第21章 一元二次方程 单元检测 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A．±2 B．±6 C．±4 D．±3 5．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 6．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 7．若方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（   ）． A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 8．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．7 二、填空题 1.若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______． 2.如果3是关于的方程的一个根，那么__________． 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______． 4.若是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则的值为________． 5.对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____． 6．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为 ． 7．定义表示不超过实数x的最大整数，如：，，．则方程的解为 ． 8．2024年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程 ． 三、解答题 1．选择适当方法解下列方程： (1)(x－1)2＝9． (2)x2＋2x－1＝0. (3)2x2＋3x－1＝0. (4)(x－1)2－5(x－1)＋6＝0. 2．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，求原来的两位数． 3．已知关于x的一元二次方程x2＋(m－5)x－5m＝0. (1)通过计算说明方程根的情况. (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长. 4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2a＋5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． (1)求a的取值范围. (2)若x1，x2满足＋－x1x2＝18，求a的值. 5．邓州公安局交警大队提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔7月份到9月份销售量的月增长率. (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 6．【问题情境】在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半.方案一：如图(1)，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图(2)，矩形中每个角上的扇形相同. 【问题探究】(1)求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x m，请列出方程，不做解答. (2)求方案二中扇形的半径.(其中π取3，结果保留根号) 【思维发散】(3)你还有其他的设计方案吗？请在图(3)中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影.(至少画出五种) 　 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．A 4．A 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1.﹣2 2. 3. 4. 5.-3或4 6．或7/或 三、解答题 1．【答案】(1)(x－1)2＝9，x－1＝±3，解得x1＝－2，x2＝4. (2)x2＋2x－1＝0，配方，得x2＋2x＋1＝2，即(x＋1)2＝2，∴x＋1＝±，∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (3)2x2＋3x－1＝0，∵a＝2，b＝3，c＝－1，∴Δ＝32－4×2×(－1)＝17＞0， ∴x＝，∴x1＝，x2＝. (4)(x－1)2－5(x－1)＋6＝0，(x－1－3)(x－1－2)＝0，x－1－3＝0或x－1－2＝0，∴x1＝4，x2＝3. 2．【答案】见详解 【详解】设这个数个位上的数字为x，则十位上的数字为x2－3.依题意得[10(x2－3)＋x]－(10x＋x2－3)＝27，整理得x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2.又∵x为非负整数，∴x＝3，∴x2－3＝6.答：原来的两位数为63. 3．【答案】(1)∵Δ＝(m－5)2－4×(－5m)＝(m＋5)2≥0， (2分) ∴当m≠－5时，方程有两个不相等的实数根； (3分) 当m＝－5时，方程有两个相等的实数根. (4分) (2)∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴a＝b， (5分) ∴Δ＝0，即m＋5＝0，解得m＝－5， (7分) 方程化为x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5， (9分) ∴矩形对角线的长为5. (10分) 【思路分析】(1)先计算出Δ＝(m＋5)2，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到当m≠－5时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－5时，方程有两个相等的实数根. (2)先利用矩形的性质得到a＝b，然后根据一元二次方程根的判别式的意义得到m＋5＝0，解得m＝－5，则方程化为x2－10x＋25＝0，然后解方程即可. 4．【答案】(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋2a＋5＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－6)2－4×1×(2a＋5)＞0， (2分) 解得a＜2，即a的取值范围为a＜2. (5分) (2)∵x1，x2是方程x2－6x＋2a＋5＝0的两个根，∴x1＋x2＝6，x1x2＝2a＋5. (7分) ∵＋－x1x2＝18， ∴(x1＋x2)2－3x1x2＝18， ∴62－3(2a＋5)＝18， (9分) 解得a＝. (10分) 【思路分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式大于0，据此列不等式即可求解. (2)根据根与系数的关系得出x1＋x2＝6，x1x2＝2a＋5，代入＋－x1x2＝18的变形式中即可求解. 5．【答案】(1)设该品牌头盔7月份到9月份销售量的月增长率为x.依题意，得500(1＋x)2＝720，解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：该品牌头盔7月份到9月份销售量的月增长率为20％. (2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个.依题意，得(y－30)[600－10(y－40)]＝10 000，整理，得y2－130y＋4 000＝0，解得y1＝80，y2＝50.∵尽可能让顾客得到实惠，∴y＝50. 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 6．【答案】(1)已知小路的宽度为x m，则(16－2x)(12－2x)＝×16×12. (4分) (2)四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为r m，故有πr2＝×16×12， (6分) 解得r＝4(负值已舍去). 答：扇形的半径为4 m. (9分) (3)设计方案如图所示(答案不唯一)： (14分) 【思路分析】(1)利用矩形的面积公式列方程. (2)四个角上的扇形相同，合在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径. (3)答案不唯一，发挥想象，符合要求即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $