第一章 特殊平行四边形 同步训练 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形同步训练2025-2026学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1．下列性质中，矩形不一定具有的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 2．在菱形ABCD中，下列结论错误的是（　　） A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO 3．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 4．如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 5.如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝ cm，则GH的长为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 7.如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则长为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 9.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　） A．4 B．2 C． D．2 10.如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11.已知，，那么菱形的面积为 ． 12.如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 13．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　 　 . 14．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ． 15.如图，正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P，连接．若，则的度数为 ． 16.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　　． 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形ADCF为矩形． 18.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积． 19．如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． 20．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】 一、选择题 1．下列性质中，矩形不一定具有的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【答案】C 2．在菱形ABCD中，下列结论错误的是（　　） A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO 【答案】D 3．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（　　） A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【答案】D． 4．如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 5.如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝ cm，则GH的长为（　　） B． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】B 7.如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 8．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，，，则长为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 9.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】C 10.如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 二、填空题 11.已知，，那么菱形的面积为 ． 【答案】 12.如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 13．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　 　 . 【答案】96 14．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ． 【答案】 15.如图，正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 16.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝　　． 【答案】． 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】 证明：(1)∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△BDE≌△FAE(AAS)； (2)∵△BDE≌△FAE， ∴AF＝BD， ∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形． 18.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）略 （2）12 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，BC∥AD， 又∵BE＝DF， ∴BC﹣BE＝AD﹣DF， 即EC＝AF， ∴四边形AECF为平行四边形， 又∵∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：∵∠AEB＝90°，∠ABE＝60°， ∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∴BE＝AB＝2， ∴AE＝＝＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB＝4， ∵四边形AECF是矩形， ∴EC＝AF＝4， ∴BC＝BE+EC＝2+4＝6， ∵∠AEC＝90°， ∴AE⊥BC， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12． 19．如图，在中，，D是斜边的中点，连接，分别过点B，C作，，与交于点E．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为，求的长． （1）∵，， ∴四边形是怕平行四边形， ∵，D是斜边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）连接交于点O，设， ∵，， ∴，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 解得（舍去）． 故． 20．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． （1）证明：连接， 四边形是正方形， ，， 将沿折叠，得到，延长交边于点， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，是边的中点， ，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $