第四章 整式的加减 导学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

北京中学科技分校学历案 第四章 代数式 考点及课标要求 中考考点 核心素养 课标要求 用代数式表示数量关系 抽象能力 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 将具体的数代入代数式 运算能力 会把具体数代入代数式进行计算 知识体系构建 (以思维导图形式呈现) 课时学历案 课题 4.1.1整式—单项式 学习 目标 1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念． 2.会用单项式表示简单的数量关系． 3.经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力. 教学 重点 单项式、单项式的系数和次数的概念. 教学 难点 单项式的系数和次数的概念的应用. 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 代数式的类型多种多样，下面我们一起学习一类基本的代数式——整式. 问题1：本章引言中的问题（1）： 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大 桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h, 在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h 和92 km/h. 请计算汽车在主桥上行驶t h 的路程是多少千米? 问题2：我们来看和上一章中遇到过的一些代数式，这些代数式有什么共同特点? 单项式定义： 单项式的系数： 单项式的次数： 注意： 1.单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如92t. 2.单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，如 a³, -x. 3.对于一个非零的数，规定它的次数为0. 追问 请指出单项式的系数和次数. 问题3： （1）请举出一个单项式的例子，并说出它的系数和次数． （2） 请你写出一个单项式，并使它的系数是－2，次数是4，那么该单项式可以是 ． 练习1．下列各式中哪些是单项式？在下方打勾. ] 练习2．填表： 单项式 系数 次数 例1.用单项式填空，并指出它们的系数和次数. （1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为____. （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，y cm，h cm，用式子表示长方体包装盒的体积为 . （3）有理数n的相反数是_______. （4）《北京2022年冬奥会冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票.邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚(2套)，如图4.1-1所示.某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式的邮票作为奖品，共花费_______元. （5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3:2，有五种通用尺度(即尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为__________ 问题4： 1.一台跑步机原价是a元，现按原价的9折出售，则现在售价 元； 思考：0.9a是单项式吗？如果是，请指出它的系数和次数．你能赋予0.9a一个含义吗？ 2.若是关于 x，y 的一个三次单项式，求m，n应满足的条件？ 3.系数是-3，含有字母m，n的四次单项式有 个，它们是 . 收获 反思 检测 反馈 1.下列说法正确的是( )． A.单项式m的次数是0 B.单项式5×105t的系数是5 C.单项式的系数是 D.－2 006是单项式 2. 用单项式填空，并指出它们的系数和次数. (1) 国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保。如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍。若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为m t，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为______t. (2) 某人经营一家网店,“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销.若每售出一件这种商品获利m元，则售出n件这种商品共获利_____元. (3) 测量降水量的基本仪器是雨量器。如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半径为r，高为h，则这个集雨斗的容积为_______. 3. 若是六次单项式，求m、n应满足的条件． 巩固作业 【基础达标】 1.已知式子：①，②8，③，④，⑤0，⑥，以上式子中单项式有 ； 2.判断下列各代数式哪些是单项式,并完成下列表格. (1)； (2) ； (3) ； (4)－3.2ab2； (5) ； (6)－x+y2； (7)0; 单项式 系数 次数 3.是一个关于x，y的七次单项式，则a= ，b= . 4.单项式的系数是 ，次数是 . 【基础拓展】 5.若是关于x，y的十次单项式，则a＝______． 6.若是关于x，y的七次单项式，且系数是3，则＝______. 7.如果单项式的次数与单项式的次数相同，求的值. 【能力提升】 8． 在一列数－2x，3x2，－4x3，5x4，－6x5…中，第k个数(k为正整数)是________，第2024个数是___________． 课题 4.1.2整式—多项式 学习 目标 (1)理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念(100%)． (2)会用多项式表示简单的数量关系，并根据多项式中字母的值求多项式的值(100%)． (3)会用整式解决简单的实际问题(90%)． (4)经历用整式表示数量关系的过程，体会用整式表示数量关系的简洁性和一般性(90%)． 教学 重点 多项式、多项式的项和次数的概念，整式的概念. 教学 难点 多项式、多项式的项和次数的概念，整式的概念的应用. 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 【问题1】 （1）对于单项式，我们学习了哪些内容？ （2）请举例说明单项式、单项式的系数和次数的概念． 【问题2】 在上一章中，我们还遇到一些代数式2n-10，x²+2x+8，2a+3b， 这些式子与单项式有什么区别和联系?它们有什么共同的特点? 多项式定义: 多项式的项: 多项式的次数: 追问 请指出多项式x²+2x+8，2a+3b，的项分别是什么？次数分别是多少？ 小结：确定一个多项式次数的步骤是什么？ 整式的定义: 与 统称整式. 【问题3】 (1)请你写出一个多项式，并说出它的项和次数. (2)请你写出一个三次三项式，使它的三次项系数是－5,二次项系数是2，常数项是6，那么这个多项式可以是 _ . 例1.用多项式填空，并指出它们的项和次数. (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为_____. (2) m为一个有理数，m的立方与2的差为________. (3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收6辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为_____. (4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图 4.1-2所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成。如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为_____. 例2 如图，文化广场上摆了一些桌子，若并排摆 n 张桌子，可同时容纳多少人？当n=20时，可同时容纳多少人？ 练习1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： ，，，，，，， 练习2.填表： 多项式 项 次数 练习3. (1)多项式是几次几项式？其中最高次项是哪项？最高次项的系数是多少？ (2)已知代数式是关于字母的三次三项式，求的值. （3）多项式 第99项是 ，第2024项是 ，第n项是 . 练习4.鲁班锁是我国古代建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示，这个面的面积为 . 1.一个含字母的多项式，每项的次数是3，这个多项式最多有几项？试写出一个符合要求的多项式．若满足，求你所写的多项式的值． 2.已知关于的多项式不含项和项，试写出这个多项式，并求当时代数式的值。 收获 反思 检测 反馈 1.填空是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 . 2.已知m,n都是正整数,则多项式的次数是( ) A． m B. n C. m、n中较大的 D. m+n 3. 若是五次多项式，则n的值是 . 4. 如果多项式是关于x的四次二项式，试求m，n的值. 巩固 作业 【基础达标】 1．把下列代数式分别填入它们所属的集合中： 单项式集合{ …} 多项式集合{ …} 整式集合{ …} 2．下列代数式中多项式共有( )． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.指出下列多项式的项，并指出每一项的系数、每一项的次数和多项式次数： （1） （2） （3） （4） 4． 是______次多项式，最高次项的系数是_____，常数项是_____，系数最小的项是_____． 5．大圆半径为a厘米，小圆半径比大圆半径小1厘米，两圆的面积和为( ) A. a2 B. (a－1)2 C. D. a2＋(a－1)2 6.（1）当时，代数式的值为 ； （2）当，代数式的值为 . 【基础拓展】 7．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 8.当k= 时，多项式是三项式. 9.若多项式是一个六次多项式，求的值，并写出该多项式. 10. 今年“五一”假期期间，某景区接待的游客数比去年同期增长了5.8%.若去年同期这个公园接待了游客万人，求今年“五一”假期期间这个景区同期多接待的游客人数. 【能力提升】 11.设构造一个含有n的代数式，用它表示（1）能被5整除的整数；（2）除以3余数为1的整数. 12.书店有书x本，第一天卖出去全部的，第二天卖出去余下的，还剩（ ）本. A. B. C . D. 13.若多项式是一个四次二项式，求，的值. 14.根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ； 输入x 输出y 平方 乘以2 减去4 若结果大于0 否则 15. 鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准.新鞋号标准对应于20 世纪 60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下: 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … a （1）求a的值; （2）若新鞋号为m，旧鞋号为n，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式. 课题 4.2.1整式的加减—同类项 学习 目标 1．理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则（100%）. 2．找出同类项并正确合并同类项（90%）. 教学 重点 同类项的概念及合并同类项的法则，感受其中的“数式通性”和类比的数学思想． 教学 难点 找出同类项并正确合并. 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 1．问题探究 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h，在海底隧道上行驶的平均速度为72 km/h. 如果汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25 倍，你能用含a的式子表示香港口岸到西人工岛的全长吗？ 2．运用有理数的运算律计算： 72×2+120×2= ; 72×(-2)+120×(-2)= . 根据以上方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a+120a = . 3.类比上述式子的运算，完成下列填空： （1）（ ）a （2） （ ）m （3）（ ） 追问1；上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律? 追问2：观察三个算式，运算结果和算式中的同类项有什么关系？ 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 1.同类项的定义： 所含 相同,并且相同字母的 也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项. 练习1.下列各式哪些是同类项？ 练习2. (1)如果 是同类项，那么m= ，n= . (2) . 注意: (1)同类项只与字母及其指数有关,与系数无关,与字母的排列顺序无关. (2)判断同类项要抓住两个“相同”:一是所含字母相同,二是相同字母的指数要 相同.这两个条件缺一不可.并且不要忘记几个常数项也是同类项. 探究二：下面多项式中有哪些项是同类项？仿照上述运算将这个多项式进行化简，并指出每一步变形的依据是什么？ 说明：通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列. 2.合并同类项： 把多项式中的 合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则： 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的 ,且字母连同它的指数 . 3.合并同类项的步骤: (1)找同类项; (2)合并同类项; (3)写出最后化简结果. 注意：(1)同类项移动位置时,不要漏掉它系数的符号,特别注意“—”. (2)合并同类项的依据是逆用乘法分配律. 例1.合并同类项 例2.（1）求多项式的值，其中 ； （2）求多项式 的值，其中. 例3： (1)水库水位第一天连续下降了a h, 平均每小时下降2 cm; 第二天连续上升了a h, 平均每小时上升0.5 cm. 这两天水位总的变化情况如何? (2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg. 上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克? 练习3.下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。 (1)2x2＋3x2=5x4； (2)3x＋2y=6xy； (3)7x2－3x2=4； (4)9a2b－9ba2=0. 练习4.合并下列多项式中的同类项： （3） （4） 练习5.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的，求阴影部分的面积. （π取 3.14 ） 收获 反思 检测 反馈 1.下列说法正确的是( ) A B C D 2.下面计算正确的是（ ） A．3－=3 B．3＋2=5 C．3＋=3 D．－0.25＋=0 3.已知单项式3与－的和是单项式，那么＝ . 4. 合并同类项. 5.先化简，再求多项式 的值,其中 巩固作业 【基础达标】 1、下列各组中，不是同类项的是（　　　） A、　　B、　　C、　　D、 2、在中，与 同类项，与 是同类项，与 是同类项. 3、合并下列各式中的同类项. （1） （2） (3) 2a2b－3a2b＋0.5a2b (4) a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3 【基础拓展】 4、若是同类项，则m＝ ，n＝ . 5、已知－x3y2n与2x3my2是同类项，则mn的值是 （ ） A．1 B．3 C．6 D．9 6、计算. （1） （2） （3） （4） （5） 7、先化简，再求值. （1），其中 （2）当时，求代数式的值. ( 3 ) 求代数式的值,其中. 【能力提升】 8.若，求的值. 9. 已知当时，多项式的值为-2023，求当时，多项式的值. 课题 4.2.2整式的加减—去括号 学习 目标 (1)理解并掌握去括号法则（100%）. (2)能熟练、准确地应用去括号、合并同类项将整式化简（100%）． 教学 重点 去括号法则，准确应用法则将整式化简． 教学 难点 当括号前面是“－”号，去括号时括号内各项变号容易产生错误． 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 问题1：港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h, 在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h 和92 km/h.如果汽车通过主桥需要b h, 通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15 h, 你能用含b 的代数式表示主桥与海底隧道长度的和吗?主桥与海底隧道的长度相差多少千米? 问题2：你能尝试利用分配律化简它们吗？ 问题3：如何利用分配律进行一个数乘一个多项式的运算吗？ 去括号法则 (1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 . (2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 . 特别地：+(x-3) 与-(x-3) 可以看作1与 -1分别乘 (x-3). 利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得 +(x-3)=x-3, -(x-3)=-x+3. 注意: (1) 去括号时,要连同括号前面的符号一同去掉. (2) 去括号时,首先要弄清楚括号前面是“+”,还是“－”. (3) 该变号时,各项都变号,不该变号时,各项都不变号. (4) 括号前面有数字因数时,应利用乘法分配律,先将该数与括号内各项分别相乘再去括号,避免出现漏乘的错误. 4＋3(n－1)应如何计算？ 4n－(n－1)应如何计算？ 合作 展示 交流 解疑 例1.化简下列各式： （1）； （2）； （3）（4） 练习1. 化简下列各式： 练习2.化简下列整式： 质疑 深化 巩固 提升 例3.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h． （1）2 h后两船相距多远？ （2）2 h后甲船比乙船多航行多少km？ 例4.化简a－［－2a－（a－b）］. 收获 反思 检测 反馈 1.下列运算正确的是( ) A． B. C. D. 2.下列去括号结果是否正确？如果错误，请改正. A．a－2（b+c）=a－2b－2c B．a－2b－c－4d=a－c－2（b+4a） C． D．（3x2y－xy）－（yx2－3xy）=3x2y－yx2－4xy 3.化简: 4. 某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过15 m³, 每立方米 a 元；超过部分每立方米 (a+2) 元.若该地区某家庭上月用水量为20m³, 则应缴水费多少元? 巩固 作业 【基础达标】 1.化简的正确结果是( ) A. B. C. D. 2计算. （1） （2） 2 （3） （4） 3.先化简再求值. （1）. （2），其中. 【基础拓展】 4．不改变值，将括号前的符号变成与其相反的符号： ①x＋(1－x2＋x3)＝_____________； ②(x－y)－(－y＋x－1)＝_________；(此题第一个小括号前的符号不要求改变) ③3x－［5x－(2x－1)]＝_________． 5. (1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25． (2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]． 6.已知是同类项，求多项式的值. 7.已知，求 的值. 【能力提升】 8.如图，、、在数轴上的位置如图所示 ，则　　　. 9.已知b＜a＜0，且｜a｜＞c＞0，则代数式｜a｜－｜a＋b｜＋｜c－b｜＋｜a＋c｜化简的结果是____________． 10.已知的值. 11. 有这样一道题: “计算的值，其中”.甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果？ 12.已知，求的值. 【挑战极限】 13.试说明：不论取何值代数式的值是不会改变的. 课题 4.2.3整式的加减—应用 目标 (1)会利用合并同类项将整式化简求值(100%). (2)会运用整式的加减解决简单的实际问题(90%). 教学 重点 利用合并同类项知识，求多项式的值. 教学 难点 用整式加减解决简单的实际问题. 学习环节 学习摘要 自学 思考 问题1：复习回顾 1. 什么是同类项？ 2. 合并同类项的法则是什么？ 3. 怎么去括号？ 例1：化简下列各式. 合作 展示 交流 解疑 问题2：尝试总结整式加减的运算法则. 基本知识点：整式加减的运算法则 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 注意: （1）整式的加减实质上就是去括号与合并同类项. （2）整式加减的最后结果中不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；合并同类项后，若其系数是带分数，要把它化成假分数. 练习： 例2：做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表4.2-1所示. 表4.2-1 长方体纸盒的尺寸 类型 长/cm 宽/cm 高/cm 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c (1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米? (2)做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米? 例3.,其中. 质疑 深化 巩固 提升 1. 2. 已知,求代数式的值. 3.（1）水库中水位第一天连续下降了a 小时，每小时平均下降2cm；第二天连续上升了a 小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克. 上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋．进货后这个商店有大米多少千克？ 3. 阿言和李晴一起去逛商店。笔记本单价是x元，马克杯的单价是y元，阿言买了3本笔记本，2个马克杯；李晴买了4本笔记本，3个马克杯．买这些笔记本和马克杯，阿言和李晴一共花费多少元？ 5.若，，求的值 收获 反思 检测 反馈 1.甲地的海拔是h m，乙地比甲地高20m，丙地比甲地低24米，列示表示乙、丙两地的海拔，并计算乙地与丙地的海拔差. 2.已知三角形的第一条边长是a+2b，第二条边比第一条边长b-2，第三条边比第二条边短5. （1）求三角形的周长； （2）当a=2，b=3时，求三角形的周长. 巩固 作业 【基础达标】 1、单项式、、的和为 . 2、计算：（1）多项式与多项式的和； （2）多项式与多项式的差. 3、一个多项式与的和是，则这个多项式为＿＿＿＿. 4、计算 （1） （2） 【基础拓展】 5、多项式8x2-3x+5与多项式3x3+2mx2-5x+7相加后，不含二次项，则常数m的值是（　　） A.　2　　　B.　+4　　　C.　-2　　　D.-8 6． 长方形的一边等于3m＋2n，另一边比它大m－n，则这个长方形周长是( )． (A)4m＋n (B)8m＋2n (C)14m＋6n (D)12m＋8n 7.已知：A= ，B=，求（3A-2B）－（2A+B）的值. 【能力提升】 8.已知三角形的第一条边的长为3a+2b (a>0，b>0)，第二条边比第一条边短 2a，第三条边的长比第二条边的长的2倍还长a-b.(1)求第二条边和第三条边的长;(2)求这个三角形的周长. 9. 某位同学做一道题：已知两个多项式、，求的值.他误将看成，求得结果为，已知，求正确答案. 10.若，求的值. 【挑战极限】 11.棱长为x cm的正方体摆放成如图的形状.图中有几个正方体？这个图形的表面积是多少平方厘米？ 20 学科网（北京）股份有限公司 $