12.2 第2课时　边 角 边 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章　全等三角形 12.2　三角形全等的判定 第2课时　边 角 边 导入新课 上节课我们给大家留了这样一个思考题，你们思考好了吗？ 问题导入 如果两个三角形有三组分别相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况呢？这时，这两个三角形会全等吗？ 有四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边． 两个三角形有两条边和一个角分别相等的情况，这时这两个三角形一定全等吗？——这是本节我们要探讨的课题. 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每一种情况得到的三角形都全等吗? 讲授新课 “SAS”判定三角形全等 问题情境 应该有两种情况：一种情况是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角（边角边）；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角（边边角）. 边－角－边 边－边－角 Ａ Ａ Ａ' Ａ' Ｂ Ｂ' Ｂ Ｂ' Ｃ Ｃ Ｃ' Ｃ' 第一种 第二种 如图，已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角. 步骤：1.画一线段AB,使它等于4cm; 2.画∠MAB= 45°; 3.在射线AM上截取AC=3cm; 4.连结BC. △ ABC就是所求做的三角形 做一做 比一比：大家所画的三角形都全等吗？ 试一试：换两条线段和一个角，是否有同样的结论. 用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合. Ａ Ｂ Ｃ A’ B’ C’ 全等 在△ABC 和△ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△ A′B′C′（SAS）． 文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”． 知识要点 “边角边”判定三角形全等的方法 几何语言： AB = A′B′， ∠A =∠A′， AC =A′C′ ， A B C A ′ B ′ C ′ 必须是两边“夹角” C A B D E 例1 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE， 求证：△ABE≌△DCE. ∵AE=DE(已知)， ∠AEB=∠DEC（对顶角相等）， BE=CE(已知)， ∴ △ABE≌△DCE（SAS）. 证明：在△ABE和△DCE中， 典例精析 例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么? C · A E D B 分析： 如果能证明△ABC≌ △DEC, 就可以得出AB=DE.由题意知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件. 证明：在△ABC 和△DEC 中， ∴△ABC ≌△DEC（SAS）. ∴AB =DE（全等三角形的对应边相等）. AC = DC（已知）， ∠1 =∠2 （对顶角相等）， CB=CE（已知） ， C · A E D B 1 2 证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 归纳 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. A B C D E F 2.5cm 3cm 45° 45° 3cm 2.5cm 结论：两边及其一边所对的角相等（即“边边角”对应相等或SSA），两个三角形不一定全等. 做一做 2.5cm 3cm 45° 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行对比，所画的三角形全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 比一比 两组边与一组角分别相等的两个三角形 三角形全等的“SAS”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 课堂小结 “SSA”不能判定两个三角形全等. 注意：1.已知两边，必须找“夹角”； 2.已知一角和该角的一夹边，必须找该角的另一夹边. 1. 下列各图中,a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是(　D　) A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有乙 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图,AB=AC,AD=AE,若要使△ABD≌△ACE,还须添加一个条件,则下列所添加的条件中,恰当的是(　D　) A. ∠ADB=∠AEC B. ∠ABD=∠ACE C. ∠BAD=∠ACE D. ∠BAC=∠DAE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图,点E、A、C在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD. 若∠D=40°,∠ECD=115°,则∠B= 　25　°.  25　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. (2024·西藏)如图,C是线段AB的中点,AD=BE,∠A=∠B. 求证:∠D=∠E. (第4题) 解:∵ C是线段AB的中点,∴ AC=BC. 在△DAC和△EBC中, ∴ △DAC≌△EBC(SAS).∴ ∠D=∠E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图,在△ABC中,AB=6,BC=7,AC=5,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,连结DE,则△BDE的周长为 (　B　) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 如图,EA⊥AB,BC∥EA,EA=AB=2BC,D为AB的中点.有下列结论:① DE=CA;② DE⊥AC;③ ∠ADF=∠EAF;④ ∠C=∠ADF;⑤ ∠C=∠E. 其中,正确的有(　C　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示.已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,点B、F、C、E在同一条直线上,其中△ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 　45　cm.  45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 新情境·日常生活 在某地新修建的花园小区中,有如图所示的“Z”字形绿色长廊ABCD,其中AB∥CD,在AB、BC、CD三条绿色长廊上各修建一座凉亭E、M、F,且BE=CF,M是BC的中点,在凉亭M与F之间有一池塘,不能直接到达,但要想知道凉亭M与F之间的距离,应该怎么办呢?写出你的方法,并说明理由. (第8题) 解:测出ME的长度,就是凉亭M与F之间的距离.　理由:连结ME、MF. ∵ AB∥CD,∴ ∠B=∠C. ∵ M是BC的中点,∴ BM=CM. 在△BME和△CMF中, ∴ △BME≌△CMF(SAS).∴ ME=MF. ∴ 测出的ME的长度就是凉亭M与F之间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图,在△ABC中,AD、CE分别是边BC、AB上的高,AD与CE交于点F,连结BF,延长AD到点G,使AG=BC,连结BG,CF=AB. (1) 试判断BG与FB之间的数量关系,并说明理由. 解:(1) BG=FB. 　理由:∵ AD、CE分别是边BC、AB上的高,∴ 易得∠BAG+∠AFE=∠FCB+∠CFD=90°.又∵ ∠AFE=∠CFD, ∴ ∠BAG=∠FCB. 在△ABG和△CFB中, ∴ △ABG≌△CFB(SAS).∴ BG=FB. (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 求∠FBG的度数. 解:(2) 由(1),知△ABG≌△CFB,∴ ∠G=∠FBD. ∵ AD是边BC上的高,∴ 易得∠G+∠DBG=90°.∴ ∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠G+ ∠DBG=90°. (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 在△CAB和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,连结AD、BE. (1) 如图①,求证:△ACD≌△BCE. 解:(1) ∵ ∠ACB=∠DCE=α,∴ ∠ACB+ ∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, ∴ △ACD≌△BCE(SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 如图②,当α=90°时,取AD、BE的中点P、Q,连结CP、CQ、PQ,判断△CPQ的形状,并给出证明. 解:(2) △CPQ为等腰直角三角形.由(1),易得△ACD≌△BCE. ∴ ∠CAD=∠CBE, AD=BE. ∵ AD、BE的中点分别为P、Q,∴ 易得AP=BQ. 在△ACP和△BCQ中, ∴ △ACP≌ △BCQ(SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴ CP=CQ,∠ACP=∠BCQ. ∵ ∠ACP+∠PCB=∠ACB=α=90°, ∴ ∠BCQ+∠PCB=90°,即∠PCQ=90°. ∴ △CPQ为等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $