12.1.2　定义、定理与证明课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦全等三角形章节中的定义、定理与证明，以“从生活实例抽象概念”为起点，逐步引导学生理解命题真假的判断逻辑，构建起从基本事实到定理的推理链条。通过问题驱动式导入，如“两点确定一条直线”是否为真命题，自然衔接旧知与新知，形成清晰的学习支架。 其亮点在于深度融合数学核心素养，突出“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”。例如，用质数乘积加1的反例揭示归纳法局限，培养理性思维；借助潜望镜模型将几何推理嵌入物理情境，体现跨学科表达能力。教学设计注重由浅入深，既有典型例题规范书写，又有开放性问题激发探究欲，帮助学生建立严谨的逻辑体系，教师可直接用于课堂讲授或小组探究活动，提升教学实效。

第12章　全等三角形 12.1　命题、定义、定理与证明 第2课时　定义、定理与证明 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义.这样的语句叫做这些名词的定义. 讲授新课 定义 一 问题导入 导入新课 问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 基本事实 ：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 下列的真命题可作为基本事实： 1.一条直线截两条平行线所得的同位角相等； 2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 3.全等三角形的对应边、对应角分别相等． 基本事实与定理 二 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位 角相等,两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的,它又可 以作为判定平行线的依据. 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实 定理（由基本事实或其他真命题推理证实） 思 考 （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3， 2×3+1=7， 2×3×5+1=31， 2×3×5×7+1=211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数.他的结论正确吗？ 试一试： 计算一下2×3×5×7×11+1和2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？ （2）如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？ 画一个钝角三角形试试看. （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面几个例子说明了什么问题？ 探讨归纳 通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 定义：根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质). 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实和已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 典例精析 现在我们就用演绎推理的方法来证明下面的性质: 例2　如图，直线 ，∠1与∠2是同旁内角.求证：∠1+∠2=180°. 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵ （已知）， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠3+∠2=180°（邻补角的定义）， ∴∠1+∠2=180°（等量代换）. a b 3 1 2 定义、定理与证明 课堂小结 定义 定理的概念 证明 证明命题 概念 基本事实 1. 下列属于定义的是(　C　) A. 任何一个三角形一定有直角 B. 锐角都小于钝角 C. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 D. ∠A是锐角 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 下列语句中,属于定理的是 (　C　) A. 在直线AB上任取一点E B. 两点确定一条直线 C. 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等 D. 同旁内角不能相等 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,直线AB、EF相交于点O,AB∥CD,则可以判定EF一定不与CD平行,此处用到的基本事实是 　过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行　.  过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图,∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,要使AB∥CD,则还需添加的一个条件是 　∠ACD=90°　.(答案不唯一)  ∠ACD=90°　 (答案不唯一)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,点E在线段AD上,点F在BC的延长线上,连结EF. 求证:∠DEF=∠F. (第5题) 解:∵ AB∥CD(已知),∴ ∠DCF=∠B(两直线平行,同位角相等).∵ ∠B=∠D(已知),∴ ∠DCF=∠D(等量代换).∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). ∴ ∠DEF=∠F(两直线平行,内错角相等). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 有下列说法:① 真命题都是定理;② 定理都是真命题;③ 假命题不是命题;④ 基本事实都是真命题;⑤ 基本事实的正确性必须得到证明.其中,正确的有(　D　) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,从∠1=∠2,∠C=∠D,∠A=∠F这三个条件中选出两个作为条件,另一个作为结论,所有组成的命题中,真命题的个数为(　A　) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 新趋势·与物理融合 如图所示为一个潜望镜模型示意图,AB、CD代表镜子摆放的位置,并且AB与CD平行,光线经过镜子反射时,满足∠1=∠2,∠3=∠4.求证:离开潜望镜的光线MN平行于进入潜望镜的光线EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 将以下证明过程和推理依据补充完整: ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠2= 　∠3　(　 　两直线平行,内错角相等　　).  ∵ ∠1=∠2,∠3=∠4(已知), ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4(等量代换). ∵ ∠1+∠2+∠5=180°,∠3+∠4+ 　∠6　=180°(平角的定义),  ∴ ∠5= 　∠6　.  ∴ MN∥EF(　 　内错角相等,两直线平行　　).  ∠3　 两直线平行,内错角相等 ∠6　 ∠6　 内错角相等,两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. ★对“如果两条平行线被第三条直线所截,那么一对同位角的平分线平行”进行证明(先画图,写出已知、求证,再证明). 解:已知:如图,EM∥FN,直线AC分别交EM、FN于点A、C,AB、CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线.求证:AB∥CD. ∵ EM∥FN(已知),∴ ∠EAC=∠FCG(两直线平行,同位角相等).∵ AB平分∠EAC,CD平分∠FCG(已知),∴ ∠EAB=∠BAC= ∠FCG(角平分线的定义).∴ ∠BAC=∠DCG(等式的性质).∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,点E在直线CD上,射线EF平分∠AED,过点E作EB⊥EF,G为射线EC上一点,连结BG,且∠BGE=90°. (1) 求证:∠DEF=∠EBG. 解:(1) ∵ EB⊥EF(已知),∴ ∠FEB=90°(垂直的定义). ∴ ∠DEF+∠BEG=180°-90°=90°(平角的定义). 又∵ ∠BGE=90°(已知),∴ ∠EBG+∠BEG=90°(直角三角形的两个锐角互余).∴ ∠DEF=∠EBG(同角的余角相等). (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若∠EBG=∠A,试判断AB与EF的位置关系,并加以证明. 解:(2) AB∥EF. ∵ EF平分∠AED(已知),∴ ∠AEF=∠DEF= ∠AED(角平分线的定义).∵ ∠EBG=∠A(已知),∠DEF= ∠EBG(已证),∴ ∠A=∠DEF(等量代换).又∵ ∠DEF=∠AEF (已证),∴ ∠A=∠AEF(等量代换).∴ AB∥EF(内错角相等,两直线平行). (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $