专题1.2 定义和命题七大题型一课一讲 2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

专题1.2定义和命题七大题型（一课一讲） 1.定义的相关概念 定义是对数学对象或概念的明确描述，用于确定其本质特征或边界。 例如：“平行四边形是两组对边分别平行的四边形。” 注意：定义必须清晰、无歧义，且不可循环（如“直线是直的线”就不成立）。 2.命题的相关概念 命题是一个可以判断真假的陈述句，由条件（前提）和结论两部分组成，形式通常为“如果…，那么…”。 结构： 条件（假设）：“如果一个三角形是等边三角形”（前提）。 结论：“那么它的三个内角均为60°”（结果）。 真命题：符合客观事实或逻辑推理（如“对顶角相等”）。 假命题：与事实矛盾（如“所有的质数都是奇数”）。 题型一：判断是否为命题 【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 【变式训练1-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是否为判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1-2】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列语句中不是命题的是（   ） A．垂线段最短 B．连接A，B两点 C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交 【答案】B 【分析】该题考查了命题，命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．逐一分析选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A．“垂线段最短”是陈述句，属于命题，不符合题意． B．“连接A，B两点”是祈使句，表示指令而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题，符合题意． C．“等角的补角相等”是陈述句，逻辑上为真，属于命题，不符合题意． D．“在同一个平面内，两直线不平行就相交”是陈述句，属于命题，不符合题意． 故选：B． 【变式训练1-3】（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线上任取一点 D．过点作直线的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键． 本题根据命题的定义，判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断，即可得到答案． 【详解】解：A、今天星期几？是疑问句，不是命题，故选项A错误； B、相等的角是对顶角，是命题，故B选项正确； C、在直线上任取一点，不是命题，故选项C错误； D、过点作直线的垂线，不是命题，故选项D错误； 故选：B； 【变式训练1-4】（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，难度不大．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：①若，，则，是命题，符合题意； ②同位角相等吗？，是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ③画线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ④地球围着太阳公转，是命题，符合题意； ⑤直角都相等，是命题，符合题意． 故选：A． 【变式训练1-5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意； C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； D．如果，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； 故选：B． 题型二：判断是否为定义 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 【变式训练2-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】D 【分析】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 【变式训练2-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直线和垂直吗 B．规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴 C．过线段的中点作的垂线 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理的理解及运用，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案，熟知定义的概念是解题的关键． 【详解】解：直线和垂直吗，这是一个疑问句，不是定义，故A不符合题意； 规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴是定义，故B符合题意； 过线段的中点作的垂线，这是一个作法，不是定义，故C不符合题意； 同旁内角互补，两直线平行是一个定理，不是定义，故D不符合题意； 故选：B． 【变式训练2-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键． 根据定义的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意； B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意； C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意； D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意； 故选：D． 题型三：判断命题的真假 【例题3】下列命题是真命题的是（    ） A．3是的算术平方根 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等，两直线平行 D．1的平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的定义可以判断A、D，根据对顶角和平行线的性质可判断B、C．本题考查命题的真假，掌握平方根，对顶角，平行线的性质是解题关键． 【详解】解：A：负数没有算术平方根，故A是假命题； B：对顶角相等，但相等的角不一定都是对顶角，故B是假命题； C：同位角相等，两直线平行，故C为真命题； D：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即1的平方根为，故D是假命题； 故选：C． 【变式训练3-1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．如果一个方程中含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1，那么这个方程是二元一次方程 B．两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 C．如果几个角的和是，那么这几个角互为补角 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义可判断A；根据平行直线的性质可判断B；根据两角互补的定义可判断C；根据等式的性质可判断D．本题考查判断命题的真假，需要掌握二元一次方程的定义，平行直线的性质，两角互补的定义，以及等式的基本性质． 【详解】选项A：二元一次方程的定义不仅要求含有两个未知数且每个未知数的次数为1，还需是整式方程．若方程为分式方程（如），虽满足未知数次数为1，但不是二元一次方程，故A错误． 选项B：同位角相等的前提是两条被截直线平行．若两条直线不平行，同位角不相等，故B错误． 选项C：补角的定义是：“两个角的和为”，而“几个角”可能指三个或更多，此时它们不满足“互为补角”的条件（补角是两两之间的关系），故C错误． 选项D：由可得，由可得，因此，故D正确． 故选：D． 【变式训练3-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．如果，那么 C．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 D．两直线相交，其中相等的两个角是对顶角 【答案】A 【分析】根据相关的知识解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，对顶角，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故原说法正确，符合题意； B. 如果，那么，故原说法错误，不符合题意； C. 如果两个角是同位角，那么这两个角不一定相等，故原说法错误，不符合题意； D. 两直线相交，其中相等的两个角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练3-3】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平方根，平行线的性质与判定、垂线段最短及两点间的距离判断即可． 【详解】解：A. 负数没有平方根，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 在同一平面内，如果，，那么，原命题是真命题，故该选项符合题意；     D. 连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练3-4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、平行线性质、三角形的高及外角的性质。根据各选项的条件与结论逐一分析，结合相关定理判断其正确性。 【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 【变式训练3-5】（24-25八年级上·全国·期中）已知下列命题，其中真命题的个数（   ） （1）27的立方根是； （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有和0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； （6）若，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断， 根据定义，定理判断正确的命题即可解答. 【详解】解：27的立方根是3，故（1）中的命题是假命题； 有理数与数轴上的点不是一一对应，故（2）中的命题是假命题； 平方根是它本身的数只有0，故（3）中的命题是假命题； 如果两直线不平行时，同位角就不相等，故（4）中的命题是假命题； 等腰三角形两腰上的高相等，故（5）中的命题是真命题； 若，则，故（6）中的命题是假命题； 所以真命题有1个. 故选：D． 题型四：写出命题的题设与结论 【例题4】（24-25八年级上·广东清远·期末）“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行” 所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分； 故答案为：同位角相等；两直线平行． 【变式训练4-1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短 【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论部分． 将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论． 【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短． 所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短． 【变式训练4-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 【变式训练4-3】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可． 【详解】解：根据题意可知：题设是，结论是， 故答案为：，． 【变式训练4-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 【答案】两条直线垂直于同一条直线 【分析】本题考查了命题的改写，根据命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式即可，解题的关键是正确理解“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【详解】解：命题可以改写为：“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 条件是：两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行； 故答案为：两条直线垂直于同一条直线 【变式训练4-5】（2025七年级下·全国·专题练习）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ． 【答案】 两个数的绝对值相等 这两个数互为相反数 【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果，那么的性质，如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可． 【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数， ∴命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数． 【变式训练4-6】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 两个角互为邻补角 这两个角互补 真 【分析】本题考查命题与定理、判断命题的真假，把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果的后面是题设，那么的后面是结论写出即可．把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键． 【详解】解：命题“邻补角互补”可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角互补； 则题设是：两个角互为邻补角，结论是：这两个角互补.这是一个真命题， 故答案为：两个角互为邻补角；这两个角互补；真. 【变式训练4-7】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 题型五：把命题改写为“如果......那么.....”的形式 【例题5】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 【分析】本题主要考查了命题的改写，熟知命题的结构是正确解答此题的关键． 命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面，即可得答案． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【变式训练5-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行 【分析】本题考查了命题改写，掌握“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”， 写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”． 故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行． 【变式训练5-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可． 【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 该命题的条件是：两个角是同一个角的余角， 结论是：这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等． 【变式训练5-3】（24-25八年级下·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 【变式训练5-4】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 【变式训练5-5】（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 【变式训练5-6】（24-25七年级下·山东淄博·期中）请把命题“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”写成“如果……，那么……”的形式 ． 【答案】如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，根据命题的前面内容是题设，命题的后面内容是结论，进行作答， 【详解】解：依题意，如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等， 故答案为：如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等 题型六：举例说明命题的真假 【例题6】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； 【详解】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 【变式训练6-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，举反例，正确理解题意是解题的关键． （1）直角是90度的角，则直角都相等，据此可得答案； （2）当时，满足，当不满足，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 【变式训练6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 【变式训练6-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补 (2)假命题，反例为：一个角为，一个角为 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）解：如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补； （2）该命题是假命题， 反例为：一个角为，一个角为， 满足条件一个锐角和一个钝角，但，因此这两个角不互补． 【变式训练6-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【详解】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 【变式训练6-5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两个钝角的和一定大于； (2)异号两数相加，和为0； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2)假命题．反例： (3)假命题．反例： 【分析】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键． （1）钝角是大于90度小于180度的角，据此可得结论； （2）根据可得结论； （3）根据时，，可得结论． 【详解】（1）解：∵钝角是大于90度小于180度的角， ∴两个钝角的和一定大于， ∴原命题是真命题； （2）解：异号两数相加，和不一定为0，例如， ∴原命题是假命题； （3）解：如果，那么，不一定有，例如当时，， ∴原命题是假命题． 题型七：定义和命题综合 【例题7】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【详解】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 【变式训练7-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ． 本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）解：，． 证明：∵，（已知） ∴（垂直的定义）， ∴．（同位角相等，两直线平行） 【变式训练7-2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)①②④⇒③（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的性质和判定、角平分线的定义． （1）根据命题的概念写出一个命题，任意三个选项为题设，另一个为结论即为真命题； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质和判断分别证明结论． 【详解】（1）解：如果，平分，平分，那么； 即①②④③， 同理这个命题可以是①②③④，①③④②，②③④①， 故答案为：①②④⇒③（答案不唯一）； （2）解：①②④③是真命题，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ． ①②③④是真命题，理由如下： ， ， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ①③④②是真命题，理由如下： ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 平分， ， ∵， ∴， ∴平分． ②③④①是真命题，理由如下： 平分，平分， ，， ， ∴ ， ∴． 【变式训练7-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”） ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，若，求的度数． 【答案】（1）①见解析，真命题；②见解析；（2）． 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题， 故答案为：真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）， 又，可解得 ． 【变式训练7-4】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 【变式训练7-5】（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． 【变式训练7-6】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2定义和命题七大题型（一课一讲） 1.定义的相关概念 定义是对数学对象或概念的明确描述，用于确定其本质特征或边界。 例如：“平行四边形是两组对边分别平行的四边形。” 注意：定义必须清晰、无歧义，且不可循环（如“直线是直的线”就不成立）。 2.命题的相关概念 命题是一个可以判断真假的陈述句，由条件（前提）和结论两部分组成，形式通常为“如果…，那么…”。 结构： 条件（假设）：“如果一个三角形是等边三角形”（前提）。 结论：“那么它的三个内角均为60°”（结果）。 真命题：符合客观事实或逻辑推理（如“对顶角相等”）。 假命题：与事实矛盾（如“所有的质数都是奇数”）。 题型一：判断是否为命题 【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【变式训练1-1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列语句是命题的是（   ） A．若，求的值 B．两直线相交有几个交点 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【变式训练1-2】（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列语句中不是命题的是（   ） A．垂线段最短 B．连接A，B两点 C．等角的补角相等 D．在同一个平面内，两直线不平行就相交 【变式训练1-3】（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）下列语句是命题的是（   ） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线上任取一点 D．过点作直线的垂线 【变式训练1-4】（24-25七年级下·四川广安·阶段练习）下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 【变式训练1-5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 题型二：判断是否为定义 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【变式训练2-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【变式训练2-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（    ） A．直线和垂直吗 B．规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴 C．过线段的中点作的垂线 D．同旁内角互补，两直线平行 【变式训练2-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列描述属于定义的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于 C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 题型三：判断命题的真假 【例题3】下列命题是真命题的是（    ） A．3是的算术平方根 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等，两直线平行 D．1的平方根是 【变式训练3-1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．如果一个方程中含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1，那么这个方程是二元一次方程 B．两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 C．如果几个角的和是，那么这几个角互为补角 D．如果，，那么 【变式训练3-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．如果，那么 C．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 D．两直线相交，其中相等的两个角是对顶角 【变式训练3-3】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 【变式训练3-4】（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【变式训练3-5】（24-25八年级上·全国·期中）已知下列命题，其中真命题的个数（   ） （1）27的立方根是； （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有和0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； （6）若，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四：写出命题的题设与结论 【例题4】（24-25八年级上·广东清远·期末）“同位角相等，两直线平行”的题设为 ，结论为 ． 【变式训练4-1】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【变式训练4-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【变式训练4-3】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【变式训练4-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 【变式训练4-5】（2025七年级下·全国·专题练习）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ． 【变式训练4-6】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）命题“邻补角互补”的题设是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 【变式训练4-7】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 题型五：把命题改写为“如果......那么.....”的形式 【例题5】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 【变式训练5-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式： ． 【变式训练5-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 【变式训练5-3】（24-25八年级下·全国·假期作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【变式训练5-4】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【变式训练5-5】（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【变式训练5-6】（24-25七年级下·山东淄博·期中）请把命题“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”写成“如果……，那么……”的形式 ． 题型六：举例说明命题的真假 【例题6】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【变式训练6-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 【变式训练6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 【变式训练6-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 【变式训练6-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【变式训练6-5】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两个钝角的和一定大于； (2)异号两数相加，和为0； (3)如果，那么． 题型七：定义和命题综合 【例题7】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【变式训练7-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【变式训练7-2】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，①，②平分，③，④平分． (1)请以其中三个条件为题设，剩余一个条件为结论组成一个真命题，则这个命题可以是___________；（“题设”和“结论”之间用符号“”连接） (2)证明（1）中的结论． 【变式训练7-3】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”） ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，若，求的度数． 【变式训练7-4】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【变式训练7-5】（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【变式训练7-6】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $