精品解析：云南省昆明市实验中学2025-2026学年上学期九年级开学检测数学试题

昆明市实验中学2025-2026学年九年级上学期学情检测 数学试卷 （本试卷共三大题27小题，共4页，考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1.答题前，考生务必选用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效. 3.选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，其余试题用碳素笔或钢笔作答. 4.考试结束后，将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室. 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 2. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在直线上，则（ ） A. 15 B. 9 C. 5 D. 6. 四边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 7. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 10. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级8名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 11. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 12. 下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 8，13，15 13. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 15. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若有理数a满足，且，则a的值为________． 17. 分解因式： ＝ ______． 18. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 19. 某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，与相交于点，．求证：． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. 某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 24. 今年某市交警部门在全市范围开展了安全使用电动自行车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动自行车的市民，就骑电动自行车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电动自行车戴安全帽情况统计表 类别 人数 ：每次戴 ：经常戴 ：偶尔戴 ：从不戴 合计 （1）选择：更直观的反映活动前、、、各类别所占的百分比，最适合的统计图________． A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 （2）计算：活动前类别对应的人数为________，活动后类型对应的人数占调查总人数的________．（写百分数） （3）据调查，该市约有20万人使用电动自行车，估计活动后全市骑电动自行车“从不戴”安全帽的总人数． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 26. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 27. 如图，抛物线与x轴交于两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察函数图象，直接写出当x取何值时，？ （3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市实验中学2025-2026学年九年级上学期学情检测 数学试卷 （本试卷共三大题27小题，共4页，考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1.答题前，考生务必选用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.考生必须把所有答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效. 3.选择题每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，其余试题用碳素笔或钢笔作答. 4.考试结束后，将本试卷及答题卡交监考教师方可离开教室. 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 2. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：110000用科学记数法可以表示为， 故选：C． 3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 5. 若点在直线上，则（ ） A. 15 B. 9 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得：， 故选：C． 6. 四边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，边形的内角和为，据此求解即可． 【详解】解：四边形的内角和是， 故选：B． 7. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 移项，把等号右边化为0，即可． 【详解】解：， 移项，得， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 8. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：A． 9. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C． 10. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级8名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数的概念（数据中出现次数最多的数是众数），熟练掌握相关概念是解题的关键．根据众数的概念即可求解． 【详解】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现2次；90分出现4次；100分出现1次， ∵其中90分出现的次数最多（4次）， ∴这组数据的众数是90， 故选：C． 11. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数， 故第n个多项式为， 故选：B． 12. 下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 8，13，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； B、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； C、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； D、，故不能组成直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 13. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 14. 如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 15. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若有理数a满足，且，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据可得，再结合，进而可得的值． 【详解】解：， ． 又， ． 故答案为： 17. 分解因式： ＝ ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解． 18. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 19. 某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解，熟练掌握扇形统计图的特征是解题的关键． 【详解】解：该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有（名）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，先计算零次幂、二次根式乘法、绝对值以及负指数幂，再计算加法，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 21. 如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明；在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】略 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程， （1）根据直接开方法求出解即可； （2）先求出，再根据求出解即可． 【小问1详解】 解：整理，得， 开方，得， ∴或， 则； 【小问2详解】 解：， 由， 可知， ∴， ∴． 23. 某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 24. 今年某市交警部门在全市范围开展了安全使用电动自行车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动自行车的市民，就骑电动自行车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表． 活动前骑电动自行车戴安全帽情况统计表 类别 人数 ：每次戴 ：经常戴 ：偶尔戴 ：从不戴 合计 （1）选择：更直观的反映活动前、、、各类别所占的百分比，最适合的统计图________． A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 （2）计算：活动前类别对应的人数为________，活动后类型对应的人数占调查总人数的________．（写百分数） （3）据调查，该市约有20万人使用电动自行车，估计活动后全市骑电动自行车“从不戴”安全帽的总人数． 【答案】（1） （2）人， （3）万人 【解析】 【分析】本题考查了选择合适的统计图，由样本所占百分比估计总体的数量，根据条形统计图求解，解题关键是掌握由样本所占百分比估计总体的数量． （1）总人数减去其他各类人数即可； （2）根据活动后骑电动自行车戴安全帽情况统计图求解； （3）20万乘以调查的活动后全市骑电动自行车“从不戴”安全帽所占比例即可． 【小问1详解】 解：更直观的反映活动前、、、各类别所占的百分比，最适合的统计图是扇形统计图， 故选：A； 【小问2详解】 活动前类别对应的人数为（人）， 活动后类型对应的人数占调查总人数的， 故答案为：人，； 【小问3详解】 ∵该市约有20万人使用电动自行车， ∴估计活动后全市骑电动自行车“从不戴”安全帽的总人数为（万人）． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 26. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 27. 如图，抛物线与x轴交于两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察函数图象，直接写出当x取何值时，？ （3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）当或时，； （3）Q点坐标为． 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式； （2）观察图象即可解决问题； （3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接，直线与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为， ∴，解得， ∴所求抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：观察函数图象，当或时，， 故答案为或； 【小问3详解】 解：在抛物线对称轴上存在点Q，使的周长最小． ∵长为定值， ∴要使的周长最小，只需最小， ∵点A关于对称轴直线的对称点是， ∴Q是直线与对称轴直线的交点， 设过点B，C的直线的解析式，把代入， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入上式， ∴， ∴Q点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $