精品解析： 四川省成都市温江区东辰外国语学校2025-2026学年八年级上学期数学入学试卷

初2024级八（上）入学数学练习 数学（A卷） （编号；01 范围：七下、八上） 一、选择题（本大题共8个小题） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列说法正确的是（    ） A. 4的算术平方根是 B. 3的平方根是 C. 27的立方根是 D. 的平方根是 4. 已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且在第二象限，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第二象限内，则点在（ ） A. 轴正半轴上 B. 轴负半轴上 C. 轴正半轴上 D. 轴负半轴上 6. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 8. 如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题） 9. 比较大小：________1． 10. 如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为_______． 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为________． 12. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣2，3)，(4，1)．若存在点C，使AC∥y轴，BC∥x轴，则点C的坐标为_____． 13. 如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 三、计算题（本大题共4个小题） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）计算：． 四、解答题（本大题共4个小题） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 17. 小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度． （2）过点D作，垂足为H，求的长度． 18. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 初2024级八（上）入学数学练习 数学（B卷） （编号；01 范围：七下、八上 ） 一、填空题（本大题共5个小题） 19. 若，则的值为______． 20. 的算术平方根是______． 21. 某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）之间的关系式为__________． 22. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动___________s时，． 23. 如图，在四边形中，，，，于点，交于点，若，，求______． 二、解答题（本大题共3个小题） 24. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 25. 图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，的面积与时间的关系图象． （1）根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； （2）写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式： （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 26. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级八（上）入学数学练习 数学（A卷） （编号；01 范围：七下、八上） 一、选择题（本大题共8个小题） 1. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：由题意，1纳米米， 纳米米米米， 故选C． 3. 下列说法正确的是（    ） A. 4的算术平方根是 B. 3的平方根是 C. 27的立方根是 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，根据平方根、立方根的概念逐项判断即可，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：A、4的算术平方根是，故该选项错误； B、3的平方根是，故该选项错误； C、因为，，则27的立方根是3，该选项错误； D、，因为，则4的平方根为，故该选项正确； 故选：D． 4. 已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且在第二象限，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标的表示方法由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且它在第二象限内即可得到点P的坐标为． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且它在第二象限内， ∴点P的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了点的坐标：在直角坐标系中，过一点分别作x轴和y轴的垂线，用垂足在x轴上的坐标表示这个点的横坐标，垂足在y轴上的坐标表示这个点的纵坐标；在第二象限，横坐标为负数，纵坐标为正数． 5. 若点在第二象限内，则点在（ ） A. 轴正半轴上 B. 轴负半轴上 C. 轴正半轴上 D. 轴负半轴上 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在第二象限内，可得，据此即可判定． 【详解】解：点在第二象限内， ， ， 点在轴正半轴上， 故选：A． 【点睛】本题考查了各象限及坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握和运用各象限及坐标轴上点的坐标特征是解决本题的关键． 6. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【解析】 【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键． 要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点． 【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点． 故选：C． 8. 如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析每一象限点的坐标与下标的关系，据此判断在第几象限并求出其坐标即可．本题主要考查了点的变化规律，找到规律是解题关键． 【详解】每一象限的点的特点： 第一象限 ；； ；； 第二象限 ；；； 第三象限 ；；； 第四象限 ；；； ，则在第二象限，根据规律可得点的坐标是． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题） 9. 比较大小：________1． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算以及实数的大小比较，先根据，整理得，再得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，这是一个台阶的模型图．已知每级台阶的宽度都是，每级台阶的高度都是，连接，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，由题意得， ， 故． 故答案为：10． 11. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣2，3)，(4，1)．若存在点C，使AC∥y轴，BC∥x轴，则点C的坐标为_____． 【答案】(﹣2，1) 【解析】 【分析】根据已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别是（﹣2，3），（4，1）．AC∥y轴，BC∥x轴， ∴点C的坐标为（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确的理解题意是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，根据勾股定理列方程求解是解题的关键；由勾股定理可求，由翻折可得，则，，根据勾股定理可得，解方程即可得解． 【详解】解：， ， 将沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上， ，， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：5． 三、计算题（本大题共4个小题） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）计算：． 【答案】（1）4 （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，利用平方根解方程，二次根式的运算，整式的运算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算即可； （2）利用平方根解方程即可； （3）进行乘方，零指数幂和二次根式的乘除运算，再合并即可； （4）利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， ， ∴或； 【小问3详解】 原式； 【小问4详解】 原式． 四、解答题（本大题共4个小题） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式先去中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据整式的除法法则将原式化简后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，的坐标为； （2）5 （3） 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 17. 小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度． （2）过点D作，垂足为H，求的长度． 【答案】（1）风筝的高度为21.7米 （2）的长度为9米 【解析】 【分析】（1）要求风筝高度，先在中利用勾股定理求出的长度，再结合小明身高，通过计算； （2）求的长度，先根据等积法求出，再在中利用勾股定理计算． 本题主要考查了勾股定理及等积法的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ），灵活运用等积法是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理，得：， ∴（米）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米. 【小问2详解】 解：由等积法知：，解得：（米）. 在中，由勾股定理得：， 答：的长度为米. 18. 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是____； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得其的小数部分；估算出的范围，进而估算出的范围，即可得其整数部分； （2）先估算出、的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可； （3）先估算出的范围，进而估算出的范围，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 的小数部分为，即， ， ， 的整数部分为，即， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根为． 初2024级八（上）入学数学练习 数学（B卷） （编号；01 范围：七下、八上 ） 一、填空题（本大题共5个小题） 19. 若，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：18． 20. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，先化简，再计算即可． 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是； 故答案为：． 21. 某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）之间的关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，理解出租车的收费标准是正确解答的前提． 根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：； 22. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动___________s时，． 【答案】7或3 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．由为边上的高，得到，再结合，证明，得到，再根据的位置分情况讨论，分别求出的长，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：在中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴有以下两种情况： 当点E在的延长线上时，如图1所示： ， ∴点E运动的时间为：， 当点E在的延长线上时，如图2所示： ， ∴点E运动的时间为：， 综上所述：当点E运动7或时，． 故答案为：7或3． 23. 如图，在四边形中，，，，于点，交于点，若，，求______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 延长交于点，在上截取，连接，先根据三角形内角和得出，然后根据三角形全等得出，从而得到，所以，然后证明和全等，从而求得，最后根据面积的差补求出两个三角形的面积差即可． 【详解】解：延长交于点，在上截取，连接，如图： ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：10． 二、解答题（本大题共3个小题） 24. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； 【小问2详解】 解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； 【小问3详解】 解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得： 25. 图①长方形ABCD，AB＝20cm，BC＝16cm，点P从点A出发，沿A－Ｂ－C－D的路线以每秒2cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，的面积与时间的关系图象． （1）根据题目提供的信息，求出a，b，c的值； （2）写出点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式： （3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？ 【答案】（1）a=160；b=18；c=28 （2）y= （3）4秒或24秒 【解析】 【分析】（1）根据△DAB的面积求出a的值；再根据时间=路程÷速度求出b的值，再根据c=10+b求出c的值； （2）分0≤x≤10，10＜x≤18，18＜x≤28三种情况，分段写出y与x的关系式即可； （3）先求出矩形面积，再根据△APD的面积是长方形ABCD面积的，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：由图②知，当x=10时，AP=10×2=20（cm）， 此时点P与点B重合， ∴S△DAP=S△DAB=AB•AD=×20×16=160（cm2）， ∴a=160； 当点P在BC边上运动时，△ADP的面积为定值160不变， ∵BC=AD=16cm， ∴b=10+=18； ∵CD=AB， ∴点P在CD上运动的时间与在AB上运动时间相同， ∴c=10+8+10=28； 【小问2详解】 ①当0≤x≤10时，如图甲所示： 由勾股定理可得：DP=， ∴y=； ②当10＜x≤18时，如图乙所示： 由勾股定理可得：DP=， ∴y=； ③当18＜x≤28时，点P在CD上运动，此时DP=AB+BC+CD-（AB+BC+CP）=CD-CP， ∴y=20-2（x-18）=-2x+56． 综上所述，点P距离点D的路程y（cm）与时间x（s）的关系式为： y=； 【小问3详解】 ∵AD=16cm，AB=20cm， ∴矩形ABCD的面积为20×16=320（cm2）， 当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，S△APD=S矩形ABCD=×320=64（cm2）， 当0≤x≤10时，SAPD=AD•AP=×16×2x=64， 解得：x=4， 根据矩形的性质和点P的运动过程可知，当x=28-4=24时，△APD的面积是长方形ABCD面积的， ∴点P出发4秒或24秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 26. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设边上的高为x， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $