3.1 不等式的基本性质 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

3.1 不等式的基本性质 同步练习 一、单项选择题 1.某桥梁限重标志牌显示“限重30吨”，车辆总质量（吨）应满足的不等关系是（） A. B. C. D. 2.用不等式表示“与的和是非负数”，正确的是（） A. B. C. D. 3.已知，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 4.设，，则与的大小关系为（） A. B. C. D. 5.已知，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 6.已知，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7.已知，则“”是“”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多项选择题 9.下列关于不等式性质的说法中，正确的有（） A. 若，则（） B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知均为实数，下列命题正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11.已知，，则关于取值范围的说法正确的有（） A. 最小值为4 B. 最大值为12 C. 取值范围是 D. 取值范围是 三、填空题 12.某学校计划用不超过1200元购买单价为80元的笔记本和100元的钢笔，已知至少买5本笔记本，至少买3支钢笔，则笔记本数量与钢笔数量满足的不等式组为________（写出所有不等关系）。 13.已知，，则的取值范围是________。 14.已知实数满足，，则的取值范围是________。 四、解答题 15.已知，，，且，同时满足。 (1) 求证：； (2) 求证：。 16.已知为正实数，且，比较与的大小，并说明理由。 17.已知正数满足，判断的取值范围，并说明理由。 参考答案与解析 一、单项选择题 1.答案：C 解析：“限重30吨”表示车辆总质量不超过30吨，即。 2.答案：B 解析：“非负数”即大于等于0，故。 3.答案：B 解析：取，则，，，故。 4.答案：C 解析：作差，判别式，且二次项系数，故，即。 5.答案：D 解析：时，；时，，故，结合选项选。 6.答案：B 解析：，，由同向不等式相加得。 7.答案：A 解析：作差，因，故分子、分母均为正，即与互推，为充要条件。 8.答案：A 解析：由且，两边除以（负数，不等号反向）得，故。 二、多项选择题 9.答案：ABD 解析：A中则，故；B中幂函数递增，故；C中时，（错误）；D中取倒数反向，故。 10.答案：ABCD 解析：A中，结合得；B中正数同向相乘不等号不变；C中时，；D中，且。 11.答案：ABC 解析：设，由，由，故，最小值为4，最大值为12。 三、填空题 12.答案： 解析：总费用限制、笔记本和钢笔的最少数量及正整数要求。 1. 答案： 解析：设，结合已知范围，由不等式性质相加得范围。 1. 答案： 解析：设，结合已知范围，由不等式性质相加得范围。 四、解答题 15.证明： (1) 证明 · 由，根据“不等式两边乘，不等号反向”，得。 · 又，根据“同向不等式相加，不等号不变”，得（结合已知，确认、均为正数）。 · 因为，根据“正数取倒数，不等号反向”，得。 · 已知，根据“不等式两边乘负数，不等号反向”，得。 (2) 证明 · 由，根据“同向不等式相加，不等号不变”： · 由和（因，两边乘不等号反向），相加得。 · 又，故，进而。 · 因为，根据“正数取倒数，不等号反向”，得。 16.解析： ，理由如下： 作差法： = a^2(a - b) + b^2(b - a) = (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2(a + b) 因为为正实数且，所以，，故，即，所以。 1. 解析： 的取值范围为，理由如下： · 因为为正数，所以每个分式的分母大于分子对应的“单变量分母”，故，同理其余分式均小于1，因此； · 又每个分式的分母小于，故，同理其余分式均大于对应“全分母”的分式，因此。 综上，。 学科网（北京）股份有限公司 $