精品解析：陕西省西安市滨河学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026-1单元学情调查（收心）九年级数学 时间：60分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共8小题） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：；原说法正确，符合题意； B、，则：；原说法错误，不符合题意； C、，则：；原说法错误，不符合题意； D、，则：；原说法错误，不符合题意； 故选A． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入式子进行计算即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 4. 如图，下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，举反例证明假命题，熟练掌握平行四边形的判定及举反例证明假命题是解题的关键．根据平行四边形的判定定理及举反例证明假命题的方法，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、如图，，，但四边形不是平行四边形，所以选项A不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知选项B符合题意； C、和关于直线轴对称，且，，则，但四边形不是平行四边形，所以选项C不符合题意； D、如图，在等腰梯形中，，，显然四边形不是平行四边形，所以选项D不符合题意． 故选：B． 5. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 6. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 【详解】解：过点E作， ∵是的平分线，于F， ∴， 设， ∵是中线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据的面积，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 7. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标之间的关系，倍或倍，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 即：或； 故选D． 8. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴得到，根据抛物线顶点坐标结合对称轴公式得到，即可判断①；根据当时，即可判断②；根据抛物线开口向下，得到离对称轴越远，函数值越小，据此可判断③；根据一元二次方程与二次函数之间的关系得到抛物线与直线没有交点，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点位于0和1之间， ∴当时，，即， ∴，故②错误； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴若图象经过点，则，故③正确； ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴关于x的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∴，故④正确； 故选C． 二、填空题（每题3分，共4小题） 9. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 10. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，， （米）， 即此时主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，若的面积为3，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知图形面积求反比例函数的比例系数值，根据三角形的中线平分面积，得到，结合值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵，的面积为3， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，轴于点B， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12. 如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，取中点E，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，可得出，等量代换得出，证明，得出，则点Q在以为直径的圆上运动，故当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，取中点E，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∴当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为， ∵E为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念等知识，明确题意，添加合适辅助线，确定点Q在以为直径的圆上运动是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 13. （1）解不等式组：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和实数的混合运算： （1）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可； （2）原式根据绝对值的性质、特殊三角函数值以及负整数指数幂化简各项后再合并,即可得到答案． 【详解】解：（1） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． （2）原式 ． 14. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元二次方程，熟练掌握解分式方程和一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先去分母，然后解一元一次方程，最后进行检验即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 解：两边同时乘以得：， 去括号得：， 整理的：， 解得， 检验：将代入中得：， 则是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 解：， 或， ，． 15. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 已知，如图，中，，在上求作点P，使的周长等于（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点P为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，掌握“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解题的关键．作线段的垂直平分线交于点P，连接，点P即为所求． 【详解】解：∵P在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为：． 17. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求的度数． 【答案】（1） 证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 18. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 19. 某学校为丰富大课间的体育活动，决定购买甲、乙两种型号的篮球．购买时发现，甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同． （1）求甲、乙两种篮球的单价各是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种篮球共个，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少个甲种篮球 【答案】（1）甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元 （2）甲种篮球最多购买个 【解析】 【分析】（1）设甲种篮球的单价为元，则乙种篮球的单价为元，根据“甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种篮球个，则购买乙种篮球个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元， 依题意，得： ， 解得： ∴乙种篮球的单价为． 答：甲种篮球的单价为元，乙种篮球的单价为元． 【小问2详解】 设购买甲种篮球个，则购买乙种篮球个， 依题意，得：， 解得：． ∵为整数， ∴的最大值为． 答：甲种篮球最多购买个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确的列出方程与不等式是解题的关键． 20. 利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： （1）如图①，在正方形中，为边上一动点，点在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； （2）如图③，在等腰中，，点在边上，，，求的长； （3）如图④，在矩形中，，，是上一动点，将线段绕点逆时针旋转，与交于点，连接，求面积的最小值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 将绕点逆时针旋转至， ，，， 三点共线． ，， ， ， 在与中，， ， ； （2） （3）面积的最小值为 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，将绕点逆时针旋转至，利用旋转的性质和全等三角形的判定证明，然后根据全等三角形的对应角相等可得结论； （2），将绕点逆时针旋转得到．连接，利用旋转性质得到，，，再根据等腰直角三角形的性质证得，然后利用勾股定理分别求得，即可； （3）如解图②，延长至点，使得，连接，根据矩形的性质结合已知条件可得，进而证明得到，．则可证得是的平分线，根据角平分线的性质可得，作的外接圆，点为圆心，连接，作于点，利用等腰直角三角形的判定和性质以及圆周角定理可得，和是等腰直角三角形，设，则，， 由可得，进而有，利用三角形的面积公式和不等式的性质可得即可； 一题多解：如解图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，证明，得到，根据平行线分线段成比例和三角形的中位线性质可得，，设，利用勾股定理求得，进而求得，令，则有，根据这个方程有解，利用根的判别式得到关于y的不等式，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图①，将绕点逆时针旋转得到．连接， 由旋转的性质得， ，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 在中，， ； 【小问3详解】 解：如解图②，延长至点，使得，连接， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，． ，， ， ，即是的平分线， ∴点Q到、的距离相等， ， 作的外接圆，点为圆心，连接，作于点， ，， ，和是等腰直角三角形， 设，则，， ， ，，即， ， ， ， 面积的最小值为． 一题多解 如解图③，延长至点，使，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到， 则四边形为正方形，，， ，，， ，， ，， ， ，， ， ，则， ， 设， ，，， ， 在中，， 整理，得，， ，， ， 令， 则，， 这个方程有解， ， ，， 或（舍去）， 面积的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线性质、一元二次方程根的判别式等知识，是一道综合性极强的压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用旋转性质求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1单元学情调查（收心）九年级数学 时间：60分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共8小题） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于F，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于x的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题（每题3分，共4小题） 9. 若分式的值为零，则x的值是______． 10. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米； 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，若的面积为3，则m的值为_________． 12. 如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为______． 三、解答题（共8小题） 13. （1）解不等式组：； （2）计算： 14. 解方程： （1）． （2）． 15. 先化简，再代入求值：，其中． 16. 已知，如图，中，，在上求作点P，使的周长等于（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） 17. 如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求的度数． 18. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 19. 某学校为丰富大课间的体育活动，决定购买甲、乙两种型号的篮球．购买时发现，甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同． （1）求甲、乙两种篮球的单价各是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种篮球共个，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少个甲种篮球 20. 利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题： （1）如图①，在正方形中，为边上一动点，点在边上，且．求证：． 为了解决这个问题，小明把绕点逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程； （2）如图③，在等腰中，，点在边上，，，求的长； （3）如图④，在矩形中，，，是上一动点，将线段绕点逆时针旋转，与交于点，连接，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $