 A B C D 例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在边AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. （1）找出图中所有相等的角； （2）指出图中有几个等腰三角形？ ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC； △ABC, △ABD, △BCD； A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x （3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？ ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2∠A=2∠ABD, ∠ABC= ∠C= ∠BDC=2∠A； （4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °， ∴x+2x+2x=180 °. A B C D 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °， 解得x=36 ° . 在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 等边三角形 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质. 三线合一 有三条对称轴，每个内角等于60°. 1. 如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为(　C　) A. 70° B. 100° C. 110° D. 140° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE的度数为 (　C　) A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图,△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一条直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E的度数为 　15°　.  15°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC于点F,点D在BA的延长线上,点E在AC上,且AD=AE,试判断DE与AF的位置关系,并证明你的结论. (第4题) 解:DE∥AF. ∵ 在△ABC中,AB=AC,AF⊥BC于点F,∴ ∠BAF=∠CAF. ∵ AD=AE,∴ ∠ADE=∠AED. 又∵ ∠BAC=∠ADE+∠AED,∠BAC=∠BAF+∠CAF,∴ ∠CAF=∠AED. ∴ DE∥AF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图,在△ABE中,BA=BE,F为AE的中点.若∠ABC=34°,∠C=50°,则∠ADB的度数为(　A　) A. 67° B. 68° C. 70° D. 84° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 分类讨论思想 已知等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°,则这个等腰三角形的顶角的度数是(　A　) A. 140°或44°或80° B. 20°或80° C. 44°或80° D. 140° 7. 如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠EDF的度数为(　C　) A. 90° B. 75° C. 60° D. 45° A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形,DE交AB于点F,连结BE. 给出下列结论:① AD⊥BC;② EF=FD;③ BE=BD;④ ∠ABE=60°.其中,正确的个数为 (　A　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,则AE 　=　CD(填“>”“<”或“=”).  =　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为 　4　.  4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,在△ABC中,AB=BC,D为BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC,交AC于点F. (1) 若∠AFD=155°,求∠EDF的度数. 解:(1) ∵ ∠AFD=155°,∴ ∠DFC=25°.∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠FDC=∠AED=90°.∴ ∠C=90°-∠DFC=90°-25°= 65°.∵ AB=BC,∴ ∠A=∠C=65°.∴ ∠EDF=360°-∠A-∠AFD-∠AED=360°-65°-155°-90°=50°. (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若F是AC的中点,求证:∠CFD= ∠B. 解:(2) 连结BF. ∵ AB=BC,F是AC的中点,∴ BF⊥AC,∠ABF= ∠CBF= ∠ABC. (第11题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $