12.2 第5课时　斜边直角边 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章　全等三角形 12.2　三角形全等的判定 第5课时　斜边直角边 导入新课 回顾与思考 1.全等三角形的对应边 ，对应角 　 ． 相等 相等 2.目前学过的判定三角形全等的方法有： SAS，ASA，AAS，SSS 再忆直角三角形 Rt△ABC 直角边 斜边 A B C 直角边 2 讲授新课 利用“HL”判定直角三角形全等 一 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量． (1)你能帮他想个办法吗？ 根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角. 根据“ASA”“AAS”可测量对应一边和一锐角. 3 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”. 你相信这个结论吗？ （2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　 下面，让我们来检验这个结论. 斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等. 2 cm 3 cm 步骤： 1.画一条线段AB，使它等于2 cm； 2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）； 3.以点B为圆心、3 cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C； △ABC即为所求. M A B C 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？ 做一做 如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 4.连结BC. 知识要点 “斜边直角边”判定直角三角形全等的方法 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL”. 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL). ∵∠C=∠C′=90°, “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和其中一直角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 例 如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD， 在Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等). A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 典例精析 当堂练习 1. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等， 还需要补充的条件是 （写出一个即可）. 答案： AB=AD 或 BC=DC 或 ∠BAC=∠DAC 或∠ACB=∠ACD 一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等. 注意 A B C D 2.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90°. 在Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). A F C E D B 3.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 课堂小结 “斜边直角边” 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等） 1. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列四组条件中,不能判定△ABC≌△DEF的是(　B　) A. AB=DE,AC=DF B. AC=EF,BC=DF C. AB=DE,BC=EF D. ∠C=∠F,BC=EF B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,∠B=∠DEF=90°,AB=DE,要根据“HL”判定△ABC≌△DEF,则需添加的条件是(　B　) A. BC=EF B. AC=DF C. ∠A=∠D D. ∠ACB=∠F B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,在△ABC中,D为边BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF. 若∠BDE=30°,则∠A的度数为 　60°　.  60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,BF=DE. 求证:AB∥CD. (第4题) 解:∵ AE⊥BD,CF⊥BD,∴ ∠AEB=∠CFD=90°.∵ BF=DE,∴ BF+EF=DE+EF,即BE=DF. 在Rt△AEB和Rt△CFD中, ∴ Rt△AEB≌Rt△CFD(HL). ∴ ∠B=∠D. ∴ AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,AC=BD,∠C=∠D=90°,下列结论中,错误的是(　C　) A. ∠DAE=∠CBE B. CE=DE C. △DAE与△CBE不一定全等 D. ∠1=∠2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于点F,AE⊥EC于点E,则图中全等的三角形共有(　) A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC,交AC于点F,BD=CF,BE=CD. 若∠AFD=155°,则∠EDF的度数为 　65°　.  65°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A、D在直线MN上,点B、C在直线PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=BE,DE=EC,则AB= 　7　.  7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图,AB=AC,直线l过点A,BM⊥直线l,CN⊥直线l,垂足分别为M、N,且BM=AN. 求证: (1) △AMB≌△CNA. 解:(1) ∵ BM⊥直线l,CN⊥直线l,∴ ∠AMB=∠CNA=90°.在Rt△AMB和Rt△CNA中, ∴ Rt△AMB≌Rt△CNA(HL). (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) AB⊥AC. 解:(2) 由(1),得Rt△AMB≌Rt△CNA,∴ ∠BAM=∠ACN. ∵ ∠CNA=90°,∴ ∠CAN+∠ACN=90°.∴ ∠CAN+ ∠BAM=90°.∴ ∠BAC=180°-(∠CAN+∠BAM)=90°.∴ AB⊥AC. (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. ★如图,AD、AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE. (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解:∵ AD、AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高, ∴ ∠D=∠F=90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中, ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴ BD=BF. ∴ BD-CD=BF-EF. ∴ BC=BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $